32-34 Свойства логарифмов

Текст урока

• урок 1-3

   Название предмета:  Алгебра  и начала анализа
  Класс: 11
  УМК: «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» под редакцией А.Г.  Мордковича; 2011 г
  Уровень обучения: базовый
  Тема урока: «Свойства логарифмов»
  Общее количество часов, отведённое на изучение темы: 3 часа
  Место урока в системе уроков  по теме: 1
  Цель урока: ввести свойства логарифмов, рассмотреть их применение при решении задач;
  Задачи урока: изучить свойства логарифмов; научить применять эти свойства при вычислении логарифмов и решении уравнений и неравенств; формировать навык решения задач с использованием изученных свойств логарифмов.
  Планируемые результаты: знать свойства логарифмов, уметь применять их при решении задач.
  Техническое обеспечение: компьютер, проектор, мультимедийная презентация.
  Содержание урока.
  I..Организационный момент.  
  II.Повторение изученного материала. Устная работа
  Повторить:
  - определение логарифма, его обозначение.
  -известные свойства логарифмов (, )
  -основное логарифмическое тождество         а  =b  
  Вычислить устно:   ,  ,  . , , 
                                      .,,.
  - решить уравнения:   , ,, .
  III. Объяснение нового материала.
  1. Актуализация знаний.
  Напоминить учащимся, что функция y = log a x, где a > 0, a  1 является обратной для функции y = ax. Перечислить основные свойства логарифмической функции. Два свойства логарифмов, изученных ранее, выписать на доске.
             
  2. Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
  
  Учащиеся уже четко осознают, что логарифм это показатель степени, отвечающий определенным условиям. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. Отсюда следует и способ доказательства теоремы – введение новых переменных для перехода от логарифмов к степени.
  	 Обозначим log a bc = x;   log a b = y;   log a c = z.
  
  	 Значит, ax = bc;   ay = b;   az = c.
  	 Имеем:  ax = ay · az.  По свойству степени: ax = ay + z, следовательно, x = y + z, то есть log a bc = log a b + log a c.  
  Приводим примеры использования данной теоремы для преобразования логарифмических выражений. 
  3. Теорема 2. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов  числителя и знаменателя.
  
  Доказательство теоремы учащиеся    рассматривают самостоятельно по учебнику 
  стр.  257-258.
  Например  
  .
  4. Теорема 3. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
  
  Доказательство проводится учащимися самостоятельно по аналогии с теоремами 1 и 2. (учебник, стр.258).
  Замечаем, что все теоремы формулируются для положительных выражений, стоящих под знаком логарифма. Для теоремы 3 возможен случай, когда b < 0 и r – четное число, то есть r = 2n, тогда b2n > 0. Для этого случая (частного) можно использовать следующую запись теоремы.
  
  IV. Формирование умений и навыков.
  Все упражнения, выполняемые учащимися на этом уроке, направлены на усвоение трех доказанных выше теорем, а также двух изученных ранее свойств логарифмов. В процессе решения задач требовать, чтобы ученики проговаривали формулировки теорем. Это позволит избежать типичных ошибок.
  1. № 43.1 (а,б), № 43.2 (а; б), № 43.3 (а; б) – устно.
  2. № 43.4 (б), № 43.5(б).
  Решение:
  № 43.4 (б).
   –1.
  № 43.5 (б).
  (log 3 2 + 3 log 3 0,25) : (log 3 28 – log 2 7) = (log 3 2 + 3 log 3 2–2) : 
  : log 3  = (log 3 2 – 6 log 3 2) : log 3 4 = –5 log 3 2 : 2 log 3 2 =  = –2,5.
  3. № 43.6(а), № 43.7.
  При выполнении данных упражнений, возможны два способа решений: переход от логарифма к степени, либо, прямое применение свойств логарифма.
  Решение:
  № 43.6 (а).
  log 3 2 = c. Найти log 3 8.
  I способ
  2 = 3c;   log 3 8 = log 3 23 = log 3 33c = 3c.
  II способ
  log 3 8 = log 3 23 = 3 log 3 2 = 3c.
  4. № 43.9, № 43.10 (а; б), № 43.11 (а; б).
  Решение:
  № 43.9 (б).
  log 4 x = log 4 2 + log 4 8;
  log 4 x = log 4 (2· 8);
  log 4 x = log 4 16;
  log 4 x = log 4 64;
  х = 64
  
   При выполнении этих упражнений необходимо сформулировать утверждение, которое является следствием монотонности логарифмической функции.
  Теорема 4. log a t = log a s, где t > 0, s > 0, a > 0, a  1   t = s.
  Переход от равенства логарифмов с одинаковым основанием к равенству выражений, стоящих под знаком логарифма, называется потенцированием (действие, обратное логарифмированию).
  5. № 43.12(а,б), № 43.13 (б).
  Решение:
  № 43.13 (б).
  
  = 3 : (–1) ·  = –1,5.
  6. № 43.14 (а) – 43.16(а).
  Решение:
  № 43.14 (а).
   = 4 · 5 = 20.
  № 43.15 (а).
   = 43 = 64.
  № 43.16 (а).
   = 33 = 27.
   
  При выполнении этих заданий потребуются знания не только свойств логарифма, но и свойств степени.
  7. № 43.19, № 43.20 (а; б), № 43.21 (а; б), № 43.22*.
  Решение:
  № 43.19 (а).
  = 3.
  № 43.20 (а).
   = 2.
  V. Самостоятельная работа.
  Вариант 1
  1. Вычислите.
  а) log 3 6 + log 3 18 – log 3 4;
  б) – log 3 log 2 8;
  в) .
  Вариант 2
  1. Вычислите.
  а) log 5 75 – log 5 9 + log 5 15;
  б) : log 2 log 3 81;
  в) – log 3 log 5 .
  VI. Итоги урока.
  1)Вопросы учащимся:
  – Назовите формулу логарифма произведения (частного) двух положительных чисел.
  – Назовите формулу логарифма степени. Как видоизменяется формула для четного показателя степени?
  – Как связаны действия логарифмирования и потенцирования?
  2)Попросить учащихся сделать краткий анализ работы. Проделанной на уроке, и оценить свое участие.
  3)Объявить оценки за урок.
         4)Домашнее задание: № 43.2 (в; г), № 43.4 (в; г), № 43.8, № 43.11 (в; г), № 43.13 (в; г), № 43.14 (в; г)  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Название предмета:  Алгебра  и начала анализа
  Класс: 11
  УМК: «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» под редакцией А.Г.  Мордковича; 2011 г
  Уровень обучения: базовый
  Тема урока: «Свойства логарифмов»
  Общее количество часов, отведённое на изучение темы: 3 часа
  Место урока в системе уроков  по теме: 2
  Цель урока: закрепить изученные свойства логарифмов,  учить  примененять эти свойства  при решении задач.
  Задачи урока: повторить и закрепить изученные свойства логарифмов;
   формировать навык решения задач с использованием изученных свойств логарифмов.
  способствовать развитию мыслительных операций посредством наблюдений, сравнений, сопоставлений, обобщений, конкретизаций;
  воспитывать культуру речи при использовании математических терминов.
  Планируемые результаты: знать свойства логарифмов, уметь применять их при решении задач.
  Техническое обеспечение: компьютер, проектор, мультимедийная презентация.
  Содержание урока.
  I..Организационный момент.  
  
  II. Повторение изученного материала, проверка домашнего задания.
  1)Обсудить с учащимися выполнение домашнего задания, ответиь на возникшие вопросы.
  2)Записать в тетрадях изученные свойства логарифмов и свойства степени срациональным показателем.
  Проверить выполнение с помощью документ – камеры по тетради одного из учащихся.
  III. Устная работа.
  Вычислить.
  а) log 2 8;	б) lg 0,001;	в) log 3 ;
  г) log 4 2 + log 4 8;	д) lg 300 – lg 3;		е) log 3 243;
  ж) ;		з) ;		и) .
  IV. Объяснение нового материала.
  1. Актуализация знаний.
  1) Запишите 0,00019 в стандартном виде.
  а) 0,019 · 10–2;  б) 0,19 · 10–3;	в) 1,9 · 10–4.		 
  2) Назовите порядок числа, представленного в стандартном виде.
  а) 1,2 · 109;     б) 2,7 · 10–3;    в) 9,28 · 10–4.
   
  2. Объяснение проводится согласно пункту 43 учебника. Рассматриваем пример 5 со с. 261. Мы вспомнили, что в стандартном виде число записывается 
   = 0 · 10n, где 1  0 < 10 и n  Z (порядок числа ).
  Найдем десятичный логарифм числа . 
  lg  = lg (0 · 10n) = lg 0 + lg 10n = lg 0 + n.Таким образом, 
  
  Так  как  1  0 < 10,  то  0  lg 0 < 1  (в  силу  возрастания  функции
  y = lg x).
  п – характеристика десятичного логарифма числа 
  lg 0 – мантисса десятичного логарифма числа .
  Данные понятия используются для вычисления десятичных логарифмов любого положительного числа.
  3. Рассматриваем занимательный пример 5 на стр. 262 учебника.
  V. Формирование умений и навыков.
   1) Логарифмирование выражений, № 43.23, № 43.24 (б), № 43.25 (б).
  № 43.23.
  x = ;
  log n x = log n  = log n a2 + log n c3 – log n  = 2 log n a +
  + 3 log n c –  log n b.
  № 43.24 (б).
  
  = –3 + log 2 a +  log 2 b.
  № 43.25 (б).
   – log 5 c2 = 
  = 4 + 3 log 5  – 2 log 5 c = 4 +  log 5 a + 3 log 5 b – 2 log 5 c.
  2)Решение уравнений (с использованием свойств логарифмов) потенцированием, № 43.26 (б), № 43.27(б), № 43.29 (а).
  
  № 43.26 (б).
  ;
  ;
   = 4;
  x = 28.
  Ответ: 28.
  № 43.27.
  б) log 0,5 3 + log 0,5 x = log 0,5 12;		 
      log 0,5 3x  = log 0,5 12;			     
      3х = 12;					 
      х = 4.						     
  Ответ: б) 4;  
  № 43.29.
  а) log x 8 – log x 2 = 2;
      log x  = log x x2;
      4 = x2;   x = ±;   x = ±2.
  Так как х – основание логарифма, то x > 0, x  1, значит, х = –2 – посторонний корень.
  Ответ: а) 2;  
  При решении уравнений можно вначале найти ОДЗ уравнения и отбирать полученные корни с учетом ОДЗ.
  3)Вычисление десятичных логарифмов №43.30(а,б), 
  № 43.31 (а).
  № 43.30
  а) lg (9 · 102) = lg 9 + lg 102 = lg 9 + 2  0,95 + 2  2,95.
  б) lg (9 · 10–3) = lg 9 + lg 10–3 = lg 9 – 3  0,95 – 3  –2,05.
  № 43.31.
  а) lg 50 = lg (5 · 10) = lg 5 + lg 10 = lg 5 + 1  0,7 + 1  1,7.
  4) Использование свойств логарифмов при решении различных задач,  № 43.32 (а), № 43.35 (а)  
  № 43.32 (а).
  
  = –1.
  № 43.35 (а).
  y = log 2 8x;   y = log 2 8 + log 2 x;   y = 3 + log 2 x;   y = log 2 x + 3.
  Графиком функции является экспонента, полученная параллельным переносом графика функции y = log 2 x на 3 единицы вверх вдоль оси Oу.
  
    
  VI. Итоги урока.
  1)Вопросы учащимся:
  – Назовите формулу логарифма произведения (частного) двух положительных чисел.
  – Назовите формул логарифма степени. Как видоизменяется формула для четного показателя степени?
  – Какое число называют характеристикой десятичного логарифма числа а, записанного в стандартном виде? Мантиссой десятичного логарифма числа а?
  2)Объявить оценки за урок.
  3)Домашнее задание: № 43.24 (в) – № 43.26 (в), № 43.28(а,в), № 43.29 (в; г),  № 43.35 (в).
  
  Название предмета:  Алгебра  и начала анализа
  Класс: 11
  УМК: «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» под редакцией А.Г.  Мордковича; 2011 г
  Уровень обучения: базовый
  Тема урока: «Свойства логарифмов»
  Общее количество часов, отведённое на изучение темы: 3 часа
  Место урока в системе уроков  по теме: 3
  Цель урока: продолжить формировать умения использовать свойства логарифмов для преобразования логарифмических выражений, решения уравнений и решения различных задач.
  Задачи урока: повторить и закрепить изученные свойства логарифмов; формировать навык решения задач с использованием изученных свойств логарифмов.способствовать развитию мыслительных операций посредством наблюдений, сравнений, сопоставлений, обобщений, конкретизаций;воспитывать культуру речи при использовании математических терминов.
  Планируемые результаты: знать свойства логарифмов, уметь применять их при решении задач.
  Техническое обеспечение: компьютер, проектор, мультимедийная презентация.
  Содержание урока.
  I..Организационный момент.  
  
  II. Повторение изученного материала, проверка домашнего задания.
  1)Разобрать на доске решение задач из домашнего задания, вызвавших затруднения у учащихся
  2)Повторить свойства логарифмов (устно).
  3)Выполнить устно: №43.1(в,г), 43.2(в,г), 43.3(в,г).
  III.Формирование умений и навыков.
  Решить зачачи:43.10(б),43.11(б),43.17(а),43.18(а),43.21(а),43.27(в).43.29(г),
  При наличии времени решить №43.37(а,б),43.34.
  Решение
  № 43.10 (б).log 0,2 x = log 0,2 93 + log 0,2 4 – log 0,2 31; log 0,2 x = log 0,2 ; log 0,2 x = log 0,2 12; х = 12.
  № 43.11 (б).
  lg x = 2 lg 3 + lg 6 –  lg 9;
  lg x = lg 32 + lg 6 – lg ;
  lg x = lg 9 + lg 6 – lg 3;
  lg x = lg ;
  lg x = lg 18;
  х = 18.
  № 43.17 (а).
  = 18.
  № 43.18 (а).
   · 14 = 3,5.
  № 43.27.
  в) log 5 13 + log 5 x = log 5 39;
  log 5 13 x = log 5 39;
  13х = 39;
   х = 3.
  № 43.29.
  г)  = 3;
    = log x x3;
   log x 53 = log x x3;
  53 = x3;   x = ;   x = 5.
  Ответ:  5.
  
  № 43.37 (а)
  y = log 2 ;   y = log 2 4 – log 2 x;   y = 2 – log 2 x.
  Графиком функции является экспонента, полученная отображением графика функции y = log 2 x относительно оси Oх и сдвигом вверх на 4 единицы вдоль оси Oу.
  
  
  
  IV. Проверочная работа.
  
  Вариант 1
  
  Вариант 2
  Решить уравнения:
  1) 
  2) 
  3) 
  1) 
  2) 
  3)  
  Вычислить
  4) 
  5) 
  4) 
  5) 
  
  Прологарифмировать по основанию 5
  6) 
  7) № 1508 (б)
  6) 
  7) № 1508 (а)
  
  V. Итоги урока.
  1)Повторить
  - формулу логарифма произведения (частного) двух положительных чисел.
  –  формулу  логарифма степени, как видоизменяется формула для четного показателя степени?
  – какое число называют характеристикой десятичного логарифма числа а, записанного в стандартном виде? Мантиссой десятичного логарифма числа а?
  2)Домашнее задание:№43.26(г),43.28(б,г),43.32(в,г).
  
  
  
  
  
  
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
   
  
  
   

   Read more ...

  Автор(ы): Яковенко Т. А.

  Скачать: Алгебра 11кл - урок 1-3.docx

Презентация к уроку

• Презентация к уроку

  Автор(ы): Яковенко Т. А.

  Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку.ppt