Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Урок №3. «Задачи с параметрами»
Цель :формирование умения решать задачи с параметрами графически.
развитие исследовательской и познавательной деятельности;
воспитание интереса к предмету через решение задач нестандартного содержания.
Тип урока: урок формирования новых знаний.
Х од урока.
1. Организационный момент: сообщение учащимся цели урока.
2. Актуализация знаний учащихся
а) записать уравнение окружности в общем виде.
б) записать уравнение окружности с центром в начале координат.
в) Какая функция называется квадратичной? Привести примеры.
г) от чего зависит направление ветвей параболы?
д) какой вид должна иметь функция, чтобы произошел сдвиг вдоль оси абсцисс, оси ординат?
е) объясните, что такое параметр?
ж) в чем заключается графический метод решения задач?
3. Проверка домашнего задания. (Выборочно у некоторых учащихся.) В случае затруднения подробный разбор задания у доски.
4. Решение задач с параметрами графическим методом.
Пример 1. При каких значениях параметра a система
Имеет ровно одно решение?
Решение: - квадратичная функция, графиком которой является парабола с вершиной в точке (1; -4). – линейная функция, графиком которой является прямая.
Найдём точку касания параболы и прямой через производную.
Производная квадратичной функции равна 2х – 2, а производная линейной функции равна а.
Решим систему: далеедалее
Даём ответ для параметра а.
Ответ:-4 и 20
Пример 2 . Решить систему неравенств с параметром:
Упростим систему неравенств, избавившись от логарифмов и корней. В первом неравенстве сравниваются логарифмы с одинаковым основанием, значит можно отбросить знак логарифма, при этом сменив знак неравенства, т. к. основание логарифмов меньше единицы, но не забудем про ОДЗ.
Чтобы избавиться от корней во втором неравенстве возводим его в квадрат, и опять учитываем ОДЗ. Получим:
Таким образом, имеем систему четырех неравенств:
Решаем систему:
Строим график полученной системы. Решением первого неравенства является полуплоскость, расположенная левее вертикальной прямой . Решением второго неравенства является полуплоскость, расположенная выше прямой . Решением третьего неравенства является полуплоскость, расположенная под горизонтальной прямой , Решением последнего неравенства является полуплоскость, расположенная выше прямой . Для первых трех неравенств сами прямые не входят, так как неравенства строгие. Для четвертого неравенства прямая входит, так как неравенство нестрогое. Рассмотрим полученный рисунок.
Рис. 7. Иллюстрация решения системы неравенств
Чтобы уточнить, что решением системы является треугольник, как это видно по графику, необходимо уточнить координаты точек пересечения.
Пусть точка А – точка пересечения прямых , найдем ее координаты, для этого решим систему:
Данная система элементарно решается методом алгебраического сложения:
Пусть точка В – точка пересечения прямых , найдем ее координаты, для этого решим систему:
Решим полученную систему способом подстановки.
Пусть точка С – точка пересечения прямых , найдем ее координаты, для этого решим систему:
Также применим способ подстановки:
Итак:, вершины треугольника имеют координаты: (), (), (-2; 6).
Теперь осталось рассечь полученный график семейством прямых и выписать ответ.
Рис. 8. Рассечение графика семейством прямых
Ответ: при решений нет; при система имеет множество решений
5. Домашнее задание Построить график функции y=x4- 3 - x2+2.
6. Итог урока: В чем заключается графический метод решения задач с параметрами? Повторить основные этапы решения.
Урок №4 «Задачи с параметрами»
Цель: Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности по теме : « Задачи с параметрами.»
Развитие исследовательской и познавательной деятельности.
Воспитание интереса к предмету через содержание учебного материала; развитие настойчивости в достижении цели, умение не растеряться в проблемной ситуации.
Тип урока: систематизация и обобщение изученного материала.
Ход урока
I. Организационный момент, сообщение учащимся цели урока.
II. Актуализация знаний учащихся.
1. Найти производные функций: у = х4 + 3х2–12, у = ln(x–1);
2. В чем заключается геометрический смысл производной?
3. Написать уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х0.
4. Рассказать, как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a; b].
5. При каком условии функция непрерывно возрастает на всей числовой прямой?
III. Проверка домашнего задания:
1. Построить график функции y=x4- 3 - x2+2.
Ученики сверяют свои графики с графиком, заранее построенном на доске :
Дополнительное задание : «Сколько действительных корней имеет уравнение y=x4- 3 - x2+2=апри различных значениях параметра а»?
С помощью рисунка ученики отвечают на вопрос задачи.
Ответ: при а<-9 –нет корней;
при а = -9 - один корень;
при 9 < а<, а>2 – два корня;
при а = , а = 2 – три корня;
при < a < 2 – четыре корня.
4.Решение задач.
1.При каких значениях параметра а функция f (x)=ax3-6x2+4x+7 имеет одну стационарную точку?
Решение.
D(f) = R.
Стационарные точки – это точки, в которых производная равна нулю.
fʹ(x)= 3ax2 -12x+4,
3ax2 -12x+4=0,
при а≠0: D1=36-12a=0, a=3;
при а=0: 12x+4=0, х =.
Ответ: при а=0, а=3.
Решение задач
2.Выяснить, при каких значениях параметра а наименьшее значение функции y=x2-12x+a на отрезке равно нулю.
Решение.
Функция непрерывна на [1;3] и дифференцируема на (1;3).
Найдем стационарные точки: уʹ(х) =3х2-12, 3х2-12 =0, х=-2;-2
Найдем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке: у(1) = а – 11;
у(3)=а-16; у(2) = а-9; а-16 – наименьшее значение функции, следовательно, а-16 = 0, а=16.
Ответ: при а =16.
2. Найти все такие значения параметра а, при которых касательная к графику функции у = х7 в точке х0 = а и касательная к графику функции у = х8 в точке х0=а не пересекаются.
Решение.
Так как прямые не пересекаются, то они параллельны или совпадают, то есть их угловые коэффициенты равны. Составим уравнения касательных к графикам данных функций в точке х0 = а:
а) у ʹ(х) = 8х7, у ʹ(а) = 8а7, у(а) = а8, у = а8 + 8а7 (х – а), у = 8а7х – 7а8;
б) у ʹ(х) = 7х6, у ʹ(а) = 7а6, у(а) = а7, у = а7 + 7а6 (х – а), у = 7а6х – 6а7.
Имеем: 8а7 = 7а6,
а6 (8а – 7) = 0, а =0 или а = .
Ответ: при а = 0; .
3.При каких значениях параметра а функция возрастает на всей числовой прямой, если у = (а2- 1)х3/3 + (а – 1)х2 + 2х +1?
Решение.
D(у) = R.
Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, ее производная должна быть больше нуля для всех действительных значений х.
Найдем производную функции: уʹ(х) = ( а2 – 1)х2 + 2(а – 1)х+2 и решим неравенство
(а2 – 1)х2 + 2(а – 1)х +2 0. Это неравенство верно для всех х R, если а2 – 1 0 и дискриминант уравнения ( а2 – 1)х2 + 2(а – 1)х +2=0 меньше нуля.
D = ( а – 1)2 - 2(а2 – 1) = -а2 – 2а + 3,
а2 – 2а + 3 < 0,
а2 + 2а -3 > 0.
Решая данное неравенство и учитывая решение неравенства а2 – 1 0, получаем:
а(-;-3) (1; +).
Рассмотрим случай, когда а2 – 1 0. Имеем а =-1 или а =1.
Если а = -1, то -4х + 2 >0, x < - не удовлетворяет условию задачи.
Если а = 1, то 2 >0 – неравенство верно для всех х R.
Ответ.(-;-3) [1; +).
4.Домашнее задание. Найти все значения параметра а при котором система
имеет ровно два решения.
5.Итог урока. Подведение итогов урока.
Автор(ы): Макаренко Н. В.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docx
