Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Предмет: Алгебра Класс: 11 УМК: Алгебра и начала анализа, А. Г. Мордкович, 2010г. Профильный уровень Тема урока: Доказательство неравенств Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 Место урока в системе уроков по теме: 2-3 (уроки объединены в урок-семинар) Цель урока: Расширить знания учащихся по теме: «Неравенства», закрепить полученные знания в процессе решения задач. Задачи урока: 1. Научить применять различные методы доказательства неравенств. 2. Развивать логическое мышление, память, познавательный интерес. Продолжить формирование математической речи, графической культуры, вырабатывать умения обобщать, делать вывод. 3. Формировать навыки работы со справочными материалами, приучать к эстетическому оформлению слайдов, записей в тетради и на доске. Планируемые результаты: Знать решения базовых неравенств и умение применять их при решении задания №15 ЕГЭ. Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран, раздаточный материал по теме урока. Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: тексты КИМ (сайт «Решу ЕГЭ»). Содержание урока: 1. Организационный момент 2. Актуализация знаний, умений учащихся, необходимых при изучении темы 3. Подготовка учащихся к дальнейшей деятельности (повторение и анализ уже рассмотренных методов) 4. Рассмотрение других способов доказательства неравенств 5. Решение упражнений по доказательству неравенств 6. Итог урока 7. Домашнее задание Ход урока I. Организационный этап Сообщение темы урока, цели урока. II. Актуализация знаний и умений учащихся: Фронтальный опрос 1). Что значит доказать неравенство f(a, b…k)>g(a, b…k) 2). Какое неравенство считают неравенством Коши? 3). Опорные неравенства (записать на доске). а). ; б). , где ; в). ; г). ; д). III. Подготовка учащихся к дальнейшему усвоению методов доказательства неравенств. Пример 5. Доказать неравенство что a>0, b>0, Доказательство. Воспользуемся неравенство Коши, связывающим среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел . Если считать, что и требовалось доказать. Пример 6. Доказать, что если 0, b (1) Доказательство. Возьмем в качестве опорного неравенство Коши: Так как, в свою очередь, . Значит, . Проанализировав доказательство, приходим к выводу, что знак равенства в неравенстве (1) имеем место тогда и только тогда, когда a=b, c=d и , т.е. когда a=b= c=d. Учитель: Рассмотрим следующий метод доказательства неравенств. Пример10. Доказать, что если (2) Доказательство. Нам надо доказать, что для любых неотрицательных значений a,b,c,d выполняется неравенство (2). Предположим противное, что существует набор неотрицательных значений a,b,c,d, для которого неравенство (2) неверно, т.е. выполняется неравенство Так как обе части этого неравенства неотрицательны, то можно возвести их в квадрат: откуда bc+ad<2 т.е. Но это противоречит неравенству Коши. Значит, наше предположение неверно, а потому справедливо неравенство (2). Пример 12. Доказать неравенство (3) Доказательство. Предположим противное, что при некотором значении переменной t выполняется неравенство Выполним некоторые преобразования этого неравенства: Последнее неравенство неверно, поскольку при любых значениях t выполняется неравенство Полученное противоречие означает, что сделанное нами предположение неверно, т.е. справедливо неравенство (3). Пример 13. Доказать неравенство . (4) Доказательство. Предположим, что . Тогда: 1 1+ 1+2 1+2. Последнее неравенство неверно, поскольку 1 Полученное противоречие означает, что сделанное нами предположение неверно, т.е. справедливо неравенство (4). IV. Следующий метод с использованием математической индукции. Пример 14. Доказать, что если n(5) Доказательство. При n=3 неравенство (5) верно: Предположим, что оно верно n=k (k, т.е. и докажем что тогда оно верно и при n=k+1, т.е. докажем, что В самом деле, Итак, Но 2k-1при любом натуральном значении k. Следовательно, Согласно принципу математической индукции, можно сделать вывод о том, что неравенство (5) справедливо при всех n Пример 15. Доказать, что для любых действительных чисел справедливо неравенство . (6) Доказательство. При n = 2 неравенство (6) принимает вид Это верное неравенство, оно было доказано в § 5 учебника «Алгебра и начала анализа-10». Предположим, что неравенство (16) верно при п = k (k > 2), т. е. и докажем, что тогда оно верно и при n=k+1, т.е. докажем, что . В самом деле, пусть . Тогда =. По принципу математической индукции неравенство (6) верно для любых действительных чисел V. И последний метод доказательства неравенств- функционально- графический. Пример 20. Доказать, что для любых значений х выполняется неравенство Доказательство. Рассмотрим функцию y=f(x), где f(x)=. Найдем ее производную: Эта производная существует при всех значениях x и обращается в нуль в точках -1, 1, 2. Знаки производной схематически указаны на рис.1. Значит, х=-1 и х=2- точки минимума, а х=1- точка максимума функции. Вычислим значения функции в точках экстремума: f(-1)=1, f(1)=33, f(2)=28. На рис.2 схематически (с разными масштабами по осям координат) представлен график функции y=f(x). Замечаем, что т.е. для любых значений х выполняется неравенство f(x) и тем более f(x)>0, что и требовалось доказать. Рис. 2 VI. Итоги урока а). Какой метод доказательства называется синтетическим? б). Как доказать неравенство методом от противного? в). В чем состоит доказательство неравенств методом математической индукции? г). Как используется функционально-графический метод доказательства неравенств? VII. Домашнее задание: Доказать неравенство (пример №8). №8, 9, 11, 16, 17. Подготовить слайды в виде презентации.
Автор(ы): Капырина В. А., Башатова Т. А., Абдюшева В. Т.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docxАвтор(ы): Капырина В. А., Башатова Т. А., Абдюшева В. Т.
Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку.ppt
