Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Алгебра и начала анализа
11 классс
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического начала. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных организвций (базовый и углубленные уровни)/А.Г. Мородкович, П.В.Семенов. – 2-е изд., чтер. – Мнемозина, 2014.Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных организвций (базовый и углубленные уровни)/А.Г. Мородкович, П.В.Семенов. – 2-е изд., чтер. – Мнемозина, 2014
Углубленный уровень обучения
Тема урока: Системы уравнений
Общее количество часов, отведенное на изучение темы 4 часа
Место урока в системе уроков по теме. Данный урок занимает важное место в программе 11 класса и курса математики, т.к. на ЭГЭ до 2015 года включительно во второй части было задание с системами уравнений. Поэтому тема важно для рассмотрения разнообразным методов их решения.
Цель урока: познакомиться с новыми способами и методами решения систем уравнений
Задачи урока:
Образовательные: совершенствовать умения применять способы решения систем уравнений при решении примеров, применять свойства функций.
Развивающие: способствовать формированию умений применять приёмы переноса знаний в новую ситуацию, развитию мышления и речи, внимания и памяти;
Воспитательная: содействие воспитанию активности, аккуратности и внимательности, развитие навыков самоорганизации и самоконтроля, самостоятельности.
Планируемые результаты: учащиеся должны научиться применять разные методы при решении систем уравнений, различать типы уравнений и подбирать для каждого свой способ решения
Техническое обеспечение урока: доска, учебник
Тип урока: урок введения новой темы
Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, коллективная.
Этап урока
Деятельность учителя
Деятельность ученика
Орг.момент
Актуализация знаний. Мотивация к учебной деятельности.
Начиная с 7 класса в курсе алгебры изучались различные системы уравнений с двумя переменными.
- Назовите, какими способами мы пользовались при решении таких систем?
- Назовите, методы, приводящие к уравнению следствию?
- Давайте вспомним, системы каких уравнений мы еще умеем решать?
- На этом уроке мы познакомимся с новыми методами и рассмотрим новые классы систем уравнений, а именно иррациональных и тригонометрических систем уравнений, и систем уравнений не только с двумя переменными.
- с какими системами уравнений мы еще можем работать?
- метод постановки, метод сложения, метод введения новых переменных и графический метод.
-Возведение в квадрат обеих частей уравнения; умножение уравнений системы; преобразования, расширяющие область допустимых значений каждого уравнения.
- системы однородных и симметрических многочленов
- видим, что первое уравнение не является однородным, однородным является его левая часть, тогда рассмотрим второе уравнение, оно является однородным уравнением. Решим его, разделив каждый член на х2. Получим уравнение: 1+ 3Сделаем замену , получим новое уравнение 2а2+3а+1=0. Получим корни -1, -0,5. Тогда = -1, =-0,5
Составим совокупность двух систем: , решая каждую систему получим следующие пары корней:
- данная система является симметрической, представим ее таким образом:
решим ее используя следующую подстановку: пусть х+у=u, ху=v
получим новую систему
подставим первое выражение во второе уравнение, и получим, что v=6.
решим данную систему и получим корни: (2;3), (3;2)
С логарифмическими и показательными
Объяснение новой темы
- Как обычно, в начале уточним некоторые понятия.
Определение 1. Уравнения р(х;у)=0 образуют систему уравнений , если необходимо найти такие пары чисел (х;у), которые удовлетворяют уравнению. При этом пару значений (х;у) называют решением системы уравнений.
- Напомните, что значит решить систему уравнений?
По аналогии можно говорить и о системе трех уравнений с тремя уравнениями:
При этом необходимо найти тройки чисел удовлетворяющих всем уравнениям системы. Также можно говорить о системе уравнений, содержащих любое число уравнений и любое число переменных.
Основная идея решения уравнения состоит в постепенном переходе от сложного уравнения к более простому, но равносильному исходному. При этом в системе уравнений, как правило, стремятся получить хотя бы одно линейное уравнение. Если происходит переход к уравнению-следствию, то обязательна проверка корней, т.к возможно появление посторонних решений. То же можно сказать и о системе уравнений.
Определение 2. Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же решения или решений не имеют.
Метод подстановки, метод алгебраического сложения и метод введения новых переменных приводят к равносильным преобразованиям системы уравнений.
Равносильными являются методы:
1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.
3. Метод введения новой переменой.
Используя эти методы, мы заменяем исходную систему уравнений равносильной системой, как правило, получившуюся систему решить гораздо проще.
Методы, приводящие к уравнениям следствиям:
1. Возведение в квадрат обеих частей уравнения.
2. Умножение уравнений системы.
3. Преобразования, расширяющие область допустимых значений каждого уравнения.
Если в процессе решения используются неравносильные преобразования хотя бы одного уравнения, а именно возведение в квадрат обеих частей уравнения, умножение уравнений системы, преобразования, приводящие к расширению области определения уравнения и т.д, то необходима проверка решений их подстановкой в исходную систему. После предварительных замечаний перейдем к решению систем уравнений.
- решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет
Закрепление изученного материала
Рассмотрим решение примеров по учебнику. Стр. 289-291. Пример 1 – 4.
Теперь давай те разберем по одному примеру каждого метода. Для начала применим метод подстановки.
Работа по задачнику (номера написать на доске, более сильные ученики могут решать на опереджение)
№ 33.1 а
Метод алгебраического сложения:
№ 33.4 в
Метод введения новой переменной
№ 33.5
Метод разложения на множители:
№33.20
Графический метод
№ 33.11 ,
Дополнительные номера, сильным учащимся
№ 33.13в, 33.14в
Ученики разбирают решение примеров по учебнику.
У доски работает ученик
Выразим переменную х через у в первой строчке и подставим полученное выражение во второе уравнение, получим:
Решив данное уравнение, получим .
Подставим полученные значения у в первое уравнение, получим: .
Ответ: (1;2), (1,5;1,5)
Сложим почленно первую и вторую строчки, получим: . Поделим на 2, и возведем обе части данного уравнения в квадрат. 2х+у=4, выразим у, у = 4-2х и подставим в первое уравнение, имеем: =6, получим уравнение: перейдем к уравнению 8-3х=3, и получим корень , у = . Т.к при решение второго уравнения, мы возводили обе части уравнения в квадрат, то необходимо сделать проверку, подставив найденные корни в первоначальную систему.
Ответ: ()
Пусть
Получим новую систему:тогда домножим первое уравнение на -3 и сложим со вторым уравнением: -7а=7, а = -1, тогда подставив а во второе уравнение, получим с= Перейдем к новой системе , решив данные уравнения, получим, что х=2, у=1. Проверку в данном уравнении делать не нужно, т.к все системы между собой были равносильны.
Ответ: (2;1)
Первое уравнение разложим на множители: = 2х(х+у)-у(х+у)=(2х-у)(х+у). Перейдем к совокупности систем уравнений:
Решим первую систему: из первого уравнения получим: у=2х, подставим во второе уравнение, получаем нет корней.
Переходим ко второй системе: х=-у, подставим во второе уравнение получим уравнение: 4у2=16, тогда у1,2=2, находим х1,2=2.
Ответ: (2,-2),(-2,2)
Рассмотрим функцию: , тригонометрическая функция, графиком является синусоида, сжатая к оси х с коэффициентом 2
Рассмотрим функцию , преобразуем функцию в у=2х +1 - , это линейная функция, графиком является прямая.
Ищем пересечение прямой с синусоидой. х=, у=1.
Ответ: ;1 )
Подведение итогов урока
Ребята, какие сегодня методы решения систем уравнений мы повторили?
Какие узнали новые?
На следующем уроке мы продолжим решать системы уравнений
Учащиеся отвечают на вопросы
Д.з
Параграф 33 читать, учить определения. № 33.1г, 33.4 а, 33.5 б, 33.20б
Автор(ы): Кшнякина А. А.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.doc
