Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета: алгебра и начала анализа
Класс: 11
УМК (название учебника, автор, год издания): алгебра и начала анализа, А.Г. Мордкович, 2009г.
Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный): базовый
Тема урока: «Основные методы решения уравнений»
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3ч.
Место урока в системе уроков по теме: урок№1
Цель урока обобщить и закрепить теоретические знания методов, умения и навыки решения уравнений
Задачи урока: актуализировать опорные знания при решении уравнений; развивать умение применять знания в конкретной ситуации, сравнивать, обобщать, правильно формулировать и излагать мысли; воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля, настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемной ситуации.
Планируемые результаты: овладеть приёмами решения уравнений; уметь воспроизводить приобретённые знания, умения, навыки в конкретной деятельности
Техническое обеспечение урока: компьютер, интерактивная доска, проектор
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы)
Содержание урока (в соответствии с требованиями к современному уроку):
1) Организационный этап.
2) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.
3) Актуализация знаний.
4) Обобщение и систематизация знаний
Подготовка учащихся к обобщенной деятельности
Воспроизведение на новом уровне (переформулированные вопросы).
5) Применение знаний и умений в новой ситуации
6)Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.
7) Рефлексия (подведение итогов занятия)
Анализ и содержание итогов работы, формирование выводов по изученному материалу
Здравствуйте, ребята. Подходит к концу учебный год. Не за горами единый государственный экзамен. На протяжении всех лет обучения в школе мы на уроках математики чаще, чем с другими математическими понятиями, сталкивались с уравнениями. С их помощью описывались многие реальные ситуации и математические модели. Обращали ли вы внимание на то, что готовясь к экзамену по тренировочным тестам, вы в обязательном порядке при выполнении ряда упражнений составляли и решали уравнения? Математик С. Коваль сказал «Уравнения - это золотой ключ, открывающий все математические сезамы»
Т.е. другими словами можно сказать, что если вы будете уметь решать уравнения, то экзамена по математике вам не стоит бояться. Сегодня на уроке мы вспомним, какие основные методы решения уравнений вам известны, и на простейших примерах посмотрим как они работают, ведь для того чтобы успешно решать более сложные задания, необходимо овладеть основной базой. Итак, каковы же основные методы решения уравнений:
1. Замена уравнения h(f(x))=h(g(x)) уравнением f(x)=g(x).
Этот метод применяют при решении:
а) показательных уравнений, когда от уравнения вида аf(x)=аg(x) (а> 0, а1 ) переходим к уравнению f(x)=g(x);
б) логарифмических уравнений, когда от уравнения вида logag(x)=logaf(x) (а> 0, а1) переходим к уравнению g(x)=f(x) ;
в) иррациональных уравнений, когда от уравнения вида= переходим к уравнению f(x)=g(x);
Этот метод можно применять только в том случае, когда h(x)-монотонная функция, которая каждое своё значение принимает только по одному разу.
Рассмотрим пример:
Решить уравнение:
(-5х-2)9=(15х+21)9
Т.к. функция у=х9 –возрастает, то можно перейти к уравнению
-5х-2=15х+21
Если функция h(x)-то указанный метод применять нельзя, т. к. возможна потеря корней.
Пример:
(3х-1)4=(5х+2)4
3х-1=5х+2
2х=-3
х=-1,5
Потерялся корень х=-0,125. Причина в том, что функция у=х4-немонотонная
2. Решение уравнения методом разложения на множители.
Если аbс=0, то а=0 или b=0 или с=0
Если произведение двух или более множителей равно 0, то хотя бы один из множителей равен 0.
Алгоритм решения оформим в виде таблицы
Шаги решения
Пример
1) Все члены переносятся в левую часть уравнения. В правой должен быть 0.
2) Левая часть раскладывается на множители.
3) Каждый множитель приравнивается к 0.
4) Решается каждое из полученных уравнений.
5) Записывается ответ.
х3=16х
х3-16х=0
х(х2-16)=0
х=0 или х2-16=0
х=-4, х=4
х=0, х=-4, х=4
3. Решение уравнений методом введения новой переменной.
1. В уравнении какая-то его часть заменяется другой переменной (а,у,t… ), (прежняя неизвестная величина одновременно с новой в уравнении быть не может).
2. Решается новое уравнение.
3. Возвращаются к обозначенному, и, используя полученное число, вычисляется требуемая неизвестная величина.
Примеры:
1. (2х-21)2-5(2х-21) +4=0
2х-21=а
а2-5а+4=0
а1=1, а2=4
Возвращаемся к обозначенному
1) 2х-21=1 2) 2х-21=4
2х=22 2х=25
х=11 х=12,5
Ответ: 11; 12,5
2. +=2
+=2
х2+10=у
+ = 2
3.Функционально-графический метод
Для графического решения уравнения f(x)=g(x) нужно построить графики функций у=f(x) и у = g(x) в одной системе координат, а затем найти точки их пересечения. Корнями уравнения служат абсциссы этих точек.
Этот метод позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближенные, а иногда и точные значения корней.
В некоторых случаях построение графиков можно заменить ссылкой на какие-либо свойства функций. Если, например, одна из функций у = f(x) , у = g(x) возрастает, а другая убывает, то уравнение f(x)=g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень ( который иногда можно угадать).
Назовем ещё одну разновидность функционально-графического метода: если на промежутке Х наименьшее значение одной из функций f(x), g(x) равно А и наибольшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x)=g(x) на промежутке Х равносильно системе уравнений
Примеры:
1.=
Построим графики функций у=. и у=в одной координатной плоскости
х1=1, х2=4
Ответ: 1; 4
2. х5+5х-42=0
Преобразуем уравнение к виду
х5=42-5х
Заметим, что функция у=х5 возрастает, а функция у=42-5х убывает. Значит, уравнение имеет только один корень. Это х=2.
Итак, сегодня на уроке мы систематизировали наши знания по теме «Общие методы решения уравнений». Как вы думаете, ребята, полезен ли был сегодняшний урок? Пригодятся ли вам знания, полученные сегодня, для успешной сдачи ЕГЭ? (ответы учащихся). А в дальнейшей жизни? Где? (при обучении в высших учебных заведениях). А в глобальном смысле, т. е. вообще в жизни? (конечно, же, напрямую, скорее всего, нет. Но сегодняшний урок, как, впрочем, и другие уроки математики, является тем маленьким кирпичиком, из которых незаметно для вас в течение долгих лет обучения в школе выстраивается фундамент вашего логического мышления. А хорошо развитое логическое мышление – это гарантия стопроцентного успеха в любой профессиональной деятельности, да и в любой жизненной ситуации.). И в завершение нашей беседы, я прошу вас высказать свое мнение о сегодняшнем уроке.
На следующих уроках мы закрепим наши знания при решении более сложных уравнений различными методами.
Домашнее задание:
п. 56, №№ 1679(а,в), 1680(б,г)1684(б,в)
Спасибо за урок, до свидания!
Автор(ы): Чегодаева Т. В.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docx
