Глава 5. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей [Мордкович А.Г.].: Простейшие вероятностные задачи (Филиппова Г.И.).

Тип материала

Простейшие вероятностные задачи (Филиппова Г.И.)

Текст урока

урок 1

План урока:
Организационный момент
5 мин.
Актуализация
5 мин.
Мотивация
2 мин.
Объяснение нового материала
15 мин.
Первичное осмысление и закрепление
5 мин.
Решение задач
10 мин.
Подведение итогов
1 мин.
Домашнее задание
Рефлексия
1 мин.
1 мин.
Ход урока
I.Организационный момент.
Сообщить тему и цели урока.
2.Мотивация учащихся: элемент новизны, связь с жизнью, творческое применение знаний в новых ситуациях, создание максимально благоприятных условий для каждого ученика.
3.Актуализация опорных знаний и умений.
Проверка домашнего задания.
1. Проверить выборочно по тетрадям нескольких учеников выполнение ими домашнего задания.
2. Решить на доске задачи из домашней работы, вызвавшие затруднения у учащихся.
4. Изучение нового материала
1). Что такое событие?
В теории вероятностей возможный исход эксперимента, называется элементарным событием, а множество таких исходов называется просто событием. Событие - это результат испытания.
Примеры:
Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел — это испытание. Попадание в определенную область мишени — событие.
В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета — событие. В теории вероятностей под событием понимают то, относительно чего после некоторого момента времени можно сказать одно и только одно из двух. Да, оно произошло. Нет, оно не произошло.
В жизни мы постоянно сталкиваемся с тем, что некоторое событие может произойти, а может и не произойти.
Примеры:
В следующем году первый снег выпадет воскресенье. Бутерброд упадет маслом вниз. При бросании кубика выпадет пятерка. При бросании кубика выпадет не четное число. У меня есть лотерейный билет. После опубликования результатов розыгрыша я выиграю 1000 рублей.
Такие непредсказуемые события называются случайными.
Теория вероятностей изучает различные модели случайных событий, их свойства и характеристики. Разумеется, эта теория не может однозначно предсказать, какое событие в реальности произойдет, но может оценить, какое событие наиболее вероятно. При этом будем считать, что случайные события равновероятны (или равновозможны), - идеализированная модель ( например, автомобиль движется 4 часа с постоянной скоростью).
Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называются совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, - несовместными.
Примеры:
1. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — несовместные.
2. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» — несовместные.
3. Приведите свои примеры.
Равновозможными называются события, когда в их наступлении нет преимуществ.
Неравновозможные события те, у которых в наступлении одного из событий есть какое- то преимущество.
Примеры:
1. Появление герба или надписи при бросании монеты представляют собой равновероятные события.
2. Пусть бросают игральную кость. В силу симметрии кубика можно считать, что появление любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6 одинаково возможно (равновероятно).
3. Приведите свои примеры.
Событие, которое происходит всегда, называют достоверным событием.
Вероятность достоверного события равна 1.
Событие, которое не может произойти, называется невозможным. Вероятность невозможного события равна 0.
Примеры:
1. В следующем году не будет лета. При бросании кубика выпадет семерка. Это невозможные события.
2. В следующем году будет весна. При бросании кубика выпадет число, меньше семи. Ежедневно наступает рассвет. Это достоверные события.
3. Пусть, например, из урны, содержащей только красные шары, вынимают шар. Тогда появление красного шара — достоверное событие; появление белого шара — невозможное событие.
Приведите примеры достоверных и невозможных событий.
Что такое «теория вероятностей»?
Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Вероятность — это численная характеристика реальности появления того или иного события.
Классическое определение вероятности.
Вероятностью события A при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие A, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.
Для решения задач используют алгоритм нахождения вероятности случайного события.
Для нахождения вероятности случайного события A при проведении некоторого испытания следует найти:
1) число N всех возможных исходов данного испытания;
2) количество N(A) тех исходов, в которых наступает событие A;
3) частное N(A) и N будет равно вероятности события A. Значит P(A) = N(A): N.
В частности, если событие А невозможно при проведении некоторого испытания, то N(A) = 0 и поэтому Напротив, достоверность события А при проведении некоторого испытания означает, что N(A) = N, поэтому
Рассмотреть решение примера 3 на с. 201–202 учебника.
Примеры:
1. На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 20 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность Р(А) того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.
Решение:
Число стандартных подшипников равно 1000 − 20 = 980. Будем считать, что каждый подшипник имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Тогда полная группа событий состоит из N = 1000 равновероятных исходов, из которых событию А благоприятствуют N(A)= 980 исходов.
Ответ: 0,98.

5. Закрепление изученного материала.
1. Решить № 20.1 на доске и в тетрадях.
Из цифр 4, 6, 7 можно составить ровно шесть трехзначных чисел без повторяющихся цифр: 467, 476, 647, 674, 746, 764, то есть N = 6.
а) Событие А – получится наибольшее из всех таких чисел. Тогда N(A) = 1, так как наибольшее из шести таких чисел одно – 764. Тогда искомая вероятность –
б) Событие В – получится число, у которого вторая цифра 7. Тогда N(В) = 2, так как таких чисел ровно 2 из шести – это 476, 674. Значит, искомая вероятность
в) Событие С – получится число, заканчивающееся на 6. Тогда
N(С) = 2, так как таких чисел ровно 2 из шести – это 476, 746. Значит, искомая вероятность
г) Событие D – получится число, кратное 5. Тогда N(D) = 0, так как среди этих шести чисел таких нет. Поэтому искомая вероятность равна
О т в е т: а) ; б) ; в) ; г) 0.
2. Решить № 20.2 на доске и в тетрадях.
Составим дерево вариантов, обозначим О – выпадение «орла» и Р – выпадение «решки». Мы видим, что всего возможно восемь исходов: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР, то есть N = 8.
а) Событие А – «решка» выпадет в последний раз. Тогда N(A) = 4. Значит, искомая вероятность интересующего нас события равна P(A) =
б) Событие В – ни разу не выпадет орел. Тогда N(В) = 1. Значит, искомая вероятность равна
в) Событие С – число выпадений «орла» в два раза больше числа выпадений «решки». Тогда N(С) = 3. Значит, искомая вероятность равна
г) Событие D – при первых двух подбрасываниях результаты будут одинаковыми. N(D) = 4. Тогда искомая вероятность равна P(D) =
О т в е т: а) 0,5; б) 0,125; в) 0,375; г) 0,5.
3. Решить задачу № 20.3 (а; в) на доске и в тетрадях.
Число не может начинаться с нуля, поэтому первую позицию в двузначном числе могут занимать 9 цифр – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вторую позицию перечисленные девять цифр и нуль. Поэтому общее количество двузначных чисел N, которое можно составить из этих цифр 9 · 10 = 90, то есть N = 90.
а) Событие А – двузначное число оканчивается нулем. N(A) = 9 – это 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Значит, искомая вероятность равна
в) Событие В – двузначное число больше 27 и меньше 46. N(В) = 18 – это 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45. Значит, искомая вероятность равна
О т в е т: а) в) 0,2.
4. Решить задачу № 20.4 (а; б). Учитель при необходимости помогает в решении учащимся.
Составим дерево вариантов. Всего возможно исходов случайных выборов двух кандидатов 4 · 4 = 16, но надо учесть, что из них исключаются пары с одинаковыми кандидатами, таких – 4 и пары, в которых имена просто поменяли местами. Например: (Владимир Владимирович; Василий Всеволодович) и (Василий Всеволодович; Владимир Владимирович). Таких пар – 6. Поэтому 16 – 4 – 6 = 6, то есть N = 6.
а) Событие А – выбран Владимир Венедиктович. N(A) = 3. Тогда
в) Событие В – выбраны кандидаты с одинаковыми именами.
N(В) = 1. Тогда
5. Решить задачу № 20.13 (а; в) на доске и в тетрадях, №20.18
6. Итог урока.
Сформулировать понятия достоверных, невозможных и случайных событий. Дать классическое определение вероятности.
Домашнее задание: изучить материал § 20 учебника; решить № 20.3 (б; г); № 20.13 (б; г); № 20.14; № 20.16. Творческое задание по желанию. Готовят в письменном виде: «Немного истории о возникновении теории вероятности».
7. Рефлексия. «Сегодня на уроке я выяснил, что …..», «Мне понравилось…..».

Read more ...

Автор(ы):

Скачать: Алгебра 9кл - урок 1.docx

урок 2

Оборудование к уроку:
1.Игральные кубики на каждом столе.
2.Монеты у каждого ученика.
3. Индивидуальные карточки.
Ход урока
1.Организационный момент
Сообщить тему и цели урока
2.Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
2.1. Проверка домашнего задания.
Проверить устно: № 20.3 (б; г); № 20.13 (б; г); № 20.14.
Письменно на доске № 20.16. Заслушать творческое задание одного из учащихся.
2.2 .Учитель: Один из основателей математической статистики, шведский ученый Харальд Крамер писал: «По – видимому, невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом «случайный». Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах». И мы последуем этому совету.
Практическая работа в парах.(учащимся раздаются карточки)
У вас на столах лежат игральные кубики. Подбросьте два кубика. Посмотрите, какие события произойдут.
А теперь внимание. У вас есть карточки, на которых написаны задания.
1 Задание.
А = {на кубиках выпало одинаковое число очков}
В = {сумма очков на кубиках не превосходит 12}
С = {сумма очков на кубиках равна 11}
Д = {произведение очков на кубиках равно 11}
Вместе обсудить какие события являются случайными, какие достоверными, а какие невозможными (А; С – случайные; В – достоверное; Д - невозможное)
2 Задание. Рассмотрите задачу: В коробке лежат 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара. Какие из следующих событий невозможны, какие случайны, а какие достоверны?
А = {все вынутые шары одного цвета}
В = {все вынутые шары разных цветов}
С = {среди вынутых шаров есть шары разных цветов}
Д = {среди вынутых шаров есть шары всех трех цветов}
Учащиеся выполняют это задание самостоятельно 2-3 мин.По окончании работы проверить результаты (А и В невозможные, С – достоверное, Д - случайное).
Устная работа.
Учитель зачитывает задание, а ребята заполняют таблицу ответов(ставят плюсики). Затем выполняют взаимопроверку и делают выводы.
Задание 1. Учитель зачитывает задание а ребята заполняют таблицу ответов(ставят плюсики). Затем выполняют взаимопроверку и делают выводы.
№
случайные
достоверные
невозможные
1

Какие из следующих событий – случайные, достоверные, невозможные:
1)черепаха научиться говорит;
2)вода в чайнике, стоящим на горячей плите закипит;
3)ваш день рождения – 19 октября
4)день рождение вашего друга – 30 февраля;
5)вы выиграете ,участвуя в лотереи;
6)вы не выигрываете участвуя в беспроигрышной лотереи;
7)вы проиграете партию в шахматы;
8)на следующей неделе испортиться погода;
9)вы нажали на звонок, а он не зазвонил;
10)после четверга будет пятница;
11)после пятницы будет воскресенье.
Задание 2. Учитель зачитывает задание а ребята заполняют таблицу ответов(ставят плюсики). Затем выполняют взаимопроверку и делают выводы.
№
достоверное
возможное
невозможные
1

Для каждого из перечисленных событий определите, какое оно: достоверное, возможное, невозможное
1)летом у школьников будут каникулы;
2)1 июня в День защиты детей будет солнечно;
3)после уроков дежурные уберут кабинет;
4)в 11-м классе школьники не будут изучать алгебру;
5)зимой выпадает снег;
6)при включении света, лампочка перегорит;
7)вы выходите на улицу, а навстречу вам идет слон.

Подведение итогов:
1. Что такое событие?
2. Какое событие называют достоверным?
3. Какое событие называют случайным?
4. Какое событие называют возможным, невозможным?
Задание №3:
Возьмите в руки кубики.
При бросании кубика, сколько различных элементарных событий может произойти? (6)
Сколько событий благоприятных событию «выпадет 4»? (1)
2.3 Повторим правило:
алгоритм нахождения вероятности случайного события:
Для нахождения вероятности случайного события A при проведении некоторого испытания следует найти:
1) число N всех возможных исходов данного испытания;
2) количество N(A) тех исходов, в которых наступает событие A;
3) частное N(A) и N будет равно вероятности события A. Значит P(A) = N(A): N.
Карточка для каждого ученика
1. Число всех возможных исходов – N
2. Все исходы равновозможны
3. Количество благоприятных исходов – N(A)
4. P(A) – вероятность события А
P(A) =
Задача (образец на карточке) :
Бросают одну игральную кость. Вычислить вероятность события «выпало четное число очков».
Решение: N = ; N(A) = 3; P(A) = .
Самостоятельная работа:
№1 Для каждого из следующих событий введите число всех возможных исходов, число благоприятных исходов и вероятность.
а) В урне 5 белых и 15 черных шаров, из урны наугад вынимается два шара. Какова вероятность того, что они будут белыми?
б) Из русского алфавита случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется согласной?
в) Из слова ВЕРОЯТНОСТЬ случайным образом убирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?
№2 Определить вероятности следующих событий:
A={при бросании монеты выпал «орел»};
B={при бросании кубика выпала тройка};
C={при бросании кубика выпало четное число};
D={из колоды карт вытянули туза };
E={из колоды карт вытянули шестерку};
F={из колоды карт вытянули не туза};
Ответы проверяются учителем.
3.Мотивация учащихся: элемент новизны, связь с жизнью, творческое применение знаний в новых ситуациях, исторические экскурсы, создание максимально благоприятных условий для каждого ученика, использование индивидуальных способностей.
4. Изучение нового материала.
1) Имеется тесная связь между, с одной стороны, множествами, их элементами и подмножествами и, с другой стороны, испытаниями (опытами, экспериментами), их исходными и случайными событиями.
Допустим, перечислены все N возможных исходов некоторого опыта, испытания, эксперимента. Все N исходов рассматриваются как единое множество, перечисленное поэлементно (рис. 144а) на с. 203 учебника.
2) Теперь нас интересует вероятность некоторого случайного события А, которое может произойти, а может и не произойти в результате проведенного испытания. Это означает, что событие А происходит при наступлении только некоторых из всех возможных N исходов. Тогда в списке всех исходов возникает некоторое подмножество, состоящее из N(А) элементов.
3) Сделать вывод: случайное событие А – просто подмножество подмножества всех исходов, благоприятствующих А, среди множества всех N возможных исходов. Вероятность каждого отдельного исхода равна то есть все они равновероятны.
4) Рассмотреть связь между терминами теории вероятностей и теории множеств в таблице, приведенной на с. 203 учебника.
5) Разобрать решение примера 4, на с. 204–205учебника.
6) Определение. Событие В называют противоположным событию А, если событие В происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А; обозначение: Событие А и В называют несовместными, если они не могут происходить одновременно.
Рассмотреть примеры несовместных событий А и В на рис. 145, с. 204учебника.
7) Т е о р е м а 1, Теорема2.
Разобрать доказательство теорем1, 2 на с. 204-205 учебника.
Довольно часто удобно использовать и симметричную формулу Это бывает в тех случаях, когда посчитать вероятность противоположного события проще, чем найти вероятность самого события. Типичной ситуацией являются события, описание которых использует оборот «хотя бы один раз» или аналогичный ему.
5.Закрепление. Выполнение упражнений.
1. Решить № 20.18 (в, г).
в) Событие С – первая карта – туз красной масти. N = 4, а N(A) = 2. Значит, искомая вероятность равна
г) Событие D – среди выбранных карт есть бубновый туз. Оно наступит тогда и только тогда, когда бубновый туз выпадет или при первом вытаскивании или при втором.
Событие Е – бубновый туз выпал при первом вытаскивании
Событие F – бубновый туз выпал при втором вытаскивании
Так как события Е и F несовместны, то Р(D) = P(E) + P(F). Поэтому
Р(D) = 0,25 + 0,25 = 0,5.
О т в е т: в) 0,5; г) 0,5.
2. Решить задачу № 20.7 (а; в) на доске и в тетрадях.
Общее число исходов расстановки крестика и нолика в каждую клетку таблицы равно 16 = 4 · 4 – это ХХХХ, ХХХО, ХХОО, ХООО, ОООО, ОООХ, ООХХ, ОХХХ, ХООХ, ХОХО, ОХХО, ОХОХ, ООХО, ОХОО, ХХОХ, ХОХХ, то есть N = 16.
а) Событие А – будет поставлен ровно один крестик. N(A) = 4. Значит,
б) Событие В – будет поставлено ровно два нолика. N(В) = 6. Значит, искомая вероятность равна
в) Событие С – будет поставлен крестик в левой нижней клетке таблицы N(С) = 8. Значит, искомая вероятность равна
г) Событие D – будут поставлены в верхней левой и нижней правой клетках разные значки. N(D) = 8. Значит, искомая вероятность равна
О т в е т: а) 0,25; б) 0,375; в) 0,5; г) 0,5.
3. Решить задачу № 20.5 на доске и в тетрадях.
Общее количество двузначных чисел N = 90.
а) Событие А – цифры числа различаются больше чем на 8. N(A) = 1.

в) Событие В – при перестановке цифр местами получится двузначное число, меньшее исходного. N(В) = 36.

О т в е т: а) б) 0,4.
4. Решить устно № 20.9 на доске и в тетрадях.
Общее число возможных исходов при бросании игрального кубика равно 6, то есть N = 6.
а) Событие А – выпадет четверка. N(A) = 1. Значит, искомая вероятность равна
б) Событие В – выпадет четное число очков. N(В) = 3 (это 2, 4, 6). Значит, искомая вероятность равна
в) Событие С – выпадет число очков, большее четырех. N(С) = 2 (это 5; 6). Значит, искомая вероятность равна
г) Событие D – выпадет число очков, не кратное трем. N(D) = 4 (это 1; 2; 4; 5). Значит, искомая вероятность равна
О т в е т: а) б) 0,5; в) г)
5. Решить задачу № 20.14 (б). Учитель при необходимости помогает в решении учащимся.
При одном бросании монеты равновозможны выпадения «орла» и «решки». При втором бросании, вне зависимости от исхода предыдущего бросания, возможны те же результаты. Для четырех бросаний по правилу умножения получаем, что возможно N = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 исходов.
6. Решить № 20.15.
6. Итоги урока.
Дать определение противоположного события.
Сформулировать теорему для нахождения вероятности противоположного события.
Дать определение несовместных событий.
Рассказать, как рассчитывается вероятность суммы несовместных событий.
Домашнее задание: изучить § 20; решить № 20.4 (б; г); № 20.5 (б; г); № 20.6; № 20.7 (б; г); № 20.16.
7. Рефлексия. «Сегодня на уроке я выяснил, что …..», «Мне понравилось…..».

Read more ...

Автор(ы):

Скачать: Алгебра 9кл - урок 2.docx

урок 3

9 класс
УМК: Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс: в 2 ч. Ч. 1: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2010г.
Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс: в 2 ч. Ч. 2: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича.– М.: Мнемозина, 2010г.
Уровень обучения: базовый
Тема урока: «Простейшие вероятностные задачи».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3
Место урока в системе уроков по теме: 3
Цель урока:
Закрепить навыки решения простейших задач теории вероятности.
Задачи урока:
образовательные: в простейших случаях находить вероятности случайных событий, упражнять в решении более сложных вероятностных задач.
воспитательные: способствовать формированию коммуникативной компетенции учащихся, развивать самостоятельность и навыки самоконтроля.
развивающие: оценивать логическую правильность рассуждений, использовать в решении задач только логически корректные действия, понимать смысл контрпримеров.
Планируемые результаты: находить вероятности случайных событий в простейших случаях. Уметь решать простейшие задачи на нахождение вероятности событий.
Используемые технологии: развивающее обучение, элементы исследовательской деятельности.
Техническое обеспечение урока: доска, компьютер.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:
1.А.Н. Рурукин, И.А Масленикова «Поурочное планирование по алгебре» к УМК А.Г. Мордковича "Алгебра: 9 класс";Москва, «ВАКО» 2011.
2. Александрова, Л. А. Алгебра. 9 класс: самостоятельные работы для общеобразовательных учреждений / Л. А. Александрова. – М.: Мнемозина, 2010
3.Дудницын, Ю. П. Алгебра. 9 класс: контрольные работы для общеобразовательных учреждений / Ю. П. Дудницын, Е. Е. Тульчинская. – М.: Мнемозина, 2010
План урока:
1) Организационный момент. Вступление учителя. Целеполагание. Мотивация.
2) Повторение и закрепление пройденного материала.
3)Проверка домашнего задания.
4) Повторение алгоритма нахождения вероятности случайного события.
5) Совместное решение вероятностных задач
6) Решение заданий из вариантов ГИА. Групповая дифференцированная работа.
7) Отчёт групп о проделанной работе.
8) Домашнее задание.
9) Рефлексия.
Ход урока
1.Организационный момент.
Сообщить тему и цели урока.
2.Мотивация учащихся: элемент новизны, связь с жизнью, творческое применение знаний в новых ситуациях, исторические экскурсы, создание максимально благоприятных условий для каждого ученика, использование индивидуальных способностей.
3. Проверка домашнего задания.
1. Проверить выборочно по тетрадям нескольких учеников выполнение ими домашнего задания.
2. Решить на доске задачи из домашней работы, вызвавшие затруднения у учащихся.
4.Актуализация опорных знаний.
1)Повторить алгоритм нахождения вероятности случайного события.
2) Устная работа.
Задача:. Найти вероятность того, что при одном бросании игральной кости (кубика) выпадает: а) три очка; б) число очков, кратное трем; в) число очков больше трех; г) число очков, не кратное трем.
Решение. Всего имеется N=6 возможных исходов: выпадение 1,2,3,4,5,6 очков. Считаем, что эти исходы равновозможны.
а) Только при одном из исходов N(А)=1 происходит интересующее нас
событие А – выпадение трех очков. Вероятность этого события .
б) При двух исходах N(B) = 2 происходит событие B: выпадение числа очков кратных трем: выпадение или трех или шести очков. Вероятность такого события .
в) При трех исходах N(C) = 3 происходит событие C: выпадение числа очков больше трех: выпадение четырех, пяти или шести очков. Вероятность этого события .
г) Из шести возможных выпавших чисел четыре (1, 2, 4 и 5) не кратны трем, а остальные два (3 и 6) делятся на три. Значит, интересующее нас событие D,
наступает в четырех случаях, т.е. N(D) = 4. Вероятность такого события: .
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .
Задача: Найти вероятность того, что при подбрасывании двух костей суммарное число очков окажется равным 5.
Решение. Возможно следующее сочетание очков на первой и второй костях:
1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1 – четыре благоприятных случая (N(A) = 4). Всего возможных исходов N = 6·6 = 36 (по шесть для каждой кости). Тогда вероятность рассматриваемого события
Ответ: .
Задача: В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 не исправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.
Решение. Элементарный исход – случайно выбранный аккумулятор. Поэтому
N = 1000.
Событию А = {аккумулятор исправен} благоприятствуют 1000 – 6 = 994 исхода.
Поэтому N(A) = 994.
Тогда
Ответ: 0,994.
Эту задачу можно решить с помощью формулы вероятности противоположного события = {аккумулятор неисправен}. Тогда N(Ā)=6.
Имеем = Значит, P(A) = 1- =1 – 0,006 = 0,994.
Ответ: 0,994.
3). Решение задач в группах(Материал раздается в печатном варианте).
А теперь перейдем к работе в группах. Ваша задача: решить задачи, оформить их в тетрадях и рассказать о проделанной совместной работе. Листочки с заданиями на столах. Помогайте друг другу при решении. (Учитель, в процессе работы учащихся, оказывает помощь каждой группе).
Задачи для групп (все из сборника подготовки к ОГЭ).
1. В среднем на 80 карманных фонариков, поступивших в продажу, приходится 10 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
2. На экзамене 25 билетов. Стас не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
3. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,12. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
4. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел равна 5 или 8.
5. Коля выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 100.
6. Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям в связи с окончанием года, из них 8 с машинками и 12 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 20 детьми, среди которых есть Вася. Найдите вероятность того, что Васе достанется пазл с машинкой.
7. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 4 чёрных, 6 жёлтых и 10 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Задачи трудного варианта( дополнительные для групп).(Материал в печатном варианте)
1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий - кому начинать игру.
Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.
2. Игральный кубик (кость) бросили один раз. Какова вероятность того,
что выпало число очков, больше чем 4?
Решения к задачам сложного варианта.
1. Случайный эксперимент – бросание жребия. Элементарное событие в этом эксперименте – участник, который выиграл жребий. Перечислим их:
(Вася), (Петя), (Коля) и (Лёша).
Общее число элементарных событий N = 4. Жребий подразумевает, что элементарные события равновозможны. Событию A = {жребий выиграл Петя}
благоприятствует только одно элементарное событие (Петя). Поэтому N(A)=1.
Тогда .
Ответ: 0,25.
2. Случайный эксперимент – бросание кубика. Элементарное событие –число на выпавшей грани. Граней всего шесть. Перечислим все элементарные события: 1,2,3,4,5 и 6. Значит, N=6. Событию A={выпало больше, чем 4} благоприятствует два элементарных события: 5 и 6. Поэтому N(A) = 2. Элементарные события равновозможны. Поэтому.
Ответ: .
Отчет групп о проделанной работе.
4) Устный опрос теоретического материала предыдущего урока.
1. Какие события называются несовместными?
2. Сформулировать теорему о вероятности наступления хотя бы одного из двух несовместных событий.
3. Какие события называются противоположными?
4. Сформулировать теорему для нахождения вероятности противоположного события.
5). Решить задачу № 20.8 (решение записывается только на доске).
а)
б)
в)
г)
О т в е т: а) 0,23; б) 0,63; в) 0,6; г) 0,4.
6. Отработка навыков.
6.1. Разобрать решение примера 6 на с. 206 учебника на доске и в тетради.
6.2. Решить задачу № 20.11 (а; в).
Решим неравенство:
x2 – 4x – 21 ≤ 0,
y = x2 – 4x – 21,
x2 – 4x – 21 = 0,
D = 16 – 4 · (–21) = 16 + 84 = 100,

[–7; 3] – решение неравенства x2 + 4x – 21 ≤ 0.
Отметим этот отрезок длиной 10 штриховкой. Нанесем решение обоих неравенств на одну координатную прямую.
В пересечении получится отрезок [–7; 1].
а) Мы видим, что из всех решений неравенства x2 + 4x – 21 ≤ 0 только составляют решение неравенства –8 ≤ x ≤ 1. Значит, искомая вероятность 0,8.
в) Решим неравенство

[–5; 2) – решение неравенства .

Нанесем решение обоих неравенств на одну координатную прямую. В пересечении получится [–5; 2). Мы видим, что из всех решений неравенства x2 + 4x – 21 ≤ 0 только составляет решение неравенства . Значит, искомая вероятность – 0,7.
3. Разобрать решение примера 7 на с. 207–208.
4. Решить задачу № 20.12 (а; в). Учитель при необходимости помогает в решении учащимся.
а) Найдем площадь всего прямоугольника SABCD = BC · CD. Найдем площадь ΔKCN, для этого выразим сторону СК и NC.

Тогда
Искомая вероятность равна
б) Найдем вначале вероятность того, что точка попадет в ΔAMC.
SΔAMC = SΔABC – SΔBMC.

Тогда
Вероятность того, что точка окажется в треугольнике АМС, равна
Применим теорему для нахождения вероятности противоположного события. Получим вероятность того, что точка окажется вне треугольника ΔAMC, равна 1 – 0,125 = 0,875.
О т в е т: а) в) 0,875.
6.3. Решить задачу № 20.17. Учитель при необходимости помогает в решении учащимся.
Так как к некоторое число из множества {–5; –2; 1; 3; 4}, то можно составить пять гипербол – из которых две гиперболы будут расположены во II и IV координатных четвертях, – это и три гиперболы будут расположены в I и III координатных четвертях.
а) Среди этих гипербол ни одна не пройдет через начало координат. Поэтому Р = то искомая вероятность равна 0.
б) График прямой у = х проходит через начало координат и располагается в I и III координатных четвертях. Тогда прямую у = х будут пересекать только те гиперболы, которые расположены в I и III координатных четвертях. Таких гипербол всего 3 – это Искомая вероятность равна
в) Точка с координатами (–5; 0,4) расположена во II координатной четверти, следовательно, возможность пройти через нее есть только у гипербол, расположенных во II и IV координатных четвертях. Таких гипербол ровно 2 – это
Проверим, какая из них пройдет через точку с координатами (–5; 0,4).

Гипербола не проходит
через точку с координатами
(–5; 0,4).

Гипербола проходит
через точку с координатами
(–5; 0,4).
Тогда искомая вероятность равна
г)
7. Итог урока.
Ученики проговаривают, что нового узнали на уроке. Учитель оценивает работу ребят.
Домашнее задание: повторить § 20; решить № 20.11 (б; г); № 20.22; № 20.10; № 20.19; № 20.21 (а; г) сборник подготовки к ОГЭ вариант.12, №1-8;
8.Рефлексия. «Сегодня на уроке я все понял …..», «Мне понравилось…..».

Read more ...

Автор(ы):

Скачать: Алгебра 9кл - урок 3.docx

приложение к уроку 2

( Приложение 1 «Из истории возникновения теории вероятностей»)
Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр.
Слово “азарт”, под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hazard, буквально означающего “случай”, “риск”. Азартными называют те игры, а которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности.
Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных – алгебраиста Джероламо Кардано (1501 – 1576) и Галилео Галилея (1564 – 1642). Однако честь открытия этой теории, которая не только даёт возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым – Блезу Паскалю (1623 – 1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность. Всё началось с игры в кости.
Азартные игры практиковались в ту пору главным образом среди знати, феодалов и дворян. Особенно распространенной была игра в кости. Было замечено. что при многократном бросании однородного кубика, все шесть граней которой отмечены соответственно числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 число очков от 1 до 6 выпадают в среднем одинаково часто, иными словами, выражаясь языком математики, выпадение определённого числа очков имеет вероятность, равную 1/6 (т.е. отношению числа случаев, благоприятствующих событию к общему числу всех случаев). Аналогично вероятность появления на верхней грани кости чётного числа очков равна 3/6 ,так как из шести равновозможных случаев чётное число появляется только в трёх.
Решение порой довольно сложных задач, с которыми обращались заинтересованные лица к Паскалю, Ферма, Гюйгенсу, способствовало разработке основных понятий и общих принципов теории вероятностей, в том числе и правил действия над ними. Отсюда не следует, конечно, заключать, что основоположники теории вероятностей рассматривали азартные игры как единственный или главный предмет разрабатывавшейся ими новой отрасли науки.
На развитие теории вероятностей оказали влияние более серьёзные потребности науки и запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторых странах ещё в 16в. В 16-17вв. учреждение страховых обществ и страхование судов от пожара распространились во многих европейских странах.
Азартные игры были для ученых только удобной моделью для решения задач и анализа понятий теории вероятности. Об этом заметил ещё Гюйгенс в своей книге “О расчётах в азартной игре” (1657), которая была первой книгой в мире по теории вероятностей. Он писал: “...при - внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы глубокой и весьма интересной”. Гюйгенс впервые ввёл важное для теории вероятностей понятие математического ожидания, которое получило дальнейшее развитие в трудах Даниила Бернулли, Даламбера и др. Понятие математического ожидания находит немало применений а разных других областях человеческой деятельности.
Таким образом, в 60-е годы 17в. были выработаны первые понятия и некоторые элементы теории вероятностей. В последующие два века учёные столкнулись с множеством новых задач, связанных с исследованием случайных явлений.

Приложение №2
5. Решить задачу № 20.14 (б). Учитель при необходимости помогает в решении учащимся.
При одном бросании монеты равновозможны выпадения «орла» и «решки». При втором бросании, вне зависимости от исхода предыдущего бросания, возможны те же результаты. Для четырех бросаний по правилу умножения получаем, что возможно N = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 исходов.
б) При первом бросании возможен 1 исход – «решка», аналогично при втором и третьем бросании, а при четвертом бросании – 2 исхода – «орел» и «решка». Применим правило умножения и найдем N(A) =
= 1 · 1 · 1 · 2 = 2. Тогда
6. Решить № 20.15.
Всего в квадратное уравнение можно подставить 10 чисел, то есть
N = 10.
а) Событие А – у полученного квадратного уравнения будут два различных корня. Это возможно только при подстановке четырех чисел, таких как 8, 9, 10, 11. Поэтому N(A) = 4. Значит, искомая вероятность равна
б) Событие В – у полученного квадратного уравнения не будет корней. N(В) = 6. Значит, искомая вероятность равна
в) Событие С – у полученного квадратного уравнения будет хотя бы один отрицательный корень. Это произойдет в четырех случаях, так как корень из полученных дискриминантов в сумме с – b дает только отрицательное число (так как – b по модулю больше, чем корень из каждого дискриминанта). Значит, N(С) = 4.
Искомая вероятность равна
г) Событие D – у полученного квадратного уравнения будет хотя бы один положительный корень. Так как корни получаются только отрицательные, то N(D) = 0. Искомая вероятность равна
О т в е т: а) 0,4; б) 0,6; в) 0,4; г) 0.

Приложение №3
Практическая работа в парах.( карточки)
У вас на столах лежат игральные кубики. Подбросьте два кубика. Посмотрите, какие события произойдут.
А теперь внимание. У вас есть карточки, на которых написаны задания.
1 Задание.
А = {на кубиках выпало одинаковое число очков}
В = {сумма очков на кубиках не превосходит 12}
С = {сумма очков на кубиках равна 11}
Д = {произведение очков на кубиках равно 11}
Вместе обсудить какие события являются случайными, какие достоверными, а какие невозможными (А; С – случайные; В – достоверное; Д - невозможное)
2 Задание. Рассмотрите задачу: В коробке лежат 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара. Какие из следующих событий невозможны, какие случайны, а какие достоверны?
А = {все вынутые шары одного цвета}
В = {все вынутые шары разных цветов}
С = {среди вынутых шаров есть шары разных цветов}
Д = {среди вынутых шаров есть шары всех трех цветов}
Приложение №4
Работа в парах.
Учитель зачитывает задание, а ребята заполняют таблицу ответов(ставят плюсики). Затем выполняют взаимопроверку и делают выводы.
Задание 1. Учитель зачитывает задание а ребята заполняют таблицу ответов(ставят плюсики). Затем выполняют взаимопроверку и делают выводы.
№
случайные
достоверные
невозможные
1

Какие из следующих событий – случайные, достоверные, невозможные:
1)черепаха научиться говорит;
2)вода в чайнике, стоящим на горячей плите закипит;
3)ваш день рождения – 19 октября
4)день рождение вашего друга – 30 февраля;
5)вы выиграете ,участвуя в лотереи;
6)вы не выигрываете, участвуя в беспроигрышной лотереи;
7)вы проиграете партию в шахматы;
8)на следующей неделе испортиться погода;
9)вы нажали на звонок, а он не зазвонил;
10)после четверга будет пятница;
11)после пятницы будет воскресенье.
Задание 2. Учитель зачитывает задание а ребята заполняют таблицу ответов(ставят плюсики). Затем выполняют взаимопроверку и делают выводы.
№
достоверное
возможное
невозможные
1

Приложение №5
Самостоятельная работа (5 мин):
№1 Для каждого из следующих событий введите число всех возможных исходов, число благоприятных исходов и вероятность.
а) В урне 5 белых и 15 черных шаров, из урны наугад вынимается два шара. Какова вероятность того, что они будут белыми?
б) Из русского алфавита случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется согласной?
в) Из слова ВЕРОЯТНОСТЬ случайным образом убирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?
№2 Определить вероятности следующих событий:
A={при бросании монеты выпал «орел»};
B={при бросании кубика выпала тройка};
C={при бросании кубика выпало четное число};
D={из колоды карт вытянули туза };
E={из колоды карт вытянули шестерку};
F={из колоды карт вытянули не туза};
Ответы проверяются учителем.

Read more ...

Автор(ы):

Скачать: Алгебра 9кл - приложение к уроку 2.docx

приложение к уроку 3

Приложение №1
Задачи для групп (все из сборника подготовки к ОГЭ).
1. В среднем на 80 карманных фонариков, поступивших в продажу, приходится 10 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
2. На экзамене 25 билетов. Стас не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
3. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,12. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
4. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел равна 5 или 8.
5. Коля выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 100.
6. Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям в связи с окончанием года, из них 8 с машинками и 12 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 20 детьми, среди которых есть Вася. Найдите вероятность того, что Васе достанется пазл с машинкой.
7. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 4 чёрных, 6 жёлтых и 10 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Приложение №2
Задачи трудного варианта( дополнительные для групп).(Материал в печатном варианте)
1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий - кому начинать игру.
Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.
2. Игральный кубик (кость) бросили один раз. Какова вероятность того,
что выпало число очков, больше чем 4?

Read more ...

Автор(ы):

Скачать: Алгебра 9кл - приложение к уроку 3.docx

Презентация к уроку

презентация урок 2

Автор(ы):
Скачать: Алгебра 9кл - презентация урок 2.ppt
презентация урок 1

Автор(ы):
Скачать: Алгебра 9кл - презентация урок 1.pptx

Тип материала

Простейшие вероятностные задачи (Филиппова Г.И.)

Текст урока

урок 1

урок 2

урок 3

приложение к уроку 2

приложение к уроку 3

Презентация к уроку

презентация урок 2

презентация урок 1

Создание нового материала