Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета Алгебра и начала анализа
Класс 11
УМК (название учебника, автор, год издания) Алгебра и начала анализа. Мордкович А.Г.
Уровень обучения профильный
Тема урока Уравнения и неравенства с двумя переменными
Общее количество часов, отведенное на изучение темы 2ч
Место урока в системе уроков по теме 1 урок
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, документ-камера.
Цели урока:
Образовательная: познакомить учащихся с определениями уравнения и неравенства с двумя переменными, со способами решения уравнений и неравенств с двумя переменными.
Развивающая: развивать воображение, познавательный интерес, продолжать формирование математической речи.
Воспитательная: прививать аккуратность и точность, продолжить формирование общей и математической культуры
Содержание урока
I. Проверка домашнего задания
Приведите примеры иррациональных уравнений и неравенств. С помощью каких методов вы их решили. Проверить несколько тетрадей с помощью документ-камеры.
II. Актуализация знаний
1. Установите соответствие
2) Линейная функция 1) Парабола 1)
3) Квадратичная функция 2) Гипербола 2)
4) Обратная функция 3) Прямая 3)
Ответ: 132, 211, 323
2. На какие группы можно разбить данные выражения, ответ обоснуйте
1) y-2x-2=0
2) x2-5x+40
3) (x-4)(y+3)≥-6
4) x2+y2-2x+4y=11
5) y2+2y-15=0
6) (x+8)(2y-9)=0
7)15x+9<0
8)2y-3x-6>0
Возможные ответы: уравнения и неравенства; выражения с одной переменной и выражения с двумя переменными.
I. Объяснение нового материала
Сегодня на уроке мы рассмотрим уравнения и неравенства с двумя переменными. Из предложенного списка выберите уравнения с двумя переменными и неравенства с двумя переменными.
Ответ: уравнения неравенства
y-2x-2=0 (x-4)(y+3)≥-6
x2+y2-2x+4y=11 15x+9<0
(x+8)(2y-9)=0 2y-3x-6>0
- Можете ли вы решить уравнение y-2x-2=0? Каким способом?
Ответ: подбором, графическим.
- Что является решением данного уравнения?
Возможные ответы: точка, пара чисел, множество точек, прямая.
Цель сегодняшнего урока научиться решать уравнения и неравенства с двумя переменными.
Решением уравнения с двумя переменными P(x;y)=0 называется всякая пара чисел(x;y), которая обращает уравнение в верное числовое равенство. При решении таких уравнений требуется проводить внимательный анализ уравнения и выявлять закономерности. Не существует общих методов решения уравнения с двумя переменными - к каждому уравнению нужен "индивидуальный подход". Обычно решений получается бесконечно много. Но отмечу, что переход к геометрической модели решения, т.е. когда на декартовой системе координат изображают все множество решений, является одним из самых удобных методов решения.
Для уравнения x2+y2=16 решением является всякая пара чисел, которые принадлежат окружности, радиус которой равен 4, а центром является точка с координатами (0;0). Изобразить графически решение данного уравнения просто. В данном примере мы получили бесконечное число решений, которые удовлетворяют условию выше.
Рассмотрим другой пример. Уравнение (x+2)2+(y+4)2=0 имеет всего одно решение х=−2 и у=−4. Поскольку, сумма двух не отрицательных чисел может равняться нулю, когда они одновременно равны нулю. В данном примере мы получили всего одно решение.
Если дано целое рациональное уравнение с несколькими переменными и целочисленными коэффициентами, и также требуется найти целые (или рациональные) решения данного уравнения, то принято говорить, что задано диофантово уравнение.
Диофантовы уравнения решаются довольно трудно, и не всегда сразу можно придумать ходы решения. Часто помогает теория делимости целых чисел. Также отмечу, что современные методы программирования позволяют решать многие уравнения на компьютерах, используя так называемые численные методы.
Пример 1.
Найти целочисленные решения уравнения: 5x+4y=17.
Решение.
В общем случае мы могли бы на декартовой системе координат изобразить прямую и получить множество всех решений, но нам требуется найти только целочисленные решения.
Воспользуемся известными предложениями теории делимости целых чисел.
Приведем наше уравнение к виду:
Целое число 17−5х должно делиться без остатка на 4.
При делении на 4 возможны четыре случая:
а) остаток от деления на 4 равен нулю, то есть х=4k.
б) остаток от деления на 4 равен единице, то есть х=4k+1.
в) остаток от деления на 4 равен двум, то есть х=4k+2.
г) остаток от деления на 4 равен трем, то есть х=4k+3, где k - целое число.
Рассмотрим каждый случай отдельно:
а) Если х=4k, то 17−5x=17−20k не делится нацело на 4, т.к. каждый член разности должен делиться на 4, а число 17 не делится на 4.
б) Если х=4k+1, то 17−5x=17−20k−5=12−20k делится нацело на 4.
в) Если х=4k+2, то 17−5x=17−20k−10=7−20k не делится на 4.
г) Если х=4k+3, то 17−5x=17−20k−15=2−20k не делится на 4.
Среди всех возможных вариантов нам подошел лишь один вариант: х=4k+1.
Найдем y: y=17−5x4=17−20k−54=3−5k.
Целым решением нашего уравнения является любая пара чисел (4k+1;3−5k),
где k – любое целое число.
Ответ: (4k+1;3−5k).
Рассмотрим неравенства вида p(x;y)>0, p(x;y)<0 . Решением неравенства p(x;y)>0 называют всякую пару чисел, которые удовлетворяют данному неравенству (неравенство превращается в верное числовое неравенство). Решения неравенств с двумя переменными также проще изображать на графиках в декартовой системе координат. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2.
Решить неравенство: 2x+5y>7.
Решение.
Для начала выразим у через х:
Построим прямую . Множество всех решений неравенства расположено, либо выше, либо ниже данной прямой. Можно подставить любую пару чисел и проверить: выполнилось неравенство или нет. Если неравенство выполнилось, то мы выбираем в качестве решения ту область, которой принадлежат эти пара чисел, если не выполнилось, то выбираем противоположную область. Давайте подставим пару (1;2) 2>7−25. 2>1 – верное неравенство. Значит, мы должны выбрать область выше нашей прямой, область в которой выполняется наше неравенство обычно принято изображать штриховкой.
Пример 3.
Решить неравенство: xy<3.
Решение.
Рассмотрим три возможных случая:
а) х=0, то получаем верное неравенство 0<3. Что значит: неравенство выполняется для любых у, если х=0.
б) х>0. Перейдем к неравенству y<3/x. В правой полуплоскости данному неравенству удовлетворяют множество всех точек, расположенных ниже правой ветви параболы y=3/x.
в) x<0. Перейдем к неравенству y>3/x. В левой полуплоскости данному неравенству удовлетворяют множество всех точек, расположенных выше левой ветви параболы y=3/x.
Нам осталось построить график функции и отметить множество всех решений:
II. Закрепление нового материала
1. Найти целочисленные решения уравнения: 7x+5y=15.
2. Решить неравенство: xy>7.
III. Домашнее задание
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. Задачник №32.3, 32.7
Творческое задание: подготовить историческую справку о Диофанте и диофантовых уравнениях.
IV. Подведение итогов урока
- Сформулируйте алгоритм решения неравенства с двумя неизвестными
Возможный ответ:
1.Построить график уравнения f(х, у) = 0 . Линия графика разбивает плоскость на несколько областей, внутри каждой из которых f(х, у) сохраняет знак.
2. Выбрав произвольную точку, отобрать область (или области), в которых f(х, у) имеет знак, соответствующий знаку исходного неравенства.
3. В случае, если неравенство нестрогое, линия графика включается в решение.
Конец формы
Начало формы
Конец формы
Начало формы
Начало формы
Конец формы
Конец формы
Автор(ы): Беззубова С. П.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docxАвтор(ы): Беззубова С. П.
Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку.pptx
