Глава 2. Системы уравнений [Мордкович А.Г.].: Системы уравнений. Основные понятия.

Тип материала

Системы уравнений. Основные понятия

Текст урока

конспект урока (Карасева Л.М.)

Системы уравнений.
Название предмета: алгебра
Класс: 9
УМК (Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч 1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. – 12 изд., стер. - М. : Мнемозина, 2010. – 224 с : ил)
Уровень обучения:базовый
Тема урока:Системы уравнений. Основные понятия.
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3ч.
Место урока в системе уроков по теме:урок 1.
Цель урока: повторить определенные представления о системах уравнений, имеющиеся у учащихся, уточнить их; ввести определение рационального уравнения с двумя переменными и определение решения уравнения р(х; у) = 0; научить строить график уравнения
Задачи урока:
Выявить уровень усвоения полученных знаний;
Создать условия для самооценки своих возможностей и выбора цели в деятельности;
Развивать навыки индивидуальной и самостоятельной работы;
Планируемые результаты: Знание уравнений окружности, прямой, параболы, гиперболы, уравнений с модулем. Умение применять в решении систем уравнений графические и аналитические методы.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:Алгебра (математика) 9 класс - InternetUrok.ruhttp://interneturok.ru/algebra/9-klass/sistemy-uravneniy/osnovnye-opredeleniya-primery-sistemy-dvuh-uravneniy?seconds=0&chapter_id=26);
компьютерная программа«УМК Живая Математика 4.3»

Ход урока
I. Актуализация знаний.Обучающимся предлагается ответить на вопросы:
- Какое уравнение называют рациональным уравнением с 2 переменными?.
- Что называют решением уравнения с 2 переменными?
- Какие уравнения называют равносильными?
- Какие равносильные преобразования можно делать при решении уравнений?
- Какие неравносильные преобразования вы знаете?
- Что такое график уравнения с 2 переменными?
II. Изучение нового материала.
1. Разобрать решение примера 1 (учебник). (Возможно использовать при объяснении материалы видеоурока Алгебра (математика) 9 класс - InternetUrok.ru http://interneturok.ru/algebra/9-klass/sistemy-uravneniy/osnovnye-opredeleniya-primery-sistemy-dvuh-uravneniy?seconds=0&chapter_id=26˗ пункты 1,2).
2. Определение рационального уравнения с двумя переменными х, у:
Определение 1: Рациональным уравнением с двумя переменными х, у называют уравнение вида р (х, у) = 0, где р (х, у) — рациональное выражение (т.е. алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменных х, у с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень).

3. Примеры рациональных уравнений с двумя переменными:

4. Определение решения уравнения р(х; у) = 0.
Определение 2: Решением уравнения р (х, у) = 0 называют всякую пару чисел (х;у), которая удовлетворяет этому уравнению, т.е. обращает равенство с переменными р (х, у) = 0 в верное числовое равенство. Например:
1)  (3; 7) — решение уравнения х2 + у2 = 58. В самом деле, З2 + 72 = 58 — верное числовое равенство.
2)   — решение уравнения х2 + у2 - 58. В самом деле,  — верное числовое равенство (22 + 36 = 58).
3) (0; 5) — решение уравнения 2ху + х3 = 0. В самом деле, 2 • 0 • 5 + 0+ О2 = 0 — верное числовое равенство.
4)  (1; 2) не является решением уравнения 2ху + х3 = 0. В самом деле, 2 • 1 • 2 + 3 = 0 — неверное равенство (получается 5 = 0).
Для уравнений с двумя переменными, как и для уравнений с одной переменной, можно ввести понятие равносильности уравнений.
5.Определение 3: Два уравнения р(х, у) = 0 и д(х, у) = 0 называют равносильными, если они имеют одинаковые решения (в частности, если оба уравнения не имеют решений).
Обычно при решении уравнения стараются заменить данное уравнение более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием уравнения. Два основных равносильных преобразования:
1)    Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками.
Например, замена уравнения 2х + bу = 7х - 8у уравнением 2х - 7х — -8у - bу есть равносильное преобразование уравнения.
2)    Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или выражение.
6. Неравносильными преобразованиями уравнения являются:
1) Освобождение от знаменателей, содержащих переменные.
2) Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
7. Иногда удается перейти к геометрической (графической) модели уравнения с двумя переменными, то есть построить график уравнения.
III. Закрепление изученного материала.
1. Решить № 5.4 (а; б).
а) 2х + 3у = 6; 3у = 6 – 2х; у =
б) 4х – 5у = 20; 5у = 4х – 20; у =
2. Решить № 5.5 (в; г).
в) у + у =
Это парабола с вершиной в (0;0). Ветви параболы направлены вниз.
г) прих ≠ 0.
Это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.
3. Решить под руководством учителя № 5.28 ( б).
а) (3х + у + 9)(5х + у – 5) = 0.
3х + у + 9 = 0 или 5х + у – 5 = 0
у = – 3х – 9 или у = – 5х + 5.
Строим в одной системе координат две прямые.
б) (ху – 4) (х + 2у) = 0
ху – 4 = 0 или х + 2у = 0
ху = 4 или 2у = –х
Получим в одной системе координат графики двух функций: гиперболуу = и прямую у = –х.
у =

у = –х

Учитель строит графики функций в одной системе координат с помощью компьютерной программы «Живая математика»:

4. Повторение ранее изученного материала.
Решить № 24 (а; в)
(Повторение материала 7 класса решение системы уравнений способом сложения).
а)
О т в е т: (4; 2).
в)
О т в е т: (60; 30).
5. Резерв: решить систему графическим способом самостоятельно

IV.Рефлексия (слайд)Продолжи предложение
1. сегодня я узнал (а)…
2. было интересно…
3. было трудно…
4. я выполнял(а) задания…
5. я понял (а), что…
6. теперь я могу…
7. я почувствовал (а), что…
8. я приобрел (а)…
9. я научился (ась)…

V. Домашнее задание: п. 24 учебника; № 5.4 (в; г); № 5.5 (а; б), № 5.28 (в; г)

Ход урока
I. Актуализация знаний.Обучающимся предлагается ответить на вопросы:
1. Какие уравнения называются рациональными?
2. Приведите примеры рациональных уравнений.
3. Что значит решить рациональное уравнение?
4. Какие уравнения называют равносильными?
5. Какие преобразования уравнения называются равносильными?
6. Перечислите неравносильные преобразования уравнения.
7. Что означает построить график уравнения?
8. Какое уравнение является уравнением окружности?
9. Какая функция является графиком уравнения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
II. Изучение нового материала.
1.Рассмотреть материалы видеоурока Алгебра (математика) 9 класс - InternetUrok.ru http://interneturok.ru/algebra/9-klass/sistemy-uravneniy/osnovnye-opredeleniya-primery-sistemy-dvuh-uravneniy?seconds=0&chapter_id=26˗ пункты 3-5).
2. Записать в тетрадях теорему:
«Графиком уравнения (х – а)2 + (у – b)2 = r2 является окружность с центром в точке (а; b) и радиусом r».

3. Частный случай теоремы:
Еслиа = 0, b = 0, то х2 + у2 = r2. Графиком этого уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом r, где r – положительное число.
4.Пример 5. Построить график уравнения:
а) (х - I)2 + (у - 2) 2 = 9; б) х 2+ у2 + 4х= 0
Решение:а) Перепишем уравнение в виде (x - I)2 + (у - 2)2 = З2. Графиком этого уравнения, по теореме, является окружность с центром в точке (1; 2) и радиусом 3
б) Перепишем уравнение в виде (х2 + 4х + 4) + у2 = 4, т.е. (х + 2)2 + у2 = 4 и далее (х - (-2))2+ (у - О)2 = 22. Графиком этого уравнения, по теореме, является окружность с центром в точке (-2; 0) и радиусом 2
5. Работа по учебнику: изучить таблицу аналитической, геометрической и словесной модели окружности.

III. Закрепление изученного материала.
1. Выполнить № 5.6 (в; г). (Учитель строит графики функций в одной системе координат с помощью компьютерной программы «Живая математика»)
Построить графики окружностей на доске и в тетрадях:
в) х2 + у2 = 4. Центр О (0; 0), радиус r = 2.
г) х2 + у2 = 1. Центр окружности О (0; 0), радиус r = 1.

2. Выполнить № 5.7 (в). (Учитель строит графики функций в одной системе координат с помощью компьютерной программы «Живая математика»)
в) (х – 10)2 + (у + 1)2 = 16. Центр в точке А (10; – 1) и радиус 4.

3. Обучающиеся решают с комментированием на месте.№ 5.8 (в; г).
в) (х – 4)2 + (у – 1)2 = 9. Окружность с центром в точке В (4; 1) и радиусом 3.
г) (х + 1)2 + (у – 3)2 = 4. Окружность с центром D (– 1; 3) и радиусом 2.
4.Обучающиеся решают с комментированием на месте № 5.11 (в; г).
(х – а)2 + (у – b)2 = r2 уравнение окружности.
в) (х – 0)2 + (у + 10)2 = 72; х2 + (у + 10)2 = 49;
г) (х + 5)2 + (у + 2)2 = 42; (х + 5)2 + (у + 2)2 = 16.
5. Решить № 5.13 (в; г), выполняется по рисунку задачника. Записать в тетради координаты центра окружности, ее радиус, уравнение окружности.
в) Центр в точке А (1; 4), радиус окружности r = 2;
тогда (х – 1)2 + (у – 4)2 = 4.
г) Центр окружности В (–3; – 2), радиус равен 1; уравнение окружности (х + 3)2 + (у + 2)2 = 1.
6. Решить № 5.14 (а; б), выполняется по рисунку задачника.
а) Центр окружности М (0; –2) и радиус r = 2; уравнение окружности х2 + (у + 2)2 = 4.
б) Центр окружности D (–3; 0) и радиус r = 3, тогда (х + 3)2 + у2 = 9.
IV. Повторение ранее изученного материала.
1) Решить № 29 (а; б), (выполняется на доске и в тетрадях обучающихся, работа в парах).
а)
0 · х + 0 · у = – 9
О т в е т: нет решений.
б)
0 · х + 0 · у = 0 верно при любом значении х.
О т в е т: бесконечное множество решений.
V. Итоги урока (обучающимся предлагается выполнить задание)
Незаконченное предложение.
сегодня на занятии я узнал(а) __________________________________
я понял(а), что________________________________________________
я научился (ась)_________________________________________________
теперь я могу _______________________________________________
у меня получилось ___________________________________________
мне захотелось ______________________________________________

Домашнее задание: материал п. 5, упражнения № 5.6 (а; б); № 5.7 (а; б), № 5.8 (а; б); № 5.11 (а; б), № 5.13 (а; б)

Название предмета: алгебра
Класс: 9
УМК (Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч 1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. – 12 изд., стер. - М. : Мнемозина, 2010. – 224 с : ил)
Уровень обучения: базовый
Тема урока:Системы уравнений. Основные понятия.
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3ч.
Место урока в системе уроков по теме: урок 3.
Цель урока:ввести определение системы уравнений, ее решения; показать графический метод решения системы уравнений; упражнять учащихся в построении графиков функций; способствовать выработке навыка построения графиков функций.
Задачи урока:
Выявить уровень усвоения полученных знаний;
Создать условия для самооценки своих возможностей и выбора цели в деятельности;
Развивать навыки индивидуальной и самостоятельной работы;
Планируемые результаты: Знание уравнений окружности, прямой, параболы, гиперболы, уравнений с модулем. Умение применять в решении систем уравнений графические и аналитические методы.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: Алгебра (математика) 9 класс - InternetUrok.ru(http://interneturok.ru/algebra/9-klass/sistemy-uravneniy/osnovnye-opredeleniya-primery-sistemy-dvuh-uravneniy?chapter_id=588&book_id=7);
компьютерная программа «УМК Живая Математика 4.3»
Ход урока
I. Актуализация знаний.
1Для каждой окружности назовите координаты центра и радиус (устно):
а) (х – 5)2 + (у + 3)2 = 16; в) (х + 1)2 + у2 = 49;
б) х2 + (у – 2)2 = 100; г) х2 + у2 = 144.
2. Запишите уравнение окружности с центром в точке О (0; 0) и радиусом:
а) 2; б) 4
3. Проверитьрешение домашнего задания на доске № 5.8 (а; б) и № 5.11 (а; б).
II.Изучение нового материала. (Можно изучить материалвидеоурокаАлгебра (математика) 9 класс - InternetUrok.ru http://interneturok.ru/algebra/9-klass/sistemy-uravneniy/osnovnye-opredeleniya-primery-sistemy-dvuh-uravneniy?seconds=0&chapter_id=26˗ пункт 7)
1. Ввести определение системы уравнений
Если поставлена задача найти такие пары чисел , которые одновременно удовлетворяют уравнению и уравнению , то получаем систему уравнений с двумя переменными

2. Определение решения системы уравнений.
Решением данной системы уравнений называется такая пара чисел, которая является одновременно решением и первого уравнения, и второго. Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что решений нет.
3. Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что решений нет.
4. Устно выполнить № 5.16, № 5.17.
5. Иногда удается решить систему уравнений графическим методом: надо построить графики каждого из уравнений, найти точки пересечения графиков; координаты каждой точки пересечения служат решением системы уравнений.
6. Рассмотреть по учебнику решение примеров 12 и 13 (рис. 60 и рис. 61) либо промотреть материал видеоурокаАлгебра (математика) 9 класс - InternetUrok.ru http://interneturok.ru/algebra/9-klass/sistemy-uravneniy/osnovnye-opredeleniya-primery-sistemy-dvuh-uravneniy?seconds=0&chapter_id=26˗ пункт 8)
III. Решение систем уравнений графическим способом.
1. Решить № 5.18 (в; г) на доске и в тетрадях.(Учитель строит графики функций в одной системе координат с помощью компьютерной программы «Живая математика»)
в)

О т в е т: (3; 6); (– 3; 6).
г)
Строим параболу у = х2 – 4 и прямую у = – 2х – 1 и находим координаты их точек пересечения.

О т в е т: (1; – 3); (– 3; 5).
2. Решить № 5.19 (г). Строим гиперболу ху = 6, то у= прих ≠ 0 и прямую 3х – 2у = 0, у = и находим координаты точек пересечения графиков функций.

О т в е т: (2; 3); (– 2; – 3).
3. Решить № 5.20 (г), графиками являются окружность (х + 2)2 + (у – 2)2 = 1 с центром О (– 2; 2) и радиусом 1 и ветвь параболы у = при х ≥ – 1.

Графики не пересекаются, решений нет.
О т в е т: 0.
4. Разобрать решение № 5.35 (а; б). (Учитель строит графики функций в одной системе координат с помощью компьютерной программы «Живая математика»)

а)

О т в е т: (– 1; 1); (1; 1).

б)

О т в е т: (– 1; 0); (0; – 1); (1; 0).
IV. Итоги урока.
Графический метод позволяет решить систему уравнений, но он не всегда удобен. Почему? (Обсудить с обучающимися возможные ответы)
VI. Рефлексия.
Ответьте на вопросы:
Каковы мои главные результаты сегодня?
Какие трудности встретились во время выполнения заданий? Как я их преодолевал?
Что я узнал нового на уроке?
Что вызвало интерес?
Домашнее задание:материал п. 5, упражнения№ 5.21 (а; б), № 5.28 (а; б), № 5.35 (в; г).

Read more ...

Автор(ы):

Скачать: Алгебра 9кл - конспект урока (Карасева Л.М.).docx

Тип материала

Системы уравнений. Основные понятия

Текст урока

конспект урока (Карасева Л.М.)

Создание нового материала