Функции х^n, их свойства и графики

Текст урока

• конспект (Коптик М.В.)

   Название предмета Алгебра 
  Класс 9
  УМК А.Г. Мордкович, 
  Уровень обучения базовый
  Тема урока Функции , их свойства и графики
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы 3
  Место урока в системе уроков по теме 42
  Цель урока изучить свойства степенной функции с натуральным показателем, ее график; закрепить знание свойств функции у = хn (при n – четном числе) в ходе упражнений.
  Задачи урока: отработка навыков построения графиков степенных функций.
  Содержание урока
  Функции у = хn (n N),
  их свойства и графики (3 ч)
  У р о к  1
  Цели: изучить свойства степенной функции с натуральным показателем, ее график; закрепить знание свойств функции у = хn (при n – четном числе) в ходе упражнений.
  Ход урока
  I. Анализ контрольной работы.
  1. Указать основные ошибки, допущенные учащимися в ходе выполнения работы.
  2. Решить задания, вызвавшие затруднения у учащихся.
  II. Изучение нового материала.
  1. Определение степенной функции у = хn с натуральным показателем.
  2. Две степенные функции мы уже изучили: у = х (n = 1) и у = х2 (n = 2). Как выглядят графики функций у = х3, у = х4, у = х5, у = х6 и т. д.? Каковы свойства этих функций?
  3. Рассмотреть функцию у = х4, х ≥ 0, составив таблицу значений и построив точки по соответствующим координатам: рис. 104a и рис. 104б на с. 116 учебника.
  4. Построить график функции у = х4 (рис. 105) и записать в тетрадях свойства функции у = х4:
  1) D(f) = (– ∞; ∞);
  2) четная функция;
  3) убывает на луче (– ∞; 0], возрастает на луче [0; + ∞);
  4) ограничена снизу, не ограничена сверху;
  5) унаим = 0, унаиб – не существует;
  6) непрерывна;
  7) Е(f) = [0; + ∞);
  8) выпукла вниз.
  5. Функция  у = х2n (2n – четное число).  Речь идет о функциях   у = х6,
  у = х8 и вообще о степенной функции с четным показателем степени.
  График любой такой функции похож на график функции у = х4 (рис. 105), только его ветви более круто направлены вверх.
  Кривая у = х2n касается оси х в точке (0; 0), то есть одна ветвь кривой плавно переходит в другую, как бы прижимаясь к оси х.
  III. Закрепление изученного материала.
  1. Решить № 12.1 (б; в) и на доске и в тетрадях.
  2. Решить № 12.9 (а) и  № 12.10 (б) на доске и в тетрадях.
  3. Решить № 12.11 (а; в).
  а) у = х6 на отрезке [– 1; 1].
  у = f(х) = f(0) = х6 = 06 = 0;  унаим = 0;
  у = f(– 1) = f(1) = (– 1)6 = (1)6 = 1;  унаиб = 1;
  в) у = х6 на полуинтервале (– 2; 2].
  у = f(0) = 0;  унаим = 0;
  у = f(2) = 26 = 64;  унаиб = 64.
  4. Решить № 12.13 (в) с комментированием на месте.
  в) у = х6  и  у = – 2х2. Решим уравнение х6 = – 2х2;
  х6 + 2х2 = 0;  х2(х4 + 2) = 0;  х = 0;  х4 = – 2  – нет решений.
  х = 0, то у = 0.
  О т в е т: (0; 0).
  5. Решить № 12.14 (а), построив графики функций у = х6 и  и найдя координаты точки их пересечения.
  О т в е т: х = – 1.
  6. Решить № 12.19 (а) на доске и в тетрадях.
  а) 
  Свойства:
  1) D(f) = (– ∞; + ∞);
  2) функция ни четная, ни нечетная;
  3) убывает на луче (– ∞; 0], возрастает на луче [0; + ∞);
  4) ограничена снизу, не ограничена сверху;
  5) унаим = 0, унаиб – не существует;
  6) непрерывна;
  7) Е(f) = [0; + ∞);
  8) выпукла вниз на луче (–∞; 0); выпукла вверх на луче [0; + ∞).
  
  7. Решить № 12.33● (а; в). Решение объясняет учитель.
  а) х4 + х2 + 1 = 0.
  Левая часть уравнения положительна при всех значениях х, значит, уравнение не имеет корней.
  в) х4 + х2 – 2х + 3 = 0.
  
  I способ. 
  Преобразуем  уравнение  к  виду   х4 = – х2 + 2х – 3.   Графики  функций
  у = х4 и у = – х2 + 2х – 3 не пересекаются, следовательно, уравнение не имеет корней.
  II способ.
  Преобразуем уравнение к виду х4 + (х – 1)2 + 2 = 0. Левая часть уравнения положительна при всех значениях х, значит, уравнение не имеет корней.
  IV. Итоги урока. Выставление отметок.
  Домашнее задание: изучить по учебнику материал на с. 115–119; решить  № 12.1  (а; г);  № 12.9  (в);  № 12.10  (г);  № 12.13  (а);  № 12.14  (в); № 12.19 (в).
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Название предмета Алгебра 
  Класс 9
  УМК А.Г. Мордкович, 
  Уровень обучения базовый
  Тема урока Функции , их свойства и графики
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы 3
  Место урока в системе уроков по теме 43
  Цель урока изучить свойства степенной функции у = хn при нечетном показателе, ее график; закрепить знание свойств функции у = х2n + 1 в ходе выполнения упражнений; развивать у учащихся навыки построения графиков функций.
  Задачи урока: отработка навыков построения и чтения графиков степенных функций.
  Содержание урока
  У р о к  2
  Цели: изучить свойства степенной функции у = хn при нечетном показателе, ее график; закрепить знание свойств функции у = х2n + 1 в ходе выполнения упражнений; развивать у учащихся навыки построения графиков функций.
  Ход урока
  I. Устная работа.
  1. Дайте определение четной и нечетной функции. Сформулируйте свойства графика четной функции и нечетной функции.
  2. Какую функцию называют степенной функцией с натуральным показателем?
  3. Сформулируйте свойства степенной функции с четным показателем. Покажите схематически, как выглядит график этой функции.
  II. Объяснение нового материала.
  1. Функция у = х3 – нечетная, значит, ее график симметричен относительно начала координат. Разобрать построение графика по рис. 107 на с. 118 учебника. Кривую называют кубической параболой.
  2. Свойства функции у = х3 (записать в тетради):
  1) D(f) = (– ∞; + ∞);
  2) нечетная функция;
  3) возрастает;
  4) не ограничена ни снизу, ни сверху;
  5) нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
  6) непрерывна;
  7) Е(f) = (– ∞; + ∞);
  8) выпукла вверх при х < 0, выпукла вниз при х > 0.
  3. Функция у = х2n + 1 (2n + 1 – нечетное число).
  Речь идет о функциях у = х3, у = х5, у = х7 и вообще о степенной функции с нечетным показателем степени (3; 5; 7; 9 и т. д.).
  График любой такой функции похож на график функции у = х3 (рис. 107), только чем больше показатель, тем более круто направлены вверх (и вниз) ветви графика. Кривая у = х2n + 1 касается оси х в точке (0; 0).
  III. Закрепление изученного материала.
  1. Решить № 12.8 (в; г) на доске и в тетрадях.
  2. Решить № 12.9 (б) и № 12.10 (а).
  3. Решить № 12.12 (а; в) с комментированием на месте.
  а) у = х5 на отрезке [– 1; 1];
  у = f(– 1) = (– 1)5 = – 1;  унаим = – 1;
  у = f(1) = 15 = 1;  унаиб = 1.
  в) у = х5 на полуинтервале (1; 3].
  унаим – нет,  унаиб = 35 = 243.
  4. Решить № 12.13 (г) на доске и в тетрадях.
  г) у = х7 и у =  решим уравнение х7 =  при х ≥ 0;
  (х7)2 = ()2;  х14 = х;  х14 – х = 0;
  х(х14 – 1) = 0;  х = 0  или  х14 – 1 = 0,  х14 = 1,  х = 1.
  Если х = 0, то у = 0;
  если х = 1, то у = 1.
  О т в е т: (0; 0); (1; 1).
  5. Решить № 12.14 (б). О т в е т: 1; – 1.
  6. Решить № 12.17 (в; г), изобразив графики функций.
  б) 
  
  О т в е т: одно решение.
  в) 
  
  О т в е т: нет решений, то есть 0 решений.
  7. Решить № 12.19 (г). Построить и прочитать график функции.
  
  Свойства:
  1) D(f) = (– ∞; 2];
  2) функция ни четная, ни нечетная;
  3) возрастает на (– ∞; – 1], убывает на [– 1; 2];
  4) ограничена сверху;
  5) наименьшего значения нет; унаиб = – 1;
  6) непрерывна;
  7) Е(f) = (– ∞; – 1];
  8) выпукла вверх при х < – 1.
  
  8. Решить № 12.37●.
  Решение объясняет учитель.
  f(х) = – х3;  f(–) = – (–)3 = ;
  f(2х5) = – (2х5)3 = – 8х15;
  Значит, (f(х))9 : f(–) = (– х3)9 :  = – 8х15 = f(2х5).
  9. Решить № 12.35●.
  Решают учащиеся с помощью учителя.
  Р е ш е н и е
  f(х) = – х4; f(4х) = – (4х)4 = – 256х4;  f(–) = – (–)4 = –
  (f(х))2 = (– х4)2  =  х8;   значит,   f(4х) · f(–)  =  – 256х4 · (–)  =  х8  =
  = (f(х))2.
  IV. Итоги урока. 
  Повторить свойства функции у = хn при нечетном показателе.
  Домашнее задание: изучить по учебнику на с. 119–122 материал и решение примеров 1 и 2, записать в тетрадь; решить № 12.13 (б); № 12.14 (г), № 12.17 (а; г), № 12.19 (б) и № 12.34●.
  
  
  
  
  
  Название предмета Алгебра 
  Класс 9
  УМК А.Г. Мордкович, 
  Уровень обучения базовый
  Тема урока Функции , их свойства и графики
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы 3
  Место урока в системе уроков по теме 44
  Цель и задачи урока развивать и закреплять знания учащихся в построении и чтении графиков функций; использовать свойства степенной функции с натуральным показателем при решении систем уравнений и графическом решении неравенств; развивать логическое мышление учащихся.
  Содержание урока
  У р о к  3
  Цели: развивать и закреплять знания учащихся в построении и чтении графиков функций; использовать свойства степенной функции с натуральным показателем при решении систем уравнений и графическом решении неравенств; развивать логическое мышление учащихся.
  Ход урока
  I. Актуализация опорных знаний учащихся.
  1. Построить на доске график функции у = х2n. Используя этот график, решить устно задание:
  Дана функция у = f(х), где f(х) = х8. Сравните числа:
  а) f(16,8) и f(16,2);     б) f(– 3,1) и f(– 2,9);
  в) f(– 8,3) и f(8,3).
  2. Построить на доске график функции у = х2n + 1. По этому графику устно решить упражнение:
  Дана функция у = f(х), где f(х) = х11. Сравните числа:
  а) f(13,4) и f(13,6);     б) f(– 7,2) и f(– 4,1);
  в) f(– 2,7) и f(2,7).
  3. Обратить  внимание  учащихся  на  то, что  при  решении  уравнения х5 = 3 – 2х (пример 1, рис. 108 на с. 120 учебника) геометрическая модель наглядно иллюстрирует следующее утверждение, которое иногда позволяет изящно решить уравнение: «Если функция у = f(х) возрастает, а функция у = g(х) убывает и если уравнение f(х) = g(х) имеет корень, то только один».
  II. Выполнение упражнений.
  1. Решить № 12.18 (б; в), построив графики функций.
  О т в е т: б) одно;  в) два решения.
  2. Решить № 12.20 на доске и в тетрадях.
  а) у = хn;  точка (2; 256),  тогда х = 2,  у = 256;  имеем  256 = 2n;  28 = 2n,
  n = 8.
  б) Точка  (– 2; – 128);  х = – 2; у = – 128.  Значит,  – 128 = (– 2)n; (– 2)7 =
  = (– 2)n; отсюда n = 7.
  в) Самостоятельно решить: точка (3; 243), тогда х = 3, у = 243. Получим 3n = 243; 3n = 35; n = 5.
  г) Самостоятельно:  точка (– 4; 256);  отсюда х = – 4, у = 256.  Получим
  (– 4)n = 256 = (– 4)4; n = 4.
  О т в е т: а) 8;  б) 7;  в) 5;  г) 4.
  3. Решить № 12.25 (в; г). 
  Учитель объясняет решение, привлекая учащихся к обсуждению построения графиков функций.
  в) х3 ≥ | х |– 2; строим графики функций у = х3 и у = | х | – 2.
  
  При х ≥ – 1 график функции у = х3 расположен выше графика у = | х | –
  – 2, значит, х3 ≥ | х | – 2.
  О т в е т: х ≥ – 1.
  г) – х4 <  + 1.
  Строим графики функций у = – х4 и у =  + 1.
  
  При  х  ≥  0  график  функции  у  =  – х4  расположен  ниже  графика
  у = + 1, значит, значения меньше, то есть выполняется неравенство
  – х4 <  + 1.
  О т в е т: х ≥ 0.
  4. Решить № 12.27 и № 12.28 на доске и в тетрадях, построив и прочитав графики функций.
  5. Повторение ранее изученного материала.
  Решить № 30 на с. 8 из «Задачи на повторение».
  а) 
  
  б) 
  
  
  О т в е т: а) 1;  б) 0.
  III. Итоги урока. 
  Домашнее задание:  решить  № 12.18  (а; г);  № 12.25  (а; б),  № 12.30, № 12.36●.
   

   Read more ...

  Автор(ы):

  Скачать: Алгебра 9кл - конспект (Коптик М.В.).doc