Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Предметы
Класс
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Тип материала

39-41 Логарифмические неравенства

Текст урока

  • урок 1 

     Урок №1
Название предмета Алгебра и начала математического анализа. 
Класс :11 
УМК Алгебра и начала математического анализа. Мордкович А.Г.,2011г.
Уровень обучения базовый, 
Тема урока: Логарифмические неравенства 
Общее количество часов, отведенное на изучение темы 3
Цель урока:
-организовать деятельность учащихся по изучению новой темы;
-ввести понятие логарифмического неравенства; сформулировать и доказать теорему о равносильном переходе к системе неравенств; формировать умение решать логарифмические неравенства переходом к равносильной системе неравенств.
-формировать умение решать логарифмические неравенства методом подстановки и с помощью свойств логарифма.
Предметные умения:
1.Знание различных методов решения логарифмических неравенств:
-сведение неравенств к равносильной системе или совокупности систем;
      -расщепление неравенств;
-метод интервалов;
-введение новой переменной;
-метод рационализации.
- устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом.
 Техническое обеспечение урока мультимедийный проектор
Содержание урока
I Организационный момент.
II Атуализация знаний.
Устная работа
1. Что называется логарифмом.
2. Перечислите свойства логарифмом.
3. Представить в виде логарифма с основанием 2 число. (Слайд 2)
а) 16;         б) 64;         в) ;         

4. Вычислите.
а) log 3  + log 3 45;		
б) ;			

в) ;			
     5. Вспомним основные свойства логарифмической функции.

Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях
1. Область определения: ;
2. Область значений: ;
3. Функция монотонна на всей своей области определения. При  монотонно возрастает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности, ). При  монотонно убывает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция убывает от плюс до минус бесконечности, ).
III.  Объяснение нового материала

Определение: 
Неравенства, которые содержат переменную под знаком логарифма или в его основании, называются логарифмическими. 

Решение логарифмических неравенств  основывается на свойстве  монотонности логарифмической функции.
1. Неравенство  в случае, если  сводится к равносильному неравенству . Если же - то к неравенству .
Аналогично неравенство   равносильно неравенствам для  : ;   для : .
Пример 1:
Задание. Решить неравенство 
Решение. ОДЗ: 
Учитывая выше написанное, получаем, что заданное логарифмическое неравенство равносильно неравенству:
  или   
В пересечении с ОДЗ получаем, что 
Ответ: 
2. Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма .

Неравенство необходимо решать, применяя эквивалентные, равносильные преобразования. Рассмотрим схему. Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, большим единицы, помним, что функция монотонно возрастает. Отсюда:

При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:

Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел. Получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:

Например:


Рис. 2. Иллюстрация решения примера
Ответ: 
3. Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма .

Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, лежащим в пределах от нуля до единицы, помним, что функция монотонно убывает. Отсюда:

При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:

Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел. Получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:

Например:


Рис. 3. Иллюстрация решения примера
Ответ: нет решений
IV. Закрепление.
№ 45.4.
а) log 5 x > log 5 (3x – 4)   
         1 < x < 2.

б) log 0,6 (2x – 1) < log 0,6 x            x > 1.
Ответ: а) 1 < x < 2; б) x > 1.
При решении этого упражнения особое внимание обращаем на транзитивность двух неравенств из ОДЗ:

Имеем: x > 3x – 4;   3x – 4 > 0      x > 0.
Получаем, неравенство x > 0 лишнее в этой системе, достаточно (1) и (2):

3. № 45.6, № 45.7 (а; б).
Эти упражнения представляют собой логарифмические неравенства, сводящиеся к решению квадратных неравенств.
Вспоминаем алгоритм решения квадратного неравенства:
1 шаг. Решаем  соответственное  квадратное  уравнение  ax2 + bx +
+ c = 0.
2 шаг. Изображаем схематично расположение параболы относительно оси Oх в зависимости от знака коэффициента а и полученных решений уравнения.
3 шаг. Определяем графически абсциссы точек, удовлетворяющих неравенству, и записываем ответ.
Решение:
№ 45.6.
а) log 3 (x2 + 6) < log 3 5x      
Второе неравенство системы верно для любого х.
Решаем отдельно первое неравенство.
x2 + 6x < 5x;
x2 – 5x + 6 < 0;
x2 – 5x + 6 = 0;
х1 = 2;     х2 = 3.

Значит, решением являются 2 < х < 3.
в) lg (x2 – 8)  lg (2 – 9x)      
I) x2 – 8  2 – 9x;
x2 – 8 – 2 + 9x  0;
x2 + 9x – 10  0;
x2 + 9x – 10 = 0;
х1 = –10;     х2 = 1.

II) x2 – 8 > 0;
x2 – 8 = 0;
x2 = 8;
x = ±2.

Решением системы неравенств является пересечение полученных промежутков.

Значит, –10  x < –2.
Ответ: а) 2 < x < 3; в) –10  x < –2.
№ 45.7 (а).
(6 – x)  x2      
Решим первое неравенство системы.
x2 + x – 6  0;
x2 + x – 6 = 0;
х1 = –3;     х2 = 2.

Решением системы неравенств является пересечение следующих промежутков:

Значит, x  –3     или     2  x < 6.
Ответ: а) x  –3; 2  x < 6.
VI. Итоги урока. Рефлексия
Вопросы учащимся:
– Неравенства какого вида называются логарифмическими?
–Каким образом осуществляется переход от логарифмического неравенства к алгебраическому?
– Какими условиями определяется ОДЗ логарифмического неравенства? Как используется транзитивность неравенств для упрощения получаемой системы неравенств?
Домашнее задание: № 45.3 (в; г), № 45.5, № 45.7 (в; г).

    Автор(ы): Нуржанова А. Ш.

    Скачать: Алгебра 11кл - урок 1.docx

  • урок 2 

     Урок №2
Название предмета Алгебра и начала математического анализа. 
Класс :11 
УМК Алгебра и начала математического анализа. Мордкович А.Г.,2011г.
Уровень обучения базовый, 
Тема урока: Логарифмические неравенства 
Цель урока:
продолжить формировать умение решать логарифмические неравенства переходом к равносильной системе алгебраических неравенств; формировать умение решать логарифмические неравенства методом подстановки и с помощью свойств логарифма.
I Организационный момент.
II. Проверочная работa Работа проверяется путем взаимопроверки, выставляются оценки.

Решите неравенство.
1) log 3 x > 0;				2) 2x  3;
3) log 2 (x – 3)  log 2 3x;		4) log 0,3 x2 < log 0,3 9.
III. Объяснение нового материaлa
Рас­смот­рим ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ско­го нера­вен­ства, когда ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма .

То есть знак нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся.
При этом необ­хо­ди­мо не за­быть про ОДЗ, т.к. под ло­га­риф­мом могут сто­ять стро­го по­ло­жи­тель­ные вы­ра­же­ния. ОДЗ пред­став­ле­но си­сте­мой:

Ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го нера­вен­ства яв­ля­ет­ся эк­ви­ва­лент­ное нера­вен­ство , по­это­му для со­блю­де­ния ОДЗ до­ста­точ­но за­щи­тить мень­шее из чисел по­лу­ча­ем си­сте­му нера­венств, ко­то­рая со­от­вет­ству­ет ис­ход­но­му нера­вен­ству:


2. На примере 3 со с. 269 учебника показываем применение свойств логарифма для сведения неравенства к виду log a f (x) > log a g (x).
3.Решение простейшего логарифмического неравенства 
Рас­смот­рим ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ско­го нера­вен­ства, когда ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма .

То есть знак нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся.
При этом необ­хо­ди­мо не за­быть про ОДЗ, т.к. под ло­га­риф­мом могут сто­ять стро­го по­ло­жи­тель­ные вы­ра­же­ния. ОДЗ пред­став­ле­но си­сте­мой:

Ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го нера­вен­ства яв­ля­ет­ся эк­ви­ва­лент­ное нера­вен­ство , по­это­му для со­блю­де­ния ОДЗ до­ста­точ­но за­щи­тить мень­шее из чисел по­лу­ча­ем си­сте­му нера­венств, ко­то­рая со­от­вет­ству­ет ис­ход­но­му нера­вен­ству:


IV. Формировaние умений и нaвыков.
Решение:
№ 45.8 (а).
log 8 (x2 – 7x) > 1;
log 8 (x2 – 7x) > log 8 8;
x2 – 7x > 8;
x2 – 7x – 8 > 0;
x2 – 7x – 8 = 0;
х1 = –1;     х2 = 8.

Ответ: а) х < –1; x > 8.
Замечаем, что при решении этого нерaвенства нет необходимости дополнительно рaссматривaть условие x2 – 7x > 0. Оно вытекает по транзитивности из условия x2 – 7x > 8.
№ 45.9.
а)  > 4 log 2 x – 3.
Пусть t = log 2 x, тогда имеем t2 > 4t – 3;
t2 – 4t + 3 > 0;
t2 – 4t + 3 = 0;
t1 = 1;     t2 = 3.

Значит, t < 1 или t > 3. Проведем обрaтную подстaновку.
log 2 x < 1	или	      log 2 x > 3;
log 2 x < log 2 2;		      log 2 x > log 2 8;
			      x > 8.
0 < x < 2.
б) x + 3x < –2.
Пусть t = x, тогда имеем t2 + 3t < –2;
t2 + 3t + 2 < 0;
t2 + 3t + 2 = 0;
t1 = –2;     t2 = –1.

Знaчит, –2 < t < –1. Проведем обрaтную подстaновку.
–2 < x < –1;
4 < x < 2;
2 < x < 4   .
Ответ: а) 0 < x < 2; x > 8; б) 2 < x < 4.
№ 45.10.
а) log 3 x > log 3 72 – log 3 8;
log 3 x > log 3 ;
log 3 x > log 3 9;
x > 9.
б) 3;
x3 <27;
x3 > 27;
x > 3.
в) log 5 x – log 5 35  log 5 ;
log 5 x  log 5 35 + log 5 ;
log 5 x  log 5 5            0 < x  5.
г) 4 log 0,6 x  log 0,6 8 + log 0,6 2;
4 log 0,6 x  3 log 0,6 2 + log 0,6 2;
4 log 0,6 x  4 log 0,6 2;
log 0,6 x  log 0,6 2            0 < x  2.
Ответ: а) x > 9; б) x > 3; в) 0 < x  5; г) 0 < x  2.
№ 45.13.
а) – 15 log 2 x – 4  0;
(2 log 2 x)2 – 15 log 2 x – 4  0;
4 – 15 log 2 x – 4  0.
Пусть t = log 2 x, тогда имеем:
4t2 – 15t – 4  0;
4t2 – 15t – 4 = 0.
D = (–15)2 – 4 · 4 · (–4) = 225 + 64 = 289;
t1 =  = 4;     t2 = .

Значит,   t  4.
Проведем обратную подстановку.
  log 2 x  4;
log 2   log 2 x  log 2 16;
  x  16.
б) x + 3  0;
x + 3  0;
x + 3  0;
Пусть t = x, тогда имеем:
4t2 – 7t + 3  0;
4t2 – 7t + 3 = 0;
t1 = 1;     t2 = .

Значит,   t  1. Проведем обратную подстановку.
  x  1;
;
  x  .
0твет: а)   x  16; б)   x  .
Замечание. Выполняя переход от логaрифмического неравенства к aлгебраическому, учащиеся должны aвтоматически менять или не менять знак неравенства. В то же время, они должны четко понимать, что смена знака зависит от характер монотонности рассматриваемой логарифмической функции. Поэтому можно устно проговаривать «основание логарифма больше единицы, поэтому знaк неравенства не меняется…», а возле логарифмического неравенства стрелочкой отмечать характер монотонности, что позволит преодолеть формaлизм в решении:
1) log 2 x  log 2 16     ()		2) x < 11     ()

VI. Итоги урока. Рефлексия

Домашнее задание:  № 45.8  (в; г),  № 45.9  (в; г),  № 45.11

    Автор(ы): Нуржанова А. Ш.

    Скачать: Алгебра 11кл - урок 2.docx

  • урок 3 

     Урок №3
Цель : продолжить формировать умение решать логарифмические неравенства различными методами; формировать умения решать системы логарифмических неравенств.
I Организaционный момент.
II Актуализaция знаний.

Девиз: «Секрет успеха - в мелочах»

Вопрос: Какого успеха хотели бы вы добиться и от каких мелочей он будет зависеть? (сл. №1)
 Анализ домашнего задания.
- Какие виды неравенств вызвали наибольшие затруднения? Назовите причины. 
- Как справиться с проблемой?
- Остановимся сегодня на неравенствах, содержащих логарифмические выражения.
- Опираясь на наш девиз, сформулируйте тему и цель урока.
Учитель, если нужно, корректирует ответы учащихся.
- Запишите число и тему урока в тетради.

Учитель предлагает  вспомнить:
основные виды неравенств и способы их решения 
равносильные преобразования при решении неравенств 
методы решения неравенств 
понятие логарифма, логарифмическую функцию  


Задание: Вам предстоит решить 5 неравенств разными методами. От чего зависит успех решения неравенства?
- Успех решения зависит от того, видим ли мы план решения. 
 - Я предлагаю каждой паре выбрать одно неравенство и составить (устно) план решения этого неравенства, а потом озвучить его так, чтобы остальные справились с этим неравенством самостоятельно.
На слайде есть подсказки.
Время составления плана – 1 минута.
 











Время выполнения – 10 мин.


IV. Формирование умений и навыков.
Решение:
№ 45.15 (а).
log 12 (x2 – x)  1;
log 12 (x2 – x)  log 12 12      
x2 – x – 12  0;					x(x – 1) > 0.
x2 – x – 12 = 0;
x1 = –3;     x2 = 4.
		
Найдем решение системы неравенств.

x  [–3; 0)  (1; 4].
В объединение данных промежутков входят 6 целочисленных решений: –3; –2; –1; 2; 3; 4.
Ответ: а) 6.
При решении данных упражнений учащиеся учатся анализировать полученные решения, отбирать числа, соответствующие поставленным условиям.

Решение:
№ 45.16 (а).
   
         x > 2.
Ответ: а) x > 2.
№ 45.17 (а).
   
           x > 5.
Ответ: а) x > 5.
№ 45.18 (а).
     
         нет решений.
Ответ: а) нет решений.
Решение последней системы неравенств востребует навыки решения логарифмических и показательных неравенств. Еще раз замечаем, что переход от логарифмического либо показательного неравенство к алгебраическому неравенству основывается на характере монотонности функций y = log a x и y = ax.
Еще раз вспомним  ос­нов­ные свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции.

Рис. 1. Гра­фик ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции при раз­лич­ных ос­но­ва­ни­ях
Функ­ция мо­но­тон­на на всей своей об­ла­сти опре­де­ле­ния. При  мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, т.е. боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции, . При  мо­но­тон­но убы­ва­ет, т.е. боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции,, .
Имен­но мо­но­тон­ность ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции поз­во­ля­ет ре­шать про­стей­шие ло­га­риф­ми­че­ские нера­вен­ства.

V. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Решите неравенство log 3 (7 – 4x)  3 и укажите его наибольшее целочисленное решение.
2. Решите неравенство log 0,5 (x2 – 7x + 12) > log 0,5 (17 – 3x) и укажите количество его целочисленных решений.
3. Решите неравенство lg2  9.
Вариант 2
1. Решите неравенство (3x + 4)  –2 и укажите его наименьшее целочисленное решение.
2. Решите неравенство lg (x2 + x – 20) < lg (4x – 2) и укажите количество его целочисленных решений.
3. Решите неравенство x > 4.
VI. Итоги урока. Рефлексия
Домашнее задание:  № 45.14  (в; г),  № 45.15  (в; г)

    Автор(ы): Нуржанова А. Ш.

    Скачать: Алгебра 11кл - урок 3.docx

Презентация к уроку