Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций ( углубленный уровень)/ А.Г.Мордкович, П.В.Семенов.
Урок №60
Тема урока:
Дифференцирование показательной и логарифмической функции.
Урок решения задач.
Цели урока:
формирование представлений о различных типах текстовых задач на дифференцирование показательной и логарифмической функции ; овладение навыками и умениями решения задач разного уровня: качественных текстовых задач и заданий повышенного уровня; развитие творческих способностей применения знаний и умений дифференцирования показательной и логарифмической функций.
Ход урока: 1.Фронтальный опрос.
2.Постановка цели урока.
3.Решение задач: а) с параметрами - №19.21 , 19.35 (а);
19.21. При каких значениях параметра а функция у= х6 на интервале ( а; а+7): а)имеет одну точку экстремума; б) имеет две точки экстремума ; в) убывает; г) возрастает?
Решение. у∕= 6х5 -х6 = х5(6-х). Функция имеет две стационарные точки : х=0 и х=6, причем производная отрицательна при х или при хпроизводная положительна при 0 Следовательно, х=0 – точка минимума, а х=6 – точка максимума функции.
а) Функция будет иметь на интервале ( а; а+7) одну точку экстремума в одном из двух случаев: 1) если аа+70, а+76. 2)если а0, а6, а+70. В первом случае имеем -7 а -1, во втором 0 а 6.
б) Функция будет иметь на интервале ( а; а+7) две точки экстремума , если а и в то же время а+76, т.е. при -1.
в) Функция будет убывать на интервале ( а; а+7),если этот интервал принадлежит лучу (-∞ ; или лучу ;+∞). Первая ситуация имеет место при условии а+70. Вторая имеет место при условии а6.
г) Функция будет возрастать на интервале ( а; а+7),если этот интервал принадлежит отрезку . Это не выполняется ни при каком значении а.
19.35 (а). При каком значении параметра а прямая у=3х – 4 + а является касательной к графику функции у=ln(3x – 4)?
Решение. Найдем производную функции у = ln(3x – 4): у∕=.
По условию угловой коэффициент касательной равен 3, следовательно, должно выполняться равенство 3=, откуда находим, что х = - абсцисса точки касания. Составим уравнение касательной к графику функции у = ln(3x – 4) в точке х =: у= ln 1 + 3(х– ); у= 3х – 5.
По условию уравнение касательной таково: у = 3х – 4 + а. Значит, -5 = -4 + а; а = -1.
б)построение графиков функций - № 19.42(б),19.44 (а);
19.42 (б). Построить график функции у =
у∕= ( 3х2 – 2х – 1); у∕=0 при х=-, х= 1 - это стационарные точки, критических точек нет, причем х=- - точка максимума функции, у max = ;х=1 – точка минимума функции, ymin=1.
Нужно учесть, что у(0) =е и что х3 – х2 –х +1 при х0, т.е. у=0 – горизонтальная асимптота графика функции при х
19.44 (а). Построить график функции у=ln(х2 – 2х – 3).
D(f) =(; -1)( 3; ); у∕=.
Производная обращается в нуль в точке х=1 и не существует в точках х= -1, х=3, но они не принадлежат области определения функции, значит, ни стационарных, ни критических точек у функции нет.
Прямые х= -1, х=3 -вертикальные асимптоты. Найдем точки пересечения графика с сью абсцисс: ln(х2 – 2х – 3)=0, х1= 1 +, х2= 1 -, т.е. х 1 х 2. Заметим, что у=ln(х2 – 2х – 3)= ln ((х-1) -4)2,поэтому график функции симметричен относительно прямой у=1.
в) на отыскание наименьшего значения функции -№19.45.
19.45. На графике функции у=х - ln(2 х – 5) выбирают произвольную точку М и соединяют с началом координат О. Строят прямоугольник, диагональю которого является отрезок ОМ, а две стороны расположены на осях координат. Найти наименьшее значение периметра такого прямоугольника.
Решение. D(f) =() у∕==; х=3,5 -это точка минимума функции; ymin=у(3,5), х= 2,5 - вертикальная асимптота.
Решим задачу на оптимизацию по плану, известному из курса 10 класса.
1) Оптимизированная величина- периметр Р прямоугольника ОАМВ, где О-начало координат, точки В и А – на осях Ох и Оу.
2) х=ОВ; 2,5 х 3,5.
3)Р=2ОВ + 2ВМ = 2х+2( х - ln(2 х – 5)) = 4х - 2 ln(2 х – 5) .
Таким образом, речь идет об отыскании наименьшего значения функции Р= 4х - 2 ln(2 х – 5) на ( 2,5; .
4) Р∕==; Р∕=0 при х=3 – это единственная точка экстремума, точка минимума. Значит, Р(3)=12- наименьшее значение периметра такого прямоугольника .
4.Домашнее задание. п.19; № 19.31(б), 19.35(б), 19.44(
5.Подведение итогов урока.
Автор(ы): Кускова Л. А.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docx
