Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета: алгебра и начала анализа Класс: 11 УМК: 1. Мордкович А. Г. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 – 11 классы. Алгебра и начала математического анализа. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций (базовый уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2014. 2. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 – 11 классы. Алгебра и начала математического анализа. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных организаций (базовый уровень) / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2014. Уровень обучения: базовый Тема: Независимые повторения испытания с двумя исходами Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 Место урока в системе уроков по теме: 2-й Тип урока: урок решения ключевых задач Цель урока: отработка применения теоремы Бернулли при решении вероятностных задач. Задачи: Обучающие: - закрепить знания и умения решать комбинаторные задачи; - формировать навыки решения задач по формуле Бернулли; Развивающие: -развивать основные мыслительные операции у обучающихся: умение сравнивать и анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия; контроль и оценка процесса и результатов деятельности; -формировать вероятностно-статистическое мышление обучающихся; Воспитательные: - воспитывать умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие; - воспитывать настойчивость в достижении цели и заинтересованность в конечном результате труда; - развивать самостоятельность и навыки самоконтроля; -мотивировать обучающихся к изучению тем теории вероятностей. Планируемые результаты: - понимать вероятностный характер различных процессов и закономерностей окружающего мира; - решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул; - вычислять, в простейших случаях, вероятности событий; -формулировать схему Бернулли; - применять теорему Бернулли при решении задач; - работать в группах, аргументировать и отстаивать свою точку зрения, уметь слушать других, извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа объектов. Техническое обеспечение урока: компьютер, мультимедиа проектор. презентация, раздаточный материал. ХОД УРОКА I. Организационный момент. Приветствие учеников, сообщение темы и цели урока. Проверка присутствующих. II. Актуализация знаний В теории вероятностей большое значение имеют элементы комбинаторики. Знание формул сочетания, размещения, перестановок во многом облегчает задачу при нахождении вероятности события определенного типа. Вам уже знакомы многие факты из комбинаторики. Вспомним некоторые из них. 1. В сборнике интересных задач Я. Перельмана «Живая математика» есть рассказы «Бесплатный обед». В нем описывается случай, который случился с десятью выпускниками, которые не могут отпраздновать окончания школы, так как никак не решат: в каком порядке им сесть. На помощь им пришел официант, который предложил сегодня сесть как-нибудь, на другой день прийти и сесть по-иному и так каждый день, пока не наступит такой день, когда они снова сядут так, как сидят сегодня. И тогда официант обещал, что угостит всех бесплатным обедом. Как вы думаете, долго ли друзьям придет ждать бесплатного обеда? (Решение: Рn = 10! =3 628 800. Число n! с ростом n возрастает очень быстро. Это означает, что на самом деле официант ничем не рисковал, так как обещанное событие состоится почти через 10 000 лет.) 2. Задача. Сколько диагоналей в выпуклом 10-угольнике? (Решение: Какой многоугольник называется выпуклым? Если мы нарисуем 10 точек на плоскости и будем соединять каждые две из них всеми различными способами, что мы получим? (10-угольник с проведенными в нем диагоналями). Сколькими способами можно соединить две точки из десяти? Будут ли здесь повторения? Важен ли здесь порядок соединения точек? Какую формулу из комбинаторики в таком случае здесь необходимо применить? (Сочетание из 10 по два, без повторений). Сколько диагоналей? Равно ли количество диагоналей полученному числу сочетаний? (Нет, число диагоналей на 10 меньше, т.е. 35). 3. Сформулируйте схему Бернулли. (Рассматривают независимые повторения одного и того же испытания с двумя возможными исходами, которые условно называют «успех» и «неудача». Требуется найти вероятность того, что при n таких повторениях произойдет ровно к «успехов») 4. Каким условиям должна удовлетворять схема Бернулли? (1) у каждого испытания должно быть два исхода, называемых «успех» и «неудача»; 2) в каждом опыте вероятность события А должна быть неизменной; 3) результаты опытов должны быть независимыми) 5. Сформулируйте теорему Бернулли (Вероятность наступления ровно k успехов в n независимых повторениях одного и того же испытания находится по формуле где p - вероятность «успеха», q = 1-p - вероятнось «неудачи» в отдельном опыте) III. Решение задач 1. На примере 6 со с. 339 учебника демонстрируем применение теоремы Бернулли при решении конкретных задач. 2. Групповая работа. Ответы обсуждаются в группах и один представитель озвучивает. 1 гр. Каждый из четырёх приятелей выучил ровно 5 вопросов из 20 заданных к зачёту. На зачёте они отвечали в разных аудиториях и получали вопросы независимо друг от друга. Найти вероятность того, что: а) каждому достался тот вопрос, который он выучил; б) никому не достался вопрос, который он выучил; в) только одному из приятелей достался тот вопрос, который он не выучил; г) хотя бы одному из приятелей достался тот вопрос, который он выучил. Решение. Если кому-то достался известный ему вопрос, то это «успех». Вероятность «успеха» у каждого из приятелей, готовившихся к зачёту, одна и та же: она равна 5/20=1/4. Поэтому можно считать, что мы имеем дело с n=4 испытаниями Бернулли с вероятностью «успеха» в отдельном испытании p=1/4, q=1- q=3/4 а) В этом случае k=n=4 и поэтому б) В этом случае k=0 и поэтому в) Здесь k=3 и поэтому г) Событие, противоположное заданному, состоит в том, что никому из приятелей не достался известный ему вопрос, т. е. что произошло k=0 «успехов». Вероятность такой общей неудачи уже посчитана в пункте б). Значит, нужная нам вероятность равна 2 гр. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что: а) герб выпадет три раза; б) герб выпадет один раз; в) герб выпадет не менее двух раз. Решение. Итак, нас интересует событие A, когда выпадает герб. Вероятность этого события равна p = 0,5. Событию A противопоставляется событие «не A», когда выпадает решка, что случается с вероятностью q = 1 − 0,5 = 0,5. Нужно определить вероятность того, что герб выпадет k раз. Таким образом, имеем: n = 6; p = 0,5; q = 0,5. Определим вероятность того, что герб выпал три раза, т.е. k = 3: Теперь определим вероятность того, что герб выпал только один раз, т.е. k = 1: Осталось определить, с какой вероятностью герб выпадет не менее двух раз. Основная загвоздка — во фразе «не менее». Получается, что нас устроит любое k, кроме 0 и 1, т.е. надо найти значение суммы X = P6(2) +P6(3) + ... + P6(6). Заметим, что эта сумма также равна (1 − P6(0) − P6(1)), т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда герб выпал 1 раз (k = 1) или не выпал вообще (k = 0). Поскольку P6(1) нам уже известно, осталось найти P6(0): 3 гр. а) Какова вероятность того, что если 10 раз подбрасывать монеты, орел выпадет ровно 9 раз? б) 20 человек просят выбрать наугад любой месяц года. Успешным выбором будем считать все месяцы лета и ноябрь с декабрем. Остальные месяцы будем считать не удачными. Какова вероятность того, что удачные месяцы выберут ровно 8 человек? в) Игральный кубик бросают 30 раз. Удачным считается выпадение единицы или шестерки. Какова вероятность, что удачно выпадет кубик ровно 10 раз? Решение. а) Всего испытаний 10, значит n=10. Успешных испытаний должно быть 9, значит k=9. Вероятность выпадения орла или решки одинаковая и равна 0,5, то есть p=q=0,5. Воспользуемся схемой Бернулли: б) Всего у нас 20 человек, n=20. Удачные месяцы должны выбрать 8 человек, k=8. Найдем вероятность успеха. Всего у нас 12 месяцев в году, благоприятных нам: 3 месяца лета + ноябрь и декабрь. Тогда по классической формуле вероятности: p=5/12 и q=1−5/12=7/12. Воспользуемся схемой Бернулли: в) Очевидно, что n=30, k=10, p=26, q=46. 1V. Применение изученного в новой ситуации. 1. Теорема Бернулли оказала существенное влияние на развитие теории вероятности и математической статистики. Фактически она показала связь между классическим определением вероятности и статистическим определением вероятности. В теории вероятности есть теорема "Закон больших чисел". Давайте попробуем кратко объяснить ее смысл. Предположим, мы проводим некоторое испытание, например, подбрасываем монетку. Монетку мы подбрасываем ровно n раз. Выпадение "орла" - k раз, а выпадение "решки" - (n−k) раз. Статистически вероятность выпадения "орла" – k/n, а выпадения "решки" - ((n−k)/n). Согласно классическому определению вероятности выпадения "орла" и "решки" будут равны 0,5. При большом количестве проведенных испытаний, то есть чем больше n, тем больше статистическая вероятность будет стремиться к классической вероятности. Давайте сформулируем закон больших чисел. Теорема. При большом числе независимых повторений одного и того же испытания частота появления случайного события А со все большей точностью приближенно равна вероятности события А: k/n≈P(A). Методы математической статистики позволяют вычислять достоверность и устойчивость полученных результатов. Например, если n≥2000, то достоверность полученных результатов получена с точностью до 0,03. Если опросили 2000 человек, и из них 520 дали требуемый ответ, то статистическая вероятность дачи требуемого ответа: 520/2000=0,26. Можно утверждать, что если будет опрошено много больше, чем 2000 человек, то вероятность будет отличаться от исходной не больше чем на 0,03. То есть получится число из промежутка [0,23;0,29]. Такое явление называется статистической устойчивостью. Схема Бернулли позволяет находить приближенное значение вероятности события, для тех случаев когда ее невозможно подсчитать напрямую. 2. Задачи для самостоятельного решения Для каждой задачи найти: n – количество всех испытаний, к – количество успехов, p - вероятность успеха, q - вероятность неудачи и требуемую вероятность в постановки задачи. а) Монету подбрасывают 30 раз. Какова вероятность того, что "орел" выпадет ровно 15 раз? б) 30 человек просят выбрать наугад время года. Успешным выбором считается лето, остальные времена будем считать не удачными. Какова вероятность того, что удачно выберут ровно 12 человек? в) Игральный кубик бросают 50 раз. Удачным считается выпадение единицы, двойки, четверки или шестерки. Какова вероятность, что удачно выпадет кубик ровно 25 раз? V. Заключительное слово учителя. Подведение итогов. 1) Какие ключевые слова урока можно выделить? Объясните их значение. 2) Какой ключевой факт сегодня изучен? 3) Что общего и в чем отличие статистики и вероятности? VI. Домашняя работа: повторить §50-54, № 54.3, 54.6, 54.10
Автор(ы): Деревянкина И. В.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docАвтор(ы): Деревянкина И. В.
Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку.ppt
