Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета Алгебра
Класс 9
УМК (название учебника, автор, год издания) «Алгебра 9» Ю.Н Макарычев,2008 Уровень обучения: базовый
У р о к 3 (76)
Арифметическая прогрессия.
Формула (рекуррентная) п-го члена
арифметической прогрессии
Цели: ввести понятия арифметической прогрессии и разности арифметической прогрессии; вывести рекуррентную формулу п-го члена арифметической прогрессии; формировать умения нахождения разности и нескольких первых членов арифметической прогрессии по первому члену и разности, а также п-го члена по формуле.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1-й б л о к. Актуализация знаний.
Назовите первые три члена последовательности:
а) an = ; б) bn = 3n – 1; в) сп = п2 + 1.
Для последовательности, заданной первым членом и рекуррентной формулой, найдите второй и третий члены:
г) x1 = 2, xп + 1 = ;
д) у1 = 3, уп + 1 = уп2 – 5.
2-й б л о к. Актуализация знаний и создание проблемной ситуации.
Задать последовательность с помощью формулы п-го члена или рекуррентной формулы.
Последовательность
Формула
а) –2; 0; 2; 4; …
х1 = –2; хп + 1 = хп + 2
б) –5; 5; –5; 5; …
хп = (–1)п · 5
в) 2; 2,5; 3; 3,5; 4; …
х1 = 2; хп + 1 = хп + 0,5
г) 1; 4; 9; 16; …
хп = п2
д) 1; …
х1 = 2; хп + 1 =
е) 0; 10; 20; 30; 40; …
х1 = 0; хп + 1 = хп + 10
ж) а; а + 3; а + 6; а + 9; …
х1 = а; хп + 1 = хп + 3
После заполнения таблицы анализируем полученные результаты и замечаем, что последовательности а), в), е) и ж) – одинакового вида, а именно: задаются рекуррентным способом и каждый член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числа (2; 0,5; 10; 3).
Учащиеся «открыли» определенный вид последовательности. Следует сказать, что такие последовательности называются «арифметическая прогрессия», и попросить учащихся попробовать самостоятельно сформулировать определение такой прогрессии на основе выделенных ими характеристических свойств.
III. Объяснение нового материала.
1. Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
(ап) – арифметическая прогрессия, если для любого п N выполняется условие ап + 1 = ап + d, где d – некоторое число. Число d называется «разностью арифметической прогрессии», так как из определения следует, что ап + 1 – ап = d.
Далее следует привести примеры арифметических прогрессий, причем следует варьировать значение d (положительные числа; отрицательные; нуль; дробные).
П р и м е р ы арифметических прогрессий:
1) а1 = 1, d = 1.
1; 2; 3; 4; … (последовательные натуральные числа).
2) а1 = 1, d = 2.
1; 3; 5; 6; … (последовательность положительных
нечетных чисел).
3) а1 = –2, d = –2.
–2; –4; –6; –8; –10; … (последовательность отрицательных
четных чисел).
4) а1 = 7, d = 0.
7; 7; 7; 7; … (постоянная последовательность).
5) а1 = 1, d = 0,3.
1; 1,3; 1,6; 1,9; 2,2; …
Обращаем внимание, что если d > 0, то арифметическая прогрессия возрастающая, если d < 0 – убывающая, если d = 0 – постоянная.
2. Итак, учащиеся знают, что для того чтобы найти любой член арифметической прогрессии (или задать ее), достаточно знать ее первый член и разность. Следует подвести их к мысли, что это очень трудоемко, например:
(ап) – арифметическая прогрессия, где а1 = 2, d = 27. Найти сотый член.
Пользуясь определением, нам нужно сделать 100 шагов. Это громоздко. Хотелось бы знать формулу для нахождения любого члена арифметической прогрессии только по первому члену, разности и порядковому номеру искомого члена.
Для вывода формулы пользуемся определением арифметической прогрессии:
а1
а2 = а1 + d
а3 = а2 + d = (а1 + d) + d = а1 + 2d
а4 = а3 + d = (а1 + 2d) + d = а1 + 3d
а5 = а4 + d = (а1 + 3d) + d = а1 + 4d
а6 = … = а1 + 5d
… …
– формула п-го члена
арифметической прогрессии.
П р и м е р 1. (сп) – арифметическая прогрессия,
с1 = 0,62, d = 0,24; с50 –?
с50 = с1 + d (50 – 1) = 0,62 + 0,24 · 49 = 12,38.
Этот пример на «прямое» использование формулы п-го члена арифметической прогрессии.
П р и м е р 2. Выяснить, является ли число –122 членом арифметической прогрессии (хп):
23; 17,2; 11,4; 5,6; …
При рассмотрении этого примера пояснить, что для решения надо доказать, что существует п N, при котором будет верна формула п-го члена:
–122 = 23 + (п – 1) · (–5,8), где
–5,8 = 17,2 – 23 – разность арифметической прогрессии.
IV. Формирование умений и навыков.
Все задания, выполняемые учащимися на этом уроке, можно разбить на 3 типа:
1) На «узнавание» арифметической прогрессии, определение ее первого члена и разности.
2) На нахождение п-го члена арифметической прогрессии по определению и по формуле.
3) На запись формулы п-го члена по первому члену и разности, решение задач на «косвенное» использование формулы п-го члена (например, нахождение п).
Упражнения:
1. Решить устно:
а) Является ли последовательность арифметической прогрессией:
–3,5; –7; –10,5; –14; –17,5; … (Да.)
5; 5; 5; 5; … (Да.)
2; 12; 22; 23; 32; … ? (Нет.)
б) Найти члены арифметической прогрессии, обозначенные буквами:
–10; –7; с3; с4; с5; с6
–3,4; –1,4; а3; а4
12; у2; 20; у4.
в) (ап) – арифметическая прогрессия. Является ли арифметической прогрессией последовательность:
12а1; 12а2; …; 12ап; …
3а1 + 1; 3а2 + 1; …; 12ап + 1; … ?
2. № 575 (а, б), № 576 (а, в, д). Самостоятельное решение с последующей проверкой.
№ 577. Решение у доски с объяснением.
№ 579. Самостоятельное решение и одновременно на скрытых досках с проверкой.
3. № 584. Задание на «не прямое» применение формулы. Еще раз подчеркнуть, что с помощью этой формулы можно находить следующие величины: ап; а1; d; п.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется арифметической прогрессией?
– Как задается арифметическая прогрессия?
– Назовите формулу п-го члена арифметической прогрессии.
Домашнее задание: № 575 (в, г); № 576 (б, г, е); № 586; № 599.
Автор(ы): Лескина М. Л.
Скачать: Алгебра 9кл - Конспект 76.docx Название предмета Алгебра
Класс 9
УМК (название учебника, автор, год издания) «Алгебра 9» Ю.Н Макарычев,2008 Уровень обучения: базовый
У р о к 4 (77)
Свойство арифметической прогрессии
Цели: вывести и доказать характеристическое свойство арифметической прогрессии; формировать умения применять свойство арифметической прогрессии при решении задач; продолжить формирование навыков применения определения арифметической прогрессии и формулы п-го члена.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Математический диктант.
Работа выполняется по вариантам (в квадратных скобках задание, относящееся ко второму варианту).
1) У арифметической прогрессии первый член 4 [6], второй член 6 [2]. Найдите разность d.
2) У арифметической прогрессии первый член 6 [4], второй член 2 [6]. Найдите третий член.
3) Найдите десятый [восьмой] член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 1, а разность 4 [5].
4) Является ли последовательность четных [нечетных] чисел арифметической прогрессией?
5) ап – арифметическая прогрессия. Выразите через а1 и d:
а10; а2k; ak + 3 [a20; ak; a2k + 1].
О т в е т ы: 1) 2 [–4];
2) –2 [8];
3) 37 [36];
4) Да [Да];
5) а10 = а1 + 9d [а20 = а1 + 19d];
а2k = а1 + d (2k – 1) [аk = а1 + d (k – 1)];
ak + 3 = а1 + d (k + 2) [a2k + 1 = а1 + 2dk].
III. Объяснение нового материала.
У с т н о е з а д а н и е:
Дана арифметическая прогрессия (хп): 2; 5; 8; 11; 14.
Вычислить: = (5.)
= (8.)
= (11.)
Замечаем интересное свойство и формируем его – «Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов».
Так как мы это предположили исходя из рассмотрения конкретной последовательности, данное утверждение следует доказать:
Пусть (хп) – арифметическая прогрессия, тогда
хп – хп – 1 = хп + 1 – хп, то есть
2хп = хп – 1 + хп + 1,
хп =
Следует обратить особое внимание учащихся, что это утверждение – свойство арифметической прогрессии. А если мы сформулируем обратное утверждение и сможем его доказать, то как будет оно называться? Это будет признак арифметической прогрессии: «Если в последовательности (хп) каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией».
Пусть хп = , где п ≥ 2, тогда 2хп = хп – 1 + хп + 1,
хп – хп – 1 = хп + 1 – хп, то есть разность между последующим и предыдущим членами последовательности (хп) остается постоянной. Значит, (хп) – арифметическая прогрессия .
IV. Формирование умений и навыков.
Задачи, решаемые на этом уроке, более разнообразны по сравнению с предыдущим уроком. Теперь мы можем использовать определение арифметической прогрессии, ее свойство и признак, формулу п-го члена.
Кроме того, появляются задачи, в тексте которых не задана арифметическая прогрессия в явном виде. Нужно «перевести» условие на математический язык, «увидеть» арифметическую прогрессию, решить задачу и формулировку ответа опять «перевести» на язык условия.
Упражнения:
1. № 580, № 585. Самостоятельное решение заданий на «прямое» применение формулы п-го члена и нахождения разности.
№ 582. Решение у доски с объяснениями. Необходимо самостоятельно задать арифметическую прогрессию (хп), где
х1 = 50 (м/мин) – скорость поезда в конце первой минуты;
d = 50 (м/мин) – увеличение скорости;
х20 –?
х20 = х1 + d (20 – 1);
х20 = 50 + 50 · 19 = 50 · 20 = 1000 (м/мин).
Обращаем внимание, что скорость принято выражать в км/ч, значит, ответ · 60 = 60 (км/ч).
№ 587.
2. № 589, № 593. Эти упражнения на неоднократное применение формулы п-го члена арифметической прогрессии, сводящиеся к решению системы уравнений либо неравенства.
Особое внимание следует уделить анализу условия. Решение полученной системы уравнений и неравенства ученики могут осуществить самостоятельно.
3. Упражнение на применение свойства арифметической прогрессии носит развивающий характер.
Первый член арифметической прогрессии равен 7. Найдите второй и третий ее члены, если известно, что они являются квадратами двух последовательных натуральных чисел.
Р е ш е н и е
Пусть (ап) – арифметическая прогрессия, где
а1 = 7;
а2 = п2;
а3 = (п + 1)2, п N.
По свойству арифметической прогрессии:
а2 = ;
а1 + а3 = 2а2;
7 + (п + 1)2 = 2п2;
п2 – 2п – 8 = 0;
п = 4 или п = –2. Так как п N, то –2 – не удовлетворяет условию.
а2 = 42 = 16;
а3 = 52 = 25.
V. Итоги урока.
– Сформулируйте свойство арифметической прогрессии.
– Сформулируйте признак арифметической прогрессии.
Домашнее задание: № 581, № 588, № 591; 594
Автор(ы): Лескина М. Л.
Скачать: Алгебра 9кл - Конспект 77.docxНазвание предмета Алгебра Класс 9 УМК (название учебника, автор, год издания) «Алгебра 9» Ю.Н Макарычев,2008 Уровень обучения: базовый У р о к 5 (78). Формула п-го члена арифметической прогрессии (аналитическая) Цели: вывести аналитическую формулу п-го члена арифметической прогрессии; формировать умения задавать арифметическую прогрессию аналитической и рекуррентной формулами; закрепить умения и навыки применения формул п-го члена и свойства арифметической прогрессии. Ход урока I. Организационный момент. II. Проверка домашней работы. 1. № 594. У доски – решение с комментариями ученика. Р е ш е н и е d = –18,7 – (–20,3) = 1,6; ап = –20,3 + 1,6 (п – 1); ап = –21,9 + 1,6п. Пусть ап > 0, тогда –21,9 + 1,6п > 0; п > ; п > 13,6875. Значит, п = 14 – порядковый номер первого положительного члена арифметической прогрессии. а14 = –21,9 + 1,6 · 14 = 0,5. 2. Ответы учащихся на вопросы по домашней работе. III. Объяснение нового материала. 1. ап = а1 + d (п – 1) – формула п-го члена арифметической прогрессии. Запишем ее в виде ап = d · п + (а1 – d), так как (а1 – d) – некоторое число, то обозначим его b = а1 – d и k = d, тогда получаем, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида , где k и b – некоторые числа. Такие формулы мы встречали при изучении последовательностей. Делаем вывод, что арифметическую прогрессию можно задать не только рекуррентной, но и аналитической формулой. Более того, верно и обратное утверждение: последовательность (ап), заданная формулой вида ап = k · п + b, где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией. Найдем разность (п + 1)-го и п-го членов последовательности (ап): ап + 1 – ап = k (п + 1) + b – (kп + b) = kп + k + b – kп – b = k. Значит, при любом п справедливо ап + 1 = ап + k и по определению (ап) – арифметическая прогрессия с разностью k. IV. Формирование умений и навыков. Упражнения: № 597. Можно решать устно. № 583. При решении этой задачи необходимо использовать сведения из курса геометрии (подобие треугольников). Обозначив А1В1 = х, получим А2В2 = 2х; А3В3 = 3х; … АпВп = п · х, где х = 1,5 (см), получим последовательность, заданную формулой АпВп = 1,5 · п, то есть формула имеет вид ап = kп + b, где k = 1,5; b = 0. Дальнейшие вычисления проводим, используя формулу п-го члена арифметической прогрессии. V. Самостоятельная работа. В а р и а н т 1 1. Зная первые два члена арифметической прогрессии 3,4; –0,2; …, найдите следующие за ними четыре ее члена. 2. В арифметической прогрессии (bп) известны b1 = –0,8, d = 4. Найдите b3; b24. 3. В арифметической прогрессии (хп) известны х1 = 14 и d = 0,5. Найдите номер члена прогрессии, равного 34. 4.* Мастерская изготовила в январе 106 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 12 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила мастерская в июне? В а р и а н т 2 1. Зная первые два члена арифметической прогрессии 2,8; –0,4; …, найдите следующие за ними четыре ее члена. 2. В арифметической прогрессии (ап) известны а1 = –1,2, d = 3. Найдите а4; а21. 3. В арифметической прогрессии (bп) известны b1 = 12 и d = 3. Найдите номер члена прогрессии, равного 27. 4.* Бригада стеклодувов изготовила в январе 80 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 17 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила мастерская в августе? Упражнения под звездочкой не обязательны для выполнения. О т в е т ы: Задание I вариант II вариант 1 –3,8; –7,4; –11; –14,6 –3,6; –6,8; –10; –13,2 2 b3 = 7,2; b24 = 71,2 а4 = 7,8; а21 = 58,8 3 п = 41 п = 6 4 166 199 Так как самостоятельная работа носит обучающий характер, то целесообразно проверить ее на этом уроке. VI. Итоги урока. Анализ результатов самостоятельной работы. Домашнее задание: № 590, № 592, № 594; № 598.
Автор(ы): Лескина М. Л.
Скачать: Алгебра 9кл - Конспект 78.docxАвтор(ы): Лескина М. Л.
Скачать: Алгебра 9кл - Презентация к уроку 77.rar
