Урок 6 Многочлены от одной переменной [Ицкина Н.М.]

Текст урока

• Конспект

   Название предмета            Алгебра и начала анализа.
  Класс                                   11.
  УМК                   А.Г. Мордкович и др. «Алгебра и начала анализа», 11 класс,  (профильный уровень), М. «Мнемозина», 2014г.
  
  Уровень обучения             Профильный
  Тема урока                         Многочлены от одной переменной (решение ключевых задач).
  Общее количество часов, отведенное на изучение данной темы                                       
  Место урока в системе уроков по теме  2.
  Цель урока              Обобщить и систематизировать теорию о многочленах от одной                            переменной.
  Задачи урока                
  Образовательные: 
  повторить деление многочлена на многочлен с остатком, теорему Безу и следствие, теорему о целом корне многочлена, схему Горнера; 
  научить применять ключевые задачи не только в знакомой, но в модифицированной и незнакомой ситуациях. 
  Развивающие 
  развить умения самостоятельного решения уравнений и задач, связанных с преобразованием многочленов; 
  содействовать развитию устойчивого интереса к математике с помощью математической строгости умозаключения; 
  ознакомить с логическими приемами мышления. 
  Воспитательные: 
  воспитать чувство ответственности, формировать навыки самооценки; 
  содействовать желанию расширить и углубить знания, полученные на уроке, 
  воздействовать на мотивацию к учению с помощью историко-математического материала; 
  содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся. 
  Планируемые результаты
  Обучающиеся должны уметь: находить корни многочленов с одной переменной, раскладывать многочлены на множители, уметь решать уравнения высших степеней, использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, используя для необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.
  Техническое обеспечение урока      проектор, компьютер, экран.
  Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока
  
  Содержание урока.
  1. Организационный момент: вступительное слово учителя, в котором подчеркивается значение материала изученной темы, сообщается цель и план урока (1 мин.)
  Тема “Многочлены”  актуальна, умение делить “углом” многочлен на многочлен, теорема Безу, следствие теоремы Безу, использование схемы Горнера при решении уравнений высших степеней позволит вам справиться с наиболее сложными заданиями ЕГЭ за курс средней школы. Не надо боятся ошибиться, совет учиться на ошибках другого бесполезен, научиться чему-либо можно только на собственных ошибках. Будьте активны, внимательны. 
  2.Актуализация опорных знаний (формы: устная беседа, систематизация и сравнение).
  Вопросы и задания для актуализации:
  а). Какое выражение называют многочленом n-ой степени,  с одной переменной?
  б). Какой многочлен называют многочленом нулевой степени?
  в). Из предложенных выражений выберите те, которые являются многочленами с одной переменной и укажите их степень (слайд 2).
  1. 13x4 –22x3 + 5x2 – 8;
  2. (x3 – 4x2 +17x)5;
  3. (2x – 3)/(7x3 – x + 1) ;
  4. -7x7;
  5. 232 – 352;
  6. (3x3 + 7x)(2x2 – 3);
  7. .
  8. 8. Найдите степень суммы многочленов:
  9.  х3+ 3х2 + 1 и х5 + х4 + 6х2 - 1.
  10. 9. Найдите степень произведения многочленов: 
  11. (х2 - 1)(х3 + 1)(х + 1) и (х - 1)(х + 1)2
  12. 
  13. 3. Работа на доске и в тетрадях.
  14. 1)  На обратной стороне  доски работают два ученика, не видя друг друга. Выполняют задания
  15. а) разделить “углом” многочлен (2х2-х-3) на многочлен (х-2);
  16. б) разделить “углом” многочлен (х3 – 3х2 + 5х - 15) на многочлен (х2 +5) .
  17. Затем представляют свой вариант решения с комментариями  этого решения. Проверка с экрана (слайд 5 и 6).
  18. Пока за доской работают два ученика, учащиеся знакомятся с биографией Этьена Безу и Уильяма Джорджа Горнера (слайд 3, 4) (одним из интереснейших фактов жизни Этьена Безу является то, что ему удалось расшифровать тайную переписку испанского короля, тем самым помочь французскому королю выиграть войну с Испанией).
  19. 2) Один ученик готовит у доски доказательство теоремы Безу. В это время фронтальная работа с классом ( слайд 7): 
  20. а)что называют корнем многочлена?
  21. б)какой основной метод нахождения корней многочлена?
  22. в) найдите остаток от деления многочлена f(x) = х5 - 4х4 + 5х3 - 2х2 + 7х -11 на (х – 1)
  23. г) является ли число 2 корнем многочлена f (x) = х4 - 2х3 + 8 х2 - х - 1?
  24. д) делится ли многочлен f (x) = х5 - 7х3 + х2 + 13х + 6 на (х + 1) нацело?
  25. Заслушиваем доказательство теоремы Безу и следствие из нее.
  26. 3) У доски учащийся демонстрирует применение схемы Горнера (все работают в тетрадях):
  27. разделить многочлен х5 – 2х4+3х3-7х2+2х-1 на (х-2).
  28. 
  29. 4. Разложение многочлена на множители.
  30. Вспомним приемы разложения многочлена на множители:
  31. 1) вынесение общего множителя за скобки;
  32. 2) способ группировки: х3-3х2+5х-15=х2(х-3)+5(х-3)=(х-3)(х2+5);
  33. 3) использование формул сокращенного умножения: 
  34. х6-1=(х3-1)(х3+1)=(х-1)(х2+х+1)(х+1)(х2-х+1);
  35. 4) ознакомление с новым умением.
  36.  Рассмотрим новый прием разложения на множители. Он основан на следствии из теоремы Безу. Отметим одну любопытную теорему, которая не раз позволит нам пользоваться указанным приемом разложения многочлена на множители.
  37. Теорема. Пусть все коэффициенты многочлена р(х) – целые числа. Если целое число a является корнем многочлена р(х), то а – делитель свободного члена многочлена р(х) (слайд 8).
  38. Разложить на множители многочлен р(х)= х3-3х2-10х+24 ( слайд  9).
  39. Попробуем найти целый корень многочлена. Если он есть, то по теореме будем его искать среди делителей свободного члена, т.е. 24. 
  40. Выпишем все делители : ±1, ±2, ±3,±4,±6, ±8, ±12,  ±24. Будем подставлять выписанные значения поочередно в многочлен р(х).
  41. р(1)=12≠0, р(-1)=30≠0, р(2)=0.
  42.  Итак 2 корень многочлена, а потому р(х)= р(2)q(х). Чтобы найти q(х), можно разделить р(х) на х-2 «уголком», а можно использовать схему Горнера.
  43. Первый вариант находит q(х) делением, второй вариант -  по схеме Горнера.
  44. Оба варианта получают один и тот же результат
  45. р(х)=(х-2)(х2-х-12)=(х-2)(х-4)(х+3).
  46. 5) сформулируем и запишем алгоритм разложения многочлена на множители (слайд 10).
  1. Выписать все делители свободного члена.Эти числа являются «претендентами» в рациональные корни многочлена.
  2. Подстановкой или по схеме Горнера проверяем, имеются ли среди «претендентов» корни многочлена. Если многочлен имеет целые корни, то они все содержатся среди «претендентов» и будут выявлены.
  3. Разделить многочлен на двучлен х-а.
  47. 
  48. 6)выполнение упражнений на освоение умения (по алгоритму). Работа на доске и в тетрадях.
  49. Разложить на множители многочлены ( у доски работают по 2 ученика)
  50. а) р(х)= х5-4х4+14х2-17х+6 (первый вариант – по схеме Горнера, второй – делением «уголком»)
  51. б) р(х)= х4-6х3+13х2-12х+4 ( любым способом)
  52. 7) упражнения на перенос в сходную ситуацию.
  53.  найти целые корни уравнения х3+5х2-3х-15=0 . На доске с комментариями. 
  54. 8) упражнение творческого характера.
  55. Пусть р(х) – многочлен третьей степени; р(1)=р(2)=р(3)=0. Доказать, что
  56.  а) р(4)≠0;    б) р(7)≠р(-3)
  57. 
  58. 5. Итог урока.
  59.  Какие затруднения испытывали при разложении многочлена на множители?
  60. Учитель комментирует ответы учащихся, выставляя отметки в журнал.
  61. 
  62. 6. Домашнее задание : №1.28; № 1.42(в, г); № 3.5 (в,г) , Алгебра и начала анализа ч.2. Задачник 11 класс. Авторы: А. Г. Мордкович, П. В. Семенов.
  63. 
   

   Read more ...

  Автор(ы): Ицкина Н. М.

  Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docx

Презентация к уроку

• Презентация к уроку

  Автор(ы): Ицкина Н. М.

  Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку.pptx