Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета Алгебра и начала анализа.
Класс 11.
УМК А.Г. Мордкович и др. «Алгебра и начала анализа», 11 класс, (профильный уровень), М. «Мнемозина», 2014г.
Уровень обучения Профильный
Тема урока Повторение материала 10 класса. Тригонометрические уравнения.
Общее количество часов, отведенное на изучение данной темы 1
Место урока в системе уроков по теме 1.
Цель урока Обобщить и систематизировать теорию о способах решения тригонометрических уравнений, виды уравнений.
Задачи урока
Образовательные:
повторить решение простейших уравнений, основные тригонометрические формулы, основные формулы тригонометрических уравнений;
закрепить умения применять данные формулы не только в знакомой, но в модифицированной и незнакомой ситуациях.
Развивающие
развивать умения самостоятельного решения уравнений связанных с выбором алгоритма решения уравнений;
содействовать развитию устойчивого интереса к математике с помощью математической строгости умозаключения;
ознакомить с логическими приемами мышления.
Воспитательные:
воспитать чувство ответственности, формировать навыки самооценки;
содействовать желанию расширить и углубить знания, полученные на уроке,
содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся.
Планируемые результаты
Обучающиеся должны уметь: находить корни простейших тригонометрических уравнений, уметь решать уравнения как простейшие (из ЕГЭ базового уровня), так и более сложных уравнений (из ЕГЭ профильного уровня) использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для практических расчетов по формулам.
Техническое обеспечение урока проектор, компьютер, экран.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока
Содержание урока.
1. Организационный момент: вступительное слово учителя, в котором подчеркивается значение, материала повторяемой темы, сообщается цель и план урока (1 мин.)
Тема “Решение тригонометрических уравнений» актуальна, умение решать тригонометрические уравнения позволит вам справиться с заданиями ЕГЭ за курс средней школы. Будьте активны, внимательны, помогайте друг другу вспомнить, все то, что вы изучали на уроках алгебры и началах анализа в 10 классе.
2.Актуализация опорных знаний (формы: устная беседа).
Вопросы и задания для актуализации:
а). Как решить уравнение sinx = m? Запишите в тетради формулу корней данного уравнения.
б). Как решить уравнение cos x = m? Запишите в тетради формулу корней данного уравнения.
в). Как решить уравнение tg x = m? Запишите в тетради формулу корней данного уравнения.
г). Давайте вспомним частные случаи. Учащиеся в тетрадях записывают решение этих уравнений.
sinx = 0
sinx = 1
sinx = -1
cos x = 0
cos x = 1
cos x = -1
3. Работа на доске и в тетрадях вместе с учителем. Разбор всех тригонометрических уравнений на виды.
Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения вида T(kx + m) = a, где T - знак какой – либо тригонометрической функции.
Пример: sin2x = 0,5
Решение: 2x = m, 2x = m, x = m, x = m,
Пример: Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Решение: х – 7 = 8 + 6в или х – 7 = 6 + 8t, тогда х = -4
тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:
A sin2 х + В sin х + С =0 или A sin2 х + В cos х + С =0
Пример: Решите уравнение:
sin2 х + 5 sin х - 6 =0. Введем замену sin х = z, решая квадратное уравнение
z2 + 5 z - 6 = 0, z1 = 1; z2 = -6
Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π/2 +2 π k, k Z.
Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е ( sin х ), т.е. -6 не принадлежит [-1; 1]
При решении уравнения вида A sin2 х + В cos х + С =0 вводим замену sin2 х = 1 - cos2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.
Пример: Решите уравнение 2 sin2 х + 3 cos х -3 =0.
Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin2 х = 1 - cos2 х,
2 (1 - cos2 х) +3 cos х -3 =0.
- 2 cos2 х + 3 cos х - 1 = 0 | (-1)
2 cos2 х - 3 cos х + 1 = 0
Замена cos х= t
Решая квадратное уравнение 2 t 2 - 3t +1 = 0,
находят t1 = 1; t2 = 0,5
Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k Z.
Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2π n, n Z
однородные тригонометрические уравнения.
Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени: A sin x+ B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида tg x = С.
Пример: 2 sin x+ 3 cos x = 0.
2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0
2 tg x + 3 =0
tg x = -1,5
х= arctg (-1,5) + πk, k Z или х = - arctg 1,5 + πk, k Z
однородное тригонометрическое уравнение второго порядка:
А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = 0. Разделив обе части уравнения на cos2 x ≠ 0, получим уравнение вида А tg 2x + В tg x + С = 0.
Пример: 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0
2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0 | : cos2х ≠ 0
2 tg 2x - 3 tg x - 5 = 0
замена tg x = t
2 t2 – 3 t – 5 =0
t1 = -1; t2 = 2,5
Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k Z.
Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n Z.
Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений
1.Потеря корней:
делим на g(х).
опасные формулы (универсальная подстановка).
Этими операциями мы сужаем область определения.
2. Лишние корни:
возводим в четную степень.
умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).
Этими операциями мы расширяем область определения.
Решим уравнеие:
Поделив уравнение на , получим , ,
При решении этой задачи обе части уравнения были поделены на
Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения корнями данного уравнения. Если , то из уравнения следует, что . Однако и не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны
равенством . Следовательно, при делении
уравнения , где , , на (или ) получаем уравнение, равносильное данному.
Еще формулы для решения уравнений: Формулы понижения степени:
sin2x
=
1 - cos2x
2
cos2x
=
1 + cos2x
2
tg2x
=
1 - cos2x
1 + cos2x
ctg2x
=
1 + cos2x
1 - cos2x
sin2
x
=
1 - cosx
2
2
4. Решите уравнения:
1.) Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
2.) Решите уравнение .
3.) Решите уравнение
5. Домашнее задание:
1. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
2. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
3. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
6. Итог урока. Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.
Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:
Что нового узнали на уроке?
Испытывали ли вы затруднения при решении уравнений?
Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?
Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?
Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?
Автор(ы): Губкина К. В.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docАвтор(ы): Губкина К. В.
Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку.ppt
