Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Предмет: Алгебра и начала анализа (профильный уровень)
УМК : 1. А.Г. Мордкович, П. В. Семенов “Алгебра и начала анализа 11 (профильный уровень)”, Москва “Мнемозина”, 2014.
2. А.Г. Мордкович и др. “Алгебра и начала анализа 11 класс (профильный уровень)”, задачник. Москва “Мнемозина” 2014.
Клаcc: 11
Учитель: Зенкина Л.А.
Тема урока: Решение уравнений высших степеней
(На данную тему отводится 4 часа. Это урок 2)
Цель урока: обеспечить условия для усвоения каждым учащимся знаний об уравнениях высших степеней, способах их решений; обобщить, углубить знания обучающихся по изучаемой теме, закрепить умение узнавать и применять изученные приемы решения уравнений высших степеней.
Задачи урока:
Образовательные задачи:
повторить теорию решения уравнений; выработать умение определять вид уравнения;
привести в систему знания учащихся по теме;
выбирать наиболее рациональные способы решения данного уравнения.
Развивающие задачи:
развивать умение слушать, анализировать, сравнивать, классифицировать уравнения по предложенным типам;
развивать логическое мышления, внимание и умение работать в проблемной ситуации;
развивать познавательную активность.
Воспитательные задачи:
Воспитывать интерес и любовь к предмету через содержание учебного материала, умение работать в коллективе, паре, взаимопомощи, культуры общения;
воспитывать в учащихся навыки самоорганизации, самооценки, самопроверки и взаимопроверки;
воспитывать настойчивость в достижении цели.
Тип урока: Урок решения ключевых задач.
Оборудование: проектор, компьютер, экран.
Презентация по теме «Решение уравнений высших степеней»
Форма организации учебной деятельности: Индивидуальная, фронтальная, групповая, самопроверка.
Ход урока
I. Организационный момент (постановка перед учащимися целей урока, сообщение плана урока)
II. Актуализация опорных знаний
1. Какие уравнения называются уравнениями высших степеней? Назовите виды таких уравнений. (Слайд 2)
2. Назовите общие методы решения уравнений высших степеней. (Слайд 3)
Аналитический.
Приёмы:
1) простейшие (приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, приведение дробей к общему знаменателю, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, решение квадратных уравнений по формуле, умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число).
2) разложение на множители (формулы сокращённого умножения, группировка, теорема Безу).
3) введение вспомогательной переменной (следует помнить об ОДЗ самого уравнения и ОДЗ новой переменной).
4) Нетрадиционные приёмы решения.
Функционально-графический;
Смешанный.
Какой из перечисленных методов вам наиболее близок и понятен?
3. А теперь я предлагаю вам составить схему методов решения уравнений высших степеней и провести классификацию уравнений по методам решений (обучающиеся работают с предложенными уравнениями на специальных листах). (Слайд 4)
1) х3 – 6х2 + 11х – 6 = 0; (разложение на множители)
2) 9х4 – 9х3 + 10х2 – 3х + 1 = 0; (введение новой переменной, возвратное уравнение)
3) х5 + 3х3 = 11 – х; (функционально-графический)
4) (х2 + 3х + 2)(х2 + 9х + 20) = 4; (введение новой переменной)
5) х3 – 5х2 +3х +1 = 0; (разложение на множители)
6) 2х4 – 5х3 + 5х – 2 = 0; (разложение на множители)
7) х7 + 3х + 2 = 0; (функционально-графический)
8) 4х3 – 10х2 + 14х – 5 = 0; (введение новой переменной)
9) х4 – 8х + 63 =0; (разложение на множители, функционально-графический, применение производной функции)
10) х6 + х2 – 8х + 6 = 0. (функционально-графический с использованием уравнения касательной)
5. К доске приглашается один ученик, который представляет свою схему и классификацию.
6. Учитель показывает свою схему (на слайде 5), проверяется умение обучающихся определять способы решения уравнений на первый взгляд.
Разложение многочлена на множители
Метод замены переменной
Функционально-графический метод
Способом группировки
Биквадратные уравнения
Теорема о монотонности функций
По формулам сокращенного умножения
Возвратные уравнения
Использование производной функции
По теореме Безу
Уравнения, в которых выделяются одинаковые многочлены.
Составление уравнения касательной
Схема Горнера
Введение неопределенных коэффициентов
Деление многочлена на многочлен
6. Выявление проблемы: какие методы решения уравнений высших степеней вызывают затруднения (существуют ли другие методы решения).
III. Решение уравнений 3 и 4 степени, т.е. решение уравнений вида
а0 х4+а1х3+а2х2+а3 х+а4=0
а0 х3+а1х2+а2х+а3 =0
Решение уравнений
№ 1.
х3-9х+х2–9=0
Способ решения данного уравнения - разложение на множители способом группировки.
(х3+х2)-(9х+9)=0
х2(х+1)-9(х+1)=0
(х+1)(х2-9)=0
(х+1)(х-3)(х+3)=0 Ответ: -3; -1; 3.
№ 2. х3-6х2+11х-6=0
Способ решения данного уравнения – разложение на множители с помощью теоремы Безу.
Один корень найдём подбором. Их следует искать среди делителей свободного члена данного многочлена ±1, ±2, ±3, ±6. Но т.к. сумма коэффициентов многочлена равна 0, то его корнем является 1.По теореме Безу (остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х-а)равен Р(а). Если а- корень многочлена Р(х), то многочлен делится на (х-а)без остатка). Разделим многочлен 3 степени на двучлен (х-1).
х3-6х2+11х-6=(х-1)(х2-5х+6)
(х-1)(х2-5х+6)=0
Ответ: 1, 2, 3.
№ 3. х4 +5х3+6х2+5х+1=0
(Возвратное или симметричное уравнение – это уравнение, в котором коэффициенты, равностоящие от концов равны.)
Способ решения данного уравнения – деление правой и левой частей уравнения на х2.
Вопрос - почему это можно сделать? Не происходит ли потеря корня?
х2+5х+6++ = 0
(х2 +)+5(х+) = 0
х+=у (ОДЗ для вспомогательной переменной?)
х2 +=(х+)2-2 = у2-2
у2-2+5у+6=0
у1=-4; у2=-1
х+=-4, х=-2
х +=-1, корней нет.
Ответ: -2 -; -2+.
№ 4. х5+6х4+11х3+11х2+6х+1=0
Возвратное уравнение нечётной степени имеет корень х=-1 (применим теорему Безу), после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения на двучлен (х+1) приводится к возвратному уравнению чётной степени. Решение можно заранее подготовить (показать через проектор) и в целях экономии времени не решать.
(х+1)(х4+5х3+6х2+5х+1)=0 (см. предыдущий пример)
№ 5. (х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40
Уравнение сводится к квадратному, если сумма чисел любых двух скобок равна сумме чисел двух других скобок.
(х2+6х+5)(х2+6х+8)=40
ух2+6х
(у+5)(у+8)=40
у2+13у=0
х2+6х=0 х2+6х=-13, корней нет, т.к. D<0
Ответ: -6, 0.
IV. Домашнее задание (Слайд 6)
2х3+8х-х2-4=0
2х3-12х2+22х-12=0
6х4-35х3+62х2-35х+6=0
(х+1)(х+2)(х+4)(х+3)=15
V. Подведение итогов урока (Слайд 7)
1. Оценка работы отдельных учащихся на уроке.
2. Рефлексия:
– Какой метод для вас оказался самым легким?
– Какой метод для вас оказался самым трудным?
– Какие приемы помогают вам в решении уравнений высших степеней?
– Как вы оцениваете работу класса? Как вы оцениваете собственную работу?
Автор(ы): Зенкина Л. А.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docxАвтор(ы): Зенкина Л. А.
Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку.pptx
