Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета: Алгебра и начала анализа
Класс: 11
УМК:«Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» под редакцией А.Г. Мордковича, 2015 год
Уровень обучения: базовый
Тема урока:«Дифференцирование показательной и логарифмической функции»
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3
Место урока в системе уроков по теме: 1
Цель урока:
- сформировать представление о числе е,; доказать дифференцируемость функции ,
у= ;
- сформулировать формулы производных логарифмической и показательной функций и научить решать задачи на дифференцирование показательной и логарифмической функций;
Задачи урока:
Образовательная:
повторить понятие логарифма, логарифмической и показательной функции;
закрепить умения нахождения производной показательной и логарифмической функции;
продолжить закрепление практических навыков решения ключевых задач и формирование навыков применения знаний к решению задач при подготовке к ЕГЭ:
Развивающая:
продолжить формирование аналитического и логического мышления учащихся;
продолжить формирование у учащихся навыков самостоятельной деятельности при подготовке к ЕГЭ;
пополнение интеллектуального багажа учащихся;
продолжить формирование навыков математической речи;
Воспитательная:
повышение мотивации к изучению предмета, повышение интереса к математике;
воспитание уважения к соучастникам образовательного процесса;
воспитание культуры поведения, общения, работы;
воспитание стремления к самосовершенствованию.
Планируемые результаты:
научатся:
находить производную показательной и логарифмической функции;
находить значение производной заданной функции в указанной точке;
находить угловой коэффициент касательной к графику функции и уравнение касательной;
применять полученные знания в нестандартной ситуации.
Техническое обеспечение урока: классная доска, компьютер, проектор, экран, карточки с заданиями для работы всех обучающихся.
Содержание урока:
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания. Актуализация опорных знаний (фронтальный опрос )
III. Изучение нового материала ( презентация )
IV. Закрепление изученного материала
V. Итоги урока
VI. Домашнее задание
Урок № 1
Ход урока
I. Оpганизационный момент. (Приветствие класса, отсутствующие, цели и задачи урока, работа на уроке.)
II. Aактуализация знаний учащихся.
Фронтальный опрос.
I. Вспомним правила дифференцирования функции:
а) чему равна производная алгебраической суммы двух функций: ( = ;
б) чему равна производная произведения функций: = v +u
в) чему равна производная частного двух функций:( =
г) чему равна производная степенной функции:( = n
д) чему равна производная тригонометрических функций:
е) чему равна производная константы: = 0
ж) чему равна производная константы на функцию: ( = c
Все выше указанные формулы воспроизводятся на интерактивной доске.
II. Найти производную. (устно)
у = 4 у = у =
у =3 у = у =
у =4 - у = - у =
у = у = у=
у = у =
III. Объяснение нового материала. (Презентация)
1. Познакомить с числом е, функцией у = , ее свойствами и графиком.
2. Установить, что( = .
3. Разобрать примеры 1, 2,3.
4. Познакомить с понятием натурального логарифма, функцией ,ее свойствами и графиком.
5. Установить, что = .
Сегодня на уроке мы изучаем новую тему «Производная показательной функции». Наша цель познакомиться с понятием «экспоненты», «натурального логарифма», с теоремой о дифференцировании показательной функции.
1. Рассмотрим графики показательной функции у = , где а 1.
Построим график функции у = (Слайд №3)
1 вариант. Постройте график функции у =
2 вариант. Постройте график функции у =
Если внимательно рассмотреть графики этих функций (Слайд №4), то можно заметить, что
1) Все графики проходят через точку ( 0; 1);
2) Все графики имеют горизонтальную асимптоту у = 0 при х ;
3) Все они обращены выпуклостью вниз;
4) Все они имеют касательные во всех своих точках.
Проведем касательную к графику функции у = в точке х =0 и измерим угол, который образует касательная с осью х (Слайд № 5)
Если сделать точные построения и измерения, то можно убедиться в том, что эта касательнаяобразует с осью х угол 35 (примерно). Теперь проведем касательную к графику функции у = тоже в точке х =0. Здесь угол между касательной и осью х будет больше - 48. А для показательной функцииу = в аналогичной ситуации получаем угол 66,5.
Итак, если основание a показательной функции y = постепенно увеличивается основание от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х = 0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35 до 66,5.
Следовательно существует основание а, для которого соответствующий угол равен 45. И это значение а заключено между 2 и 3, т.к. при а = 2 угол равен 35, при а = 3 он равен 48.
В курсе математического анализа доказано, что данное основание существует, его принято обозначать буквой е.
Установлено, что е – иррациональное число, т. е. представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь:
е = 2, 7182818284590… ;
На практике обычно полагают, что е ≈ 2,7.
График функции у = (слайд №8)отличается от других графиков показательных функций тем, что угол между касательной к графику в точке х = 0 и осью абсцисс равен 45.
Свойства функции у = . (Слайд № 9)
1. D(f) = (-; + );
2. не является ни четной, ни нечетной;
3. возрастает;
4. не ограничена сверху, ограничена снизу;
5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6. непрерывна;
7. E(f)= (0; + );
8. выпукла вниз;
9. дифференцируема.
2. А теперь выведем формулу для отыскания производной функции у = .
1. Отметим, что для функции у = f(х), где f(х) = , значение производной в точке х = 0 нам уже известно: (0) = tg 45 = 1.
2. Введем в рассмотрение функцию у = g(х), где g(х) = f(х-а), т.е. g(х) = . Касательная к графику функции у = g(х) в точке х=а параллельна касательной к графику функции у = f(х) в точке х=0, значит, она образует с осью х угол 45. Используя геометрический смысл производной, можем записать, что (a) = tg 45 = 1
3. Вернемся к функции у = f(х).имеем: f(х) = = = g(x).
Значит, (х) = (х), в частности, (а) = (а). Но (а) = 1, значит, (а)=
4. Мы установили, что для любого значения а справедливо соотношение (а)=. Вместо буквы а можно, естественно, использовать и букву х; тогда получим, что (х) =
Найти производные функций (учащиеся по очереди выходят к доске и вычисляют:
(2ех)′ =2ех,
(е5х)′ = е5х∙5 = 5е5х,
(10е-3х)′ = 10е-3х∙ (-3) = -30е-3х
3. Рассмотрим примеры 1,2,3.
4. Мы рассматривали логарифмы с различными основаниями: ,,,,. Если основание логарифма служит число е, то говорят, что задан натуральный логарифм. Примеры натуральных логарифмов:
= ,
=
=
Используя известные соотношения для логарифмов, запишем ряд соотношений для натуральных логарифмов: (Слайд № 16)
= 0, = 1, = r, = х, =
Свойства функций у = . (Слайд № 17)
1) D (f)= (0; + );
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает (0; + );
4) не ограничена ни сверху, ни снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) E(f)= (- ; +);
8) выпукла вверх;
9) дифференцируема.
5. Выведем формулу для производной функции у = . Эта функция является обратной по отношению к функции у = . Значит, воспользовавшись правилом дифференцирования обратной функции, получим: = .(Слайд № 18)
IV. Закрепление нового материала
Работа учащихся у доски
№ 19.3 (а, б)
a) f(x) =
3 += (3 + x)
b) f(x) =
(x) = =
№ 19.23 (а,б)
a) y =, = 2х + = 2х + х= х (2 + 1)
b) у = , (х) =
№ 19.5 (а,б)
V. Итоги урока
1) Что такое число е?
2) Чему равна производная от е? ((
3) Что такое натуральный логарифм?( = )
4) Чему равна производная от натурального логарифма? (( = )
VI. Домашнее задание.
1. Выучить формулы производной показательной и логарифмической функции.
2. Повторить уравнение касательной к графику функции.
3. № 19.12, 19.15
Автор(ы): Жангабилова Р. С.
Скачать: Алгебра 11кл - Урок 1.docx Название предмета: Алгебра и начала анализа
Класс: 11
УМК:«Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» под редакцией А.Г. Мордковича, 2015 год
Уровень обучения: базовый
Тема урока: «Дифференцирование показательной и логарифмической функции»
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3
Место урока в системе уроков по теме: 2
Цель урока:
- систематизировать материал, изученный по теме «Дифференцирование показательной и логарифмической функции»;
- формировать умение решать задачи на дифференцирование показательной и логарифмической функций.
Задачи урока:
Образовательная:
закрепить умения нахождения производной показательной и логарифмической функции;
закрепить навыки исследования функции на монотонность;
продолжить закрепление практических навыков решения ключевых задач и формирование навыков применения знаний к решению задач при подготовке к ЕГЭ:
Развивающая:
продолжить формирование аналитического и логического мышления учащихся;
продолжить формирование у учащихся навыков самостоятельной деятельности при подготовке к ЕГЭ;
пополнение интеллектуального багажа учащихся;
продолжить формирование навыков математической речи;
Воспитательная:
повышение мотивации к изучению предмета, повышение интереса к математике;
воспитание уважения к соучастникам образовательного процесса;
воспитание культуры поведения, общения, работы;
воспитание стремления к самосовершенствованию.
Планируемые результаты:
научатся:
находить производную показательной и логарифмической функции;
находить значение производной заданной функции в указанной точке;
находить угловой коэффициент касательной к графику функции и уравнение касательной;
применять полученные знания в нестандартной ситуации.
Техническое обеспечение урока: классная доска, компьютер, проектор, экран, карточки с заданиями для работы всех обучающихся.
Содержание урока:
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания. Актуализация опорных знаний (самостоятельная работа)
III. Изучение нового материала
IV. Формирование умений и навыков
V. Итоги урока
VI. Домашнее задание
Урок № 2
Ход урока
I. Оpганизационный момент. (Приветствие класса, отсутствующие, цели и задачи урока, работа на уроке.)
II. Проверка домашнего задания. Aактуализация знаний учащихся.
1. Чему равна производная от е? ((
2. Что такое натуральный логарифм?( = )
3. Чему равна производная от натурального логарифма? (( = )
4. Вспомните соотношения натурального логарифма: = 0, = 1, = r, = х, =
5. Найдите производную:
Приложение №1
функция
производная
у =
у =
у =
у =
III. Изучение нового материала ( презентация)
Мы умеем находить производную , натурального логарифма.
Сегодня на уроке мы получим формулы дифференцирования любой показательной и логарифмической функции.
Пусть дана показательная функция у = . Воспользуемся тем, что а = и, следовательно , = . Тогда ( = ()/ = = , итак (Слайд № 2)
IV. Формирование умений и навыков.
Учащиеся по очереди выходят к доске.
функция
производная
у =
Работа учащихся у доски
№ 19.13 (а, б )
у = f () + () (х - )
1) =
2) =
3) (х)= 3 ; (х)= 3= 3
4) )= 1 +3х -1=3х
№ 19.16 (а)
№ 19.18 (б)
= + 2х= ( 1 + 2х)
= 0, ( 1 + 2х) = 0
1+2х =0
х= -0,5
- 0,5
(-; - 0,5) убывает; (- 0,5; + ) возрастает; = - 0,5
№ 19.39 (а)
= 1 + = = 0; х+1=0; х = -1
Определим знаки производной
- + -
-4 -1 -0,5
у(-4) =-4 + наибольшее значение функции
у(-1) =-1 + = -1 наибольшее значение функции
V. Итог урока
1. Чему равна производная показательной функции?
2. Чему равна производная логарифмической функции?
3. Промежутки возрастания и убывания функций
4. Точки экстремума
VI. Домашнее задание.
1. Выучить формулы производной показательной и логарифмической функции.
2. Повторить правила нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.
3. № 19.19, 19.25
Автор(ы): Жангабилова Р. С.
Скачать: Алгебра 11кл - Урок 2.docx Название предмета: Алгебра и начала анализа
Класс: 11
УМК:«Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» под редакцией А.Г. Мордковича, 2015 год
Уровень обучения: базовый
Тема урока: «Дифференцирование показательной и логарифмической функции»
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3
Место урока в системе уроков по теме: 3
Цель урока:
- систематизировать материал, изученный по теме «Дифференцирование показательной и логарифмической функции»;
- формировать умение решать задачи на дифференцирование показательной и логарифмической функций.
Задачи урока:
Образовательная:
повторить формулы производной логарифмической и показательной функции;
закрепить умения нахождения наибольшего и наименьшего значения показательной и логарифмической функции;
продолжить закрепление практических навыков решения ключевых задач и формирование навыков применения знаний к решению задач при подготовке к ЕГЭ:
Развивающая:
продолжить формирование аналитического и логического мышления учащихся;
продолжить формирование у учащихся навыков самостоятельной деятельности при подготовке к ЕГЭ;
пополнение интеллектуального багажа учащихся;
продолжить формирование навыков математической речи;
Воспитательная:
повышение мотивации к изучению предмета, повышение интереса к математике;
воспитание уважения к соучастникам образовательного процесса;
воспитание культуры поведения, общения, работы;
воспитание стремления к самосовершенствованию.
Планируемые результаты:
научатся:
находить производную показательной и логарифмической функции;
находить значение производной заданной функции в указанной точке;
находить угловой коэффициент касательной к графику функции и уравнение касательной;
находить наибольшее и наименьшее значение функций и точек экстремума;
применять полученные знания в нестандартной ситуации.
Техническое обеспечение урока: классная доска, компьютер, проектор, экран, карточки с заданиями для работы всех обучающихся.
Содержание урока:
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания. Актуализация опорных знаний (фронтальный опрос )
III. Проверить уровень усвоения темы. Тесты.
IV. Закрепление изученного материала
VI. Итоги урока
VII. Домашнее задание
Ход урока
I. Оpганизационныймомент. (Приветствие класса, отсутствующие, цели и задачи урока, работа на уроке.)
II. Проверка домашнего задания. Aактуализация знаний учащихся.(фронтальный опрос)
1) Какая функция называется показательной?
2) Какая функция называется логаpифмической?
3) Чему равна производная показательной функции? ()
4) Что такое натуральный логарифм? ()
5) Что такое число е?
6) Чему равна производная от ? ()
7) Чему равна производная от натурального логарифма?
8) Чему равна производная логарифмической функций?
III. Проверить уровень усвоения темы. Тесты. Приложение №2
Взаимопроверка.
Вариант 1
А1. Найдите производную функции .
А2. Найдите производную функции .
А3. Вычислите значение производной функции .
1)
3
2)
-1
3)
1
4)
2
А4. Вычислите значение производной функции .
1)
3
2)
4
3)
2
4)
1
А5. Найдите производную функции .
1)
7
2)
- 25
3)
6
4)
1
А6. Вычислите значение производной функции в точке .
1) 0 2) 4 3) 4)
Вариант 2
А1. Вычислите значение производной функции .
1)
0
2)
1
3)
2
4)
3
А2. Вычислить значение производной функции .
1)
4,5
2)
5,5
3)
4
4)
3,5
А3. Найдите производную функции .
1)
1
2)
- 1
3)
3
4)
5
А4. Найдите производную функции . 1) 2) 3) 4)
А5. Найдите производную функции .
1) 2) 3) 4)
А6. Вычислите значение производной функции в точке .
1) 2) 0 3) 4)
IV. Закрепление изученного материала.
Вспомнить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке и на промежутке, точек экстремума.
Работа на доске и в тетради. (прототипы ЕГЭ)
Приложение № 3
1. Найдите точку максимума функции у = – 2х + 9.
Решение: ОДЗ: х0; х-5.
= – 2 = = 0; 1 – 2х -10 = 0; -2х = 9; х = - 4,5.
Определим знаки производной функции
+ -
У -5 -4,5
= - 4,5
2. Найдите точку минимума функции у = 3х -
Решение. ОДЗ: х + 3 0; х - 3
= 3 - = = 0; 3х +9 -3 = 0; 3х = - 6; х = -2
Определим знаки производной функции
- +
у -3 -2
= - 2
3. Найдите наибольшее значение функции у = 8 – 8х + 3 на отрезке [-6,5; 0]
Решение. ОДЗ: х+7 0; х - 7
= – 8 = = 0; 8 – 8х – 56 = 0; -8х= 48; х = - 6
Определим знаки производной на заданном отрезке
+ -
У -6,5 - 6 0
= - 6
у(-6) = 8 -8 (-6) + 3 = 0+48+3 =51 наибольшее значение функции
4. Найдите наименьшее значение функции у = - + 8 на отрезке [ -2; 2]
Решение. = 4 -4 = 4 ( – 1) = 0; – 1 =0; = 1; 3х = 0; х =0
Определим знаки производной на заданном отрезке
- +
у 0
= 0
у (0) = - 4 + 8 = 1 -4 +8 = 5 наименьшее значение функции
V. Итог урока.
1. Как исследовать функцию на монотонность?
2. Какие точки называются точками экстремума?
3. Признаки возрастания и убывания функции.
VI. Домашнее задание: № 19.37,№19.38
Автор(ы): Жангабилова Р. С.
Скачать: Алгебра 11кл - Урок 3.docxАвтор(ы): Жангабилова Р. С.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docxАвтор(ы): Жангабилова Р. С.
Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку 1.pptАвтор(ы): Жангабилова Р. С.
Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку 2.pptАвтор(ы): Жангабилова Р. С.
Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку.pptАвтор(ы): Жангабилова Р. С.
Скачать: Алгебра 11кл - Приложение 1 урок 2.docxАвтор(ы): Жангабилова Р. С.
Скачать: Алгебра 11кл - Приложение 2 урок 2.docxАвтор(ы): Жангабилова Р. С.
Скачать: Алгебра 11кл - Приложение 2 урок 3.docxАвтор(ы): Жангабилова Р. С.
Скачать: Алгебра 11кл - Приложение 3 урок 3.docxАвтор(ы): Жангабилова Р. С.
Скачать: Алгебра 11кл - Тест.doc
