Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Предмет: математика
Класс: 11
Учебник: Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 2010г.
Уровень обучения: базовый.
Тема урока: Решение ключевых задач по теме «Геометрическая вероятность».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3ч.
Место урока в системе уроков по теме: третий урок в изучении темы. На первых уроках обучающиеся познакомились с классическим определением геометрической вероятности,
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Оборудование: Доска, проектор, компьютер, карточки, лист самооценки ученика.
Цель урока: формировать способность к обобщению знаний учащихся о методах решения вероятностных задач; способствовать дальнейшей отработке знаний и умений применять общие методы при решении задач.
Задачи урока:
образовательные:
1) содействовать дальнейшей отработке умения решать вероятностные задачи различной сложности, используя тот или иной общий метод решения;
2) дальнейшее формирование умения обобщать и делать выводы.
развивающие:
1) развитие логического мышления, умения анализировать учебный материал;
2) умение работать в группе и индивидуально, развитие умения преодолевать трудности при решении математических задач.
воспитательные: выработка привычки к постоянной занятости, воспитание отзывчивости, взаимопомощи, трудолюбия, аккуратности, силы воли.
В результате изучения темы ученик должен:
Знать/понимать
правила вычисления вероятности случайных событий, геометрической вероятности; применять их при решении практических задач;
универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности;
вероятностных характер различных процессов и закономерностей окружающего мира;
уметь:
самостоятельно ставить новые учебные задачи путем задавания вопросов о неизвестном;
структурировать информации в виде записи выводов и определений;
правильно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи.
Ход урока:
1. Сообщение целей урока и его плана.
2. Актуализация опорных знаний и умения, проверка дом. задания.
а) ответы на вопросы по домашней работе по теме (6-7 минут);
б) устная работа по вопросам теории, заданным также на дом:
Какие виды событий мы знаем?
Чему равна вероятность достоверного события?
С какими событиями вы работали, решая дом. задачи?
3. Систематизация знаний и умений с использованием заранее заготовленных заданий.
Сегодня мы с вами будем отрабатывать определение геометрической вероятности в ходе решения ключевых задач.
Ведь не всегда мы будем решать задачи, в которых будет известно, кто и сколько шаров и какого цвета и из какого ящика достаёт. Не всегда надо будет найти вероятность попадания в мишень, нам, например, надо будет найти вероятность попадания в определенную часть мишени. Классическое определение вероятности позволяет найти её по формуле: Р(А)= , где n – количество благоприятных исходов, n – количество общих исходов.
Это определение предполагает, что количество исходов испытаний конечно, т.е. может быть большое, но определенное число. Но не всегда мы можем при решении задач его получить.
Например, на отрезке ВС наудачу поставили точку А.
Вопрос №1: «Каково количество общих исходов? Сколько точек можно в принципе отметить на рисунке?» (даётся время учащимся, чтобы высказать свою точку зрения).
Ответ на него очень простой, но использовать его при решении задачи нельзя, потому что бесконечность – это сколько?
Решать такие и аналогичные задачи нам поможет понятие геометрической вероятности.
Само название говорит о многом. Геометрическая вероятность – что-то связанное с геометрией. Не просто связанное, а очень даже зависящее от неё, а также с некоторыми понятиями алгебры, такими как построение графиков. Рассмотрим задачи из предложенных на рабочих листах (см. приложение).
(Учащимся предлагается в группе обсудить ход решения второй и четвёртой из предложенных задач).
Задача 2. В прямоугольник 5*4 см2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?
Решение: По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т.е.
P=Sкруга/Sпрямоугольника=π⋅1,52/5⋅4=0,353.
Ответ: 0,353
Задача 4. В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного треугольника.
Решение: Искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади круга:
P=
Ответ:
( когда эти задачи решены экспресс-защита решения с выставлением акцентов на вопросы, вызвавшие затруднения, если такие были).
(Учитель) При оформлении задач следует обязательно указывать размерность (единицы, метры, квадратные единицы, квадратные метры и т.д.). Кстати, обратите внимание, что на финальном этапе вычислений геометрическая мера сокращается. В результате чего получилась привычная безразмерная вероятность.
(подробный разбор хода решения задачи №5 и оформление на доске)
Задача 5. Из отрезка [0, 2] на удачу выбраны два числа х и у. Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х2≤4у≤4х.
Решение: По условиям опыта координаты точки (х,у) удовлетворяют системе неравенств:
0≤х≤2
0≤у≤2.
Это значит, что точка (х,у) наудачу выбирается из множества точек квадрата со стороной 2. Интересующее нас событие происходит в том и только в том случае, когда выбранная точка (х,у) окажется под прямой и над параболой. Эта область получена как множество точек, ординаты которых удовлетворяют неравенствам х2≤4у≤4х. Следовательно, искомая вероятность равна отношению площади области к площади квадрата:
Р=
Ответ:
(подробный разбор хода решения задачи №6 и оформление решения самостоятельно с последующей взаимопроверкой).
Задача 6. Буратино посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером 20 см на 25 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил еще одну такую же кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются.
Решение:
Первая клякса, радиусом 1 см, закрашена красным цветом.
Контурами показаны возможные расположения второй кляксы - в случае касания первой и второй. Видим, что кляксы касаются тогда, когда вторая попадет в кольцо, образованное окружностью радиусом 3 см и окружностью радиусом 1 см. Кляксы не должны также пересекаться. Значит, вторая клякса не должна попасть в круг, радиусом 3. Найдем площадь круга.
S круга = п*32 = 9п см2.
Благоприятным считаем исход, когда кляксы не имеют общих точек.
В этом случае область для попадания - прямоугольник с вырезанным кругом. Найдем площадь этой фигуры S1.
S1 = 20*25 - 9п = 500-9п. Вероятность Р = S1 / S прямоугольника = (500-9*3,14) / 500 ≈ 0,94.
Ответ: 0,94
(разбор хода решения задачи №8 с выдвижением гипотез, оформление решения самостоятельно. В случаи затруднений рассмотреть подробный разбор у доски).
Задача 8. В квадрат с вершинами (0;0), (1;0), (1;1), (0;1) наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству у<.2х
Решение: изобразим на чертеже искомый квадрат и прямую у=.2х:
Общему множеству исходов соответствует площадь квадрата S=1*1=1.
Прямая у=.2х делит квадрат на треугольник и трапецию. Как определить фигуру, которая удовлетворяет условию у<.2х? Вспоминаем линейные неравенства: нужно взять любую точку, не принадлежащую прямой у=.2х, например, точку (1;0) и подставить её координаты в неравенство.
Получено верное неравенство, значит, множеству благоприятствующих исходов соответствует площадь трапеции. Рассчитаем данную площадь . Sтрап.=(1+0,5)/2*1=0,75.
По геометрическому определению: Р= Sтрап/Sпрямоуг.=0,75/1=0,75.
Ответ: 0,75
Задача 11. В треугольник со сторонами а=9, в=13, с=16 вписан круг. Точка М произвольно ставится в треугольник. Найти вероятность того, что точка попадёт в круг.
(Напоминаю, что вписанный круг лежит внутри треугольника и касается его сторон в 3 точках).
(разбор решения в группе и самостоятельное оформление)
Решение: поскольку точка ставится в треугольник, а круг лежит внутри, то общему числу исходов соответствует площадь треугольника, а множеству благоприятствующих исходов – площадь вписанного круга. Что тут сказать? Ищем площади. Если даны длины сторон треугольника, то его площадь удобно найти по формуле Герона. Площадь вписанного круга найдём по формуле S=. По геометрическому определению: Р(А)=Sкр/SΔ~0,51
Ответ: 0,51
Более простой пример для самостоятельного решения:
Задача 12. В круге радиуса 10 см находится прямоугольный треугольник с катетами 12 и 7 см. В круг наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник.
Следует отметить, что в этой задаче треугольник вовсе не обязан как-то касаться окружности, он просто расположен внутри круга и всё. Будьте внимательны!
Задача 13. Загадываются два числа х и у в промежутке от 0 до 5. Какова вероятность, что ху>2?
(подробный разбор и оформление у доски. Кто справится самостоятельно и раньше всех, дополнительная оценка).
Решение: т.к. загадываются 2 произвольных числа от нуля до пяти (они могут быть и иррациональными), то общему количеству исходов соответствует площадь квадрата S=5*5=25 ед.2
Изобразим ветвь гиперболы ху=2 т.е. у =, которая делит квадрат на две части:
Теперь выясним, какой из этих двух «кусков» удовлетворяет неравенству xy>2 . Для этого выберем любую точку, не принадлежащую гиперболе, проще всего взять (0;0), и подставим её координаты в наше неравенство. Получено неверное неравенство, а значит, условию xy>2 соответствует «верхний кусок», площадь которого вычислим с помощью определённого интеграла.
Уточним нижний предел интегрирования аналитически (найдём точку пересечения гиперболы ху = 2 и прямой у=5): 5х=2; х=0,4
S=
По геометрическому определению: Р(А)= = 0,72
Ответ: 0,72
4. Итог урока.
1.С каким определением вероятности мы сегодня работали?
2.Что используют при нахождении геометрической вероятности?
3.Что является количеством благоприятных или общих исходов?
4. Кто доволен своей работой?
5. Что на ваш взгляд мешало в работе?
5. Домашнее задание: решить задачи № 7, № 10 (см. приложение).
Автор(ы): Александрова Л. А.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект Решение ключевых задач.docxЛитература: Теория вероятностей и статистика / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко. – 2-е изд., переработанное. – М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2008. – 256 с.: ил. Теории вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel / Г. В. Горелова, И. А. Кацко. – Изд. 4-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2006. – 475 с.: ил. – (Высшее образование). Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Пер. с англ./Под ред. Ю. В. Линника. 3-е изд. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 88 с. Сборник задач по теории вероятностей: Учеб. Пособие для вузов./Зубков А. М., Севастьянов Б. А., Чистяков В.П. – 2-е изд., испр. И доп. – М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит. – 1989. – 320с. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учеб. Пособие для 9-11 кл. сред. шк./Лютикас В.С. – 3-е изд. перераб. – М.: Просвещение, 1990. – 160 с. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С. Алгебра и математический анализ для 11 кл. Учеб.пособие для учащихся шк. и кл. с углуб. изуч. математики – М.: Просвещение, 1998. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев, Т. А. Олейник, Т. В. Соколова. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: задачник для 10-11 классов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.
Автор(ы): Александрова Л. А.
Скачать: Алгебра 11кл - Литература.docxАвтор(ы): Александрова Л. А.
Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку.pptАвтор(ы):
Скачать: Алгебра 11кл - задания.docxАвтор(ы):
Скачать: Алгебра 11кл - Тест.docx
