Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

Текст урока

• Урок 1 (Тарасова Н. Н.)

   Название предмета: Алгебра и начала анализа
  Класс: 10
  УМК: Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). Мордкович А.Г., Семенов П.В. 10 класс – ИОЦ «Мнемозина», 2011 г.
  Уровень обучения: базовый
   Тема урока: «Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин»
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 часа
  Место урока в системе уроков по теме: 1  урок в системе уроков по теме. 
  Цель: рассмотреть применение метода поиска наибольших и наименьших значений функции к решению разнообразных прикладных задач.
  Задачи урока:
  - образовательные: научить применять метод поиска наибольшего и   наименьшего значений функции к решению разнообразных прикладных задач; конструирование математических моделей по соответствующим реальным ситуациям;
  - развивающие: развитие умений самостоятельно работать, ясности выражений мысли, проведение самооценки учебной деятельности на уроке;
  - воспитательные: воспитывать умение участвовать в дискуссии, умение слушать и слышать. 
  Планируемые результаты: 
  - знать: алгоритм  решения  задач на оптимизацию;
  - уметь: научится решать задачи на оптимизацию.
  Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор.
  Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:  доска, презентация.
  
  Содержание урока.
  1. Организационный момент.
  Включает в себя приветствие учителем класса, проверку отсутствующих. Проверка готовности обучающихся к уроку Положительный настрой на урок.
  
  2. Мотивация учебной деятельности обучающихся. (слайд 2)
  «Особую важность имеют те   методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей  практической деятельности человека: как располагать  своими средствами для  достижения наибольшей выгоды»
  П.Л. Чебышев
  Учитель: Аппарат производной применяется не только для исследования функций, но и для решения большого круга практических задач.
  - Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда нужно найти самый оптимальный (самый выгодный) способ решения какой-либо задачи.
  - Технологи так пытаются организовать производство, чтобы выпускать как можно больше продукции, конструкторам так нужно разработать прибор для автомобиля, чтобы его масса была наименьшей, а сварщики так должны сварить из листа жести ёмкость для воды (или гараж, или др.), чтобы объём был наибольшим. Задачи такого рода носят общее название задач на оптимизацию. (слайд 3)
  Обучающиеся записывают тему занятия, формируют цель урока: научиться решать задачи на оптимизацию.  (слайд 4)
  
  3.  Актуализация опорных знаний и умений.
  - Сегодня на уроке мы это и выясним, но чтобы решить поставленную задачу, нам необходимо вспомнить:
  1. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. 
  2. Какие точки называются критическими?
  3.1.Определение критических точек и точек экстремума.   (слайд 5)
  Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не  существует, называются критическими точками этой функции.
  Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих  точках – экстремумами.
  Вопросы: 
  1) На промежутке (0;2)  , на промежутке . Является ли точка  х=2  точкой максимума ?  ( Нет). 
                   2) Функция y(x)  непрерывна в точке х=3, причем  на (2;3) и  на . Является ли точка х=3  точкой минимума? ( Да).
                   3) Является ли точка х=2 критической для функции y(x), если . (Нет).
                   4) Для  функции  производная равна . В точке х=0 производная не существует, значит, х=0 – критическая точка. Верно ли ? (Нет).
                    5) На отрезке  функция имеет максимумы, равные 2 и 5, причем y(a)=-3;
  y(b)=6. Верно ли, что наибольшее значение функции равно 6, а наименьшее значение -3 ? (Да).
  
  4 . Создание проблемной ситуации и  её решение.
  Учитель: Ребята, а хочу я  начать наш урок с фрагмента рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» о крестьянине Пахоме, покупавшем землю у башкирцев.
  — А цена какая будет? — говорит Пахом. — Цена у нас одна: 1000 р. за день. Не понял Пахом.
  — Какая же это мера — день? Сколько в ней десятин будет?
  — Мы этого, — говорит, — не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь в день, то и твое, а цена 1000 р.
  Удивился Пахом.
  — Да ведь это, — говорит, — в день обойти земли много будет. Засмеялся старшина.
  — Вся твоя, — говорит. — Только один уговор: если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги.
  — А как же, — говорит Пахом, — отметить, где я пройду?
  — А мы станем на место, где ты облюбуешь; мы стоять будем, а ты иди, делай круг, а с собой скребку возьми и, где надобно, замечай, на углах ямки рой, дернички клади; потом с ямки на ямку плугом пройдем. Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдешь, все твое.
  Фигура, которая получилась у Пахома, изображена на рисунке.
  Что это за фигура? (Прямоугольная трапеция.) 
  А периметр ее мы можем найти?
  (Р = 2+ 13 + 10+ 15 = 40 км.)
   Какова площадь этой трапеции?
  
  
  - Ребята, как вы думаете, наибольшую ли площадь получил Пахом (с учетом того, что участки обычно имеют форму четырехугольника)?  На этот вопрос  ответим чуть позже.
  
  5 . Изучение нового материала.
  Учитель: Сначала вспомним  общий метод решения алгебраических задач (его называют методом математического моделирования), с ним  вы  знакомы из курса алгебры.  Вспомним его.
  Задачи на оптимизацию решают по той же схеме из трех этапов математического моделирования: 1) составление математической модели; 2) работа с моделью; 3) ответ на вопрос задачи. 
  Прежде чем переходить к конкретным примерам решения задач на оптимизацию, дадим некоторые рекомендации методического плана. 
  Первый этап.      Составление математической модели.
  1) Проанализировав условия задачи, выделите оптимизируемую величину (О. В.), т. е. величину, о наибольшем или наименьшем значе­нии которой идет речь. Обозначьте ее буквой у (или S, V, R ,t -в зависи­мости от фабулы).
  2) Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно выразить О. В., примите за независимую перемен­ную (Н. П.) и обозначьте ее буквой х (или какой-либо иной буквой). Установите реальные границы изменения Н. П. (в соответствии с условиями задачи), т. е. область определения для искомой О. В.
  3) Исходя из условий задачи, выразите у через х. Математическая модель задачи представляет собой функцию у =f(x) с областью определения X, которую нашли на втором шаге.
  Второй этап.     Работа с составленной моделью.
  На этом этапе для функции у=f(x), хX найдите унаим. или у наиб, в зависи­мости от того, что требуется в условии задачи. 
  Третий этап.      Ответ на вопрос задачи.
  Здесь следует дать конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на ре­зультаты, полученные на этапе работы с моделью.
  
  6. Первичное закрепление материала.
  Учитель: Запишем в тетради следующую задачу.
  Задача 1. Периметр прямоугольника равен 60 см. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наиболь­шей?
  Решение. Пусть а и b — стороны прямоугольника, тогда P = 2(a + b) = 60, a + b = 30,   b = 30-a,  S = ab Вспоминаем вместе с учащимися алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции:
  1. Выбираем независимую переменную х и выражаем через нее сторо­ны прямоугольника: х — длина прямоугольника, 30-х — ширина прямо­угольника. Тогда 0 < х < 30.
  2. Записываем функцию: S(x) = х (30 - х ) = ЗОх - хІ .
  3. Находим производную: S'(x) = 30 - 2х.
  4. Находим критические точки: 30 - 2х = 0, х = 15.
  Значит, длина прямоугольника равна 15 см, а ширина равна 30 - 15 = 15 см. Какая это фигура? (Квадрат).
  Ответ: квадрат со стороной 15 см.
  Учитель: А теперь вернемся к задаче, с которой мы начали урок. Значит, ка­кую фигуру Пахом должен был обойти? (Квадрат).
  Р - 40 км, а = 10 км, S = 10 • 10 = 100 км2. 
  
  7.  Формирование умений и навыков (решают самостоятельно и проверяем). (слайд 6 - 7)
  Задача: «Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей».
  Решение:
  1) Пусть первое число = х, тогда второе число равно 24-х. По условию задачи сумма квадратов этих  чисел должна быть наименьшей, составим функцию.
  f(x)= x2 + (24-x)2
  f(x)= 2x2 – 48x + 576,
  По условию задачи   
  2) Рассмотрим функцию    Она на интервале  (0;24) непрерывна и дифференцируема.
  3) Найдем критические точки.
  
  
  
  4) Т.к. в точке х=12 производная функции меняет знак с «- » на «+», то  в этой точке функция достигает минимума.
  Ответ. 24=12+12.
  Учитель:  Хорошо. Теперь сформулируем алгоритм решения задач на  оптимизацию: ( слайд 8)
  - Выбирают удобный параметр Х, через который интересующую нас величину выражаем как функцию f (x).
  - Средствами анализа, по алгоритму нахождения наибольшего и наименьшего значения этой функции на некотором промежутке, ищется наибольшее или наименьшее значения этой функции на заданном промежутке. 
  - Выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат. 
  
  8.  Итог урока (слайд 9, 10)
  - Удалось ли нам достичь поставленных целей урока?
  - Что нового вы узнали на уроке?
  - Какие затруднения у вас были в работе?
  
  9.  Домашняя работа: п.32, № 32.21; 32.25.
  
   

   Read more ...

  Автор(ы): Тарасова Н. Н.

  Скачать: Алгебра 10кл - Урок 1 (Тарасова Н. Н.).docx

• урок 2 (Тарасова Н. Н.)

   Название предмета: Алгебра и начала анализа
  Класс: 10
  УМК: Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). Мордкович А.Г., Семенов П.В. 10 класс – ИОЦ «Мнемозина», 2011 г.
  Уровень обучения: базовый
   Тема урока: «Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин»
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 часа
  Место урока в системе уроков по теме: 2  урок в системе уроков по теме. 
  Цель: формирование у учащихся навыков использования алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке  для  решения  задач на оптимизацию.
  Задачи урока:
  - обучающая: продолжить подготовку учащихся к ЕГЭ по математике;
  - развивающая: развитие умений самостоятельно работать, ясности выражений мысли, проведение самооценки учебной деятельности на уроке;
  - воспитательная: воспитывать умение участвовать в дискуссии, умение слушать и слышать. 
  Планируемые результаты:
  знать: алгоритм нахождения  наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке; алгоритм  решения  задач на оптимизацию;
  уметь: решать задания на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке; решать задачи на оптимизацию.
  Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор.
  Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:  доска, карточки  с заданиями из банка ЕГЭ, презентация.
                                                      
  Содержание урока.
  1 .Организационный момент.
  2. Актуализация знаний и умений, полученных учащимися на предыдущих уроках.  
  1 задание:
  Какой угол (острый или тупой) образует с положительным направлением оси Ох касательная к графику функции:
  -  в точках   1, 2, -1;
  -  в точках   0, 4,  -3.
  2 задание: (задания ЕГЭ, решают самостоятельно, проверяем устно ответы и решения) (слайд 2)
  Для функции f(х)=х2+432/х найти минимум на промежутке (0;+∞);
  3 задание: 
  Для функции f(х)=х найти максимум на промежутке (0;60). 
  
  3.  Повторение теоретического материала.
  1. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке: (слайд 3)
  1.	Найти область определения функции и определить, принадлежит ли заданный отрезок области определения.
  2.	Найти производную заданной функции f`(x). 
  3.	Найти стационарные точки: f`(x) = 0;
  4.	Выяснить, какие из стационарных точек принадлежат данному отрезку [a; b].
  5.	Найти значения функции в тех стационарных точках, которые входят в отрезок, а также f (a) и f (b).
  6.        Выбрать из полученных значений функции наибольшее и наименьшее:
  У наиб = 				У наим.= 
                  [a; b]				   [a; b]
  2. Алгоритм оптимизации функции: (слайд 4)
  1. Выбирают удобный параметр Х, через который интересующую нас величину выражаем как функцию f (x). 
  2. Средствами анализа, по алгоритму нахождения наибольшего и наименьшего значения этой функции на некотором промежутке, ищется наибольшее или наименьшее значения этой функции на заданном промежутке. 
  3. Выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.
  
  4.   Закрепление.
  Решение задач.  (подробно разбираем, один ученик решает у доски, остальные на местах работают – разбирают задачу, отвечают на вопросы.)
  1. Дан бак без крышки в виде прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат и объем равен 108 см3. При каких размерах бака на его изготовление пойдет наименьшее количество материала?
  Решение:
  Обозначим сторону основания через х см, тогда высота параллелепипеда будет108/х2.
  Пусть S(х) площадь поверхности, тогда S(х) =х2+4*108/х2*х=х2+432/х;
  S/(х)=2х-432/х2;
  S/(х)=0;
  2х-432/х2=0;
  2х3=432; х3=216; х=6;
  По условию задачи х (0;)
  Найдем знак производной на промежутке (0;6) и на промежутке (6;+∞). Производная меняет знак с - на +. Отсюда х=6 точка минимума, следовательно, S(6)=108 см2 наименьшее значение. Значит, сторона основания равна 6 см, высота 12см.
  Самостоятельный разбор по схеме и оформление задачи (обучающиеся работают парами).
  2. Участок, площадью 2400м2, надо разбить на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина изгороди была наименьшей. Найти размеры участков.
  Решение: 
  Обозначим одну сторону участка через х м, тогда вторая будет 2400/х м, длина изгороди Р(х)=3х+4800/х; 
  Р/(х)= 3-4800/х2; 
  Р/(х)=0;3х2=4800;х2=1600; х=40. Берем только положительное значение по условию задачи.
  По условию задачи х (0; )
  Найдем знак производной на промежутке (0;40) и на промежутке (40; +∞). Производная меняет знак с - на +. Отсюда х=40 точка минимума, следовательно, Р(40)=240м наименьшее значение, значит, одна сторона 40м, вторая 2400/х=60м.
  
  5. Самостоятельная  работа по заданиям открытого банка ЕГЭ. 
  (проверка по слайду 13)
  Для функции f(х)=х2+(16-х)2 найти наименьшее значение на отрезке[8;16]
  Решение:
  f/(х) = 2х-2(16-х) =4х-32;   f/(х)=0; 4х-32=0; х=8; 
  f(0)=256; f(16)=256; f(8)=128-min;
  
  6. Подведение итогов урока. 
  Учитель и учащиеся подводят итоги проделанной работы. Вскрывается характер допущенных ошибок.
  
  7. Домашнее задание: п.32. № 32.26; 32.32.
   

   Read more ...

  Автор(ы): Тарасова Н. Н.

  Скачать: Алгебра 10кл - урок 2 (Тарасова Н. Н.).docx

• Урок 3 (Тарасова Н. Н.)

   Название предмета: Алгебра и начала анализа
  Класс: 10
  УМК: Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). Мордкович А.Г., Семенов П.В. 10 класс – ИОЦ «Мнемозина», 2011 г.
  Уровень обучения: базовый
   Тема урока: «Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин»
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 часа
  Место урока в системе уроков по теме: 1  урок в системе уроков по теме. 
  Цель: совершенствовать навыки и умения учащихся применения производной функции для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке,  при решении задач на оптимизацию повышенного уровня сложности.
  Задачи урока:
  - образовательные: систематизировать знания учащихся по изученной теме; продолжить работу по подготовке к ЕГЭ; 
  - развивающие: развивать у учащихся навыки самостоятельного выполнения заданий и решения примеров, а также навыки взаимооценивания работы учащихся класса и осмысления собственного участия в процессе учебной деятельности на уроке; 
  - воспитательные: воспитывать у учащихся сознательное отношение к данному виду работы.
  Планируемые результаты:
  - знать: алгоритм нахождения  наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке; алгоритм  решения  задач на оптимизацию;
  - уметь: решать задания на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке; решать задачи на оптимизацию.
  Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор.
  Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:  доска, карточки  для устной работы  и карточки   для самостоятельной работы по заданиям банка ЕГЭ, презентация.
  
  Содержание урока.
  1. Организационный момент
  2.  Актуализация знаний. Устная работа. (Работа с раздаточным материалом  у каждого уч-ся на столе лежит лист с заданиями из банка ЕГЭ)
  ЕГЭ заданиеВ7
  На рисунке изображен график функции  у=f (x)
  
  № 1.Определите количество точек, в которых производная равна нулю.
  № 2. Определите количество промежутков, в которых производная отрицательна.
  № 3.Определите количество промежутков, в которых производная положительна.
  № 4. Определите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой   у = 18.
  
   На рисунке изображен график производной функции f(х)
  
  № 5.Нацдите количество точек экстремума функции.
  № 6.В какой точке отрезка [0;4] функция принимает наименьшее значение.
  № 7.В какой точке отрезка [-4;-2] функция принимает наибольшее значение.
  № 8. Найдите количество точек максимума функции.
  № 9. Найдите количество точек минимума функции.
  № 10.Найдите промежутки убывания функции. В ответе укажите сумму целых точек, входящих  в эти промежутки.
  № 11.Найдите промежутки возрастания функции. В ответе укажите длину наибольшего из них.
  № 12.Найдите количество точек, в которых  касательная к графику функции параллельна  прямой у = 2х-11.
  № 13. На рисунке изображен график функции у=f(х) и касательная к нему в точке с абсциссой х0.   Найдите значение производной функции f(х) в точке х0.
  
  № 14. На рисунке изображен график функции у = f(х). Касательная к этому графику, проведенная в точке  - 4, проходит через начало координат. Найдите f/(- 4).
  
  3. Повторение теоретического материала.
  На ЕГЭ по математике, встречаются задания на нахождение наилучших, оптимальных решений при наименьших затратах. ( профильный уровень, 2 часть , № 19)
  	
  Вспомним алгоритм по созданию математической модели
  1. Выбирают удобный параметр Х, через который интересующую нас величину выражаем как функцию f (x).
  2. Средствами анализа, по алгоритму нахождения наибольшего и наименьшего значения этой функции на некотором промежутке, ищется наибольшее или наименьшее значения этой функции на заданном промежутке. 
  3. Выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.
  
  4. Практическое выполнение заданий
  Учитель: Но прежде, чем приступить к решению задачи , мне хочется дать Вам следующее напутствие из высказываний великих людей «Гений состоит из 1% вдохновения и 99% потения» Эдисон. А  Великий математик Д.... Пойя говорил:   «Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на лыжах, или игре на фортепьяно: научиться этому можно, лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь…» (слайд 2).
  - Поэтому, я предлагаю вам рассмотреть  образец решения задачи ЕГЭ №19.
  Задача. (текст у каждого на столе. один ученик решает у доски, остальные на местах работают – совместно с учителем разбирают задач, отвечают на вопросы.)
  В двух об­ла­стях есть по 100 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по 10 часов в сутки на до­бы­че алю­ми­ния или ни­ке­ля. В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,3 кг алю­ми­ния или 0,1 кг ни­ке­ля. Во вто­рой об­ла­сти для до­бы­чи x кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся x2 че­ло­ве­ко-часов труда, а для до­бы­чи у кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся y2 че­ло­ве­ко-часов труда.
  Обе об­ла­сти по­став­ля­ют до­бы­тый ме­талл на завод, где для нужд про­мыш­лен­но­сти про­из­во­дит­ся сплав алю­ми­ния и ни­ке­ля, в ко­то­ром на 1 кг алю­ми­ния при­хо­дит­ся 1 кг ни­ке­ля. При этом об­ла­сти до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой вести до­бы­чу ме­тал­лов так, чтобы завод мог про­из­ве­сти наи­боль­шее ко­ли­че­ство спла­ва. Сколь­ко ки­ло­грам­мов спла­ва при таких усло­ви­ях еже­днев­но смо­жет про­из­ве­сти завод?
  Ре­ше­ние.
  Пусть в пер­вой об­ла­сти х ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния, а 100 − х ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че ни­ке­ля, и пусть во вто­рой об­ла­сти y ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния, а 100 − y ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че ни­ке­ля. Вне­сем дан­ные из усло­вия в таб­ли­цу. 
  
  Алю­ми­ний
  Ни­кель
  
  Ко­ли­че­ство
  че­ло­век
  Масса за
  смену
  Ко­ли­че­ство
  че­ло­век
  Масса за смену
  Пер­вая об­ласть
  
  
  
  
  Вто­рая об­ласть
  
  
  
  
  Всего
  
  
  
  
  Для про­из­вод­ства спла­ва масса до­бы­то­го алю­ми­ния долж­на быть равна массе до­бы­то­го ни­ке­ля: 
  
  Пусть s кг — масса спла­ва, она равна сумме масс алю­ми­ния и ни­ке­ля:  Будем ис­кать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого вы­ра­же­ния, под­ста­вив в него (*): 
  
  
   
  Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние  при на­ту­раль­ных y не боль­ших 100. Имеем:
   
   
  Най­дем нули про­из­вод­ной: 
   
  В най­ден­ной точке про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с плюса на минус, по­это­му в ней функ­ция до­сти­га­ет мак­си­му­ма, сов­па­да­ю­ще­го с наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на ис­сле­ду­е­мой об­ла­сти.
  Далее имеем:   кг, из (*) на­хо­дим  чел. Это озна­ча­ет, что 30 ра­бо­чиx пер­вой об­ла­сти и 10 из вто­рой долж­ны быть за­ня­ты на про­из­вод­стве алю­ми­ния, за сутки они до­бу­дут 90 + 10 = 100 кг алю­ми­ния, остав­ши­е­ся 70 ра­бо­чих пер­вой об­ла­сти и 90 ра­бо­чих вто­рой об­ла­сти долж­ны быть за­ня­ты на до­бы­че ни­ке­ля, за сутки они до­бу­дут 70 + 30 = 100 кг ни­ке­ля. Из до­бы­тых ме­тал­лов будет про­из­ве­де­но 200 кг спла­ва.
  Ответ: 200 кг.
  Самостоятельный разбор задачи (обучающиеся работают парами, учитель помогает)   (проверка по слайду 3 - 4)
  Задача.
  Вла­ди­мир яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в ра­зных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те, если ра­бочие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, трудят­ся сум­мар­но t 2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 2t еди­ниц то­ва­ра; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t 2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 5t еди­ниц то­ва­ра.
  За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Вла­ди­мир пла­тит ра­бо­че­му 500 руб­лей. Вла­ди­ми­ру нужно каж­дую не­де­лю про­из­во­дить 580 еди­ниц то­ва­ра. Какую наи­мень­шую сумму при­дет­ся тра­тить еже­не­дель­но на опла­ту труда ра­бо­чих?
  Ре­ше­ние.
  До­пу­стим, что на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, ра­бо­чие тру­дят­ся x2 часов, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, y2 часов. Тогда в не­де­лю будет про­из­ве­де­но 2x + 5y еди­ниц то­ва­ра, а за­тра­ты на опла­ту труда со­ста­вят 500(x2 + y2) руб­лей. В этом слу­чае нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние 500(x2 + y2) при усло­вии 2x + 5y =580. Вы­ра­зим y через x:
   
  Таким об­ра­зом, нам нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции 
  
   при 0 ≤ x ≤ 290. 
  После пре­об­ра­зо­ва­ния по­лу­ча­ем: 
   Наи­мень­шее зна­че­ние квад­рат­но­го трёхчле­на  до­сти­га­ет­ся при причём  При этом зна­че­нии по­лу­ча­ем: 
  Ответ: 5 800 000.
  
  5. Подведение итогов урока
  1. Учитель и учащиеся подводят итоги проделанной работы. Вскрывается характер допущенных ошибок.
  2. Отвечают на вопросы:
  - Можем ли мы решать задачи второй части?
  - Что нужно, чтобы справится с заданиями второй части на ЕГЭ?
  
  6. Домашнее задание: № 32.28 
  Вариант ЕГЭ (часть С – для более сильных учащихся обязательна, для остальных по желанию).                 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   

   Read more ...

  Автор(ы): Тарасова Н. Н.

  Скачать: Алгебра 10кл - Урок 3 (Тарасова Н. Н.).docx

• урок 1 (Карпунина Л. Б.)

   В разработке представлен урок по теме: « Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке» по учебнику А. Г.Мордковича, П.В.Семенова “Алгебра и начала анализа. 10 класс”.
  Урок проводится с целью изучения и первичного закрепления материала по теме “ Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке”, как одной из основных тем по исследованию функций. Это первый урок из трёх по теме “Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин” и рассчитан на 1 час учебного времени. По ходу урока акцент делается на изучение и отработку как общих методов решения задач (по известному алгоритму), так и перевод задачи на другой язык (использование свойств функций).
  Тип урока: урок изучения нового материала с использованием ИКТ.
  Учебно-методическое обеспечение: учебник, задачник “Алгебра и начала анализа.  10 класс” А.Г.Мордкович
  Оборудование и материалы для урока: компьютерный класс, проектор, интерактивная доска, презентация для сопровождения урока, карточки-бланки для ответов учащихся, карточки-инструкторы для проведения работы.
  Цель: познакомить учащихся с приемами нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке.
  Задачи.
  Образовательная - повторить необходимые и достаточные условия существования точек экстремума, понятия: стационарная и критическая точка; вывести алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, формировать умения решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функции.
  Развивающая – развивать познавательный интерес обучающихся, умение исследовать, выделять главное, сравнивать, анализировать, делать выводы.
  Воспитательная – воспитывать умения работать в сотрудничестве в парах и группе, оценивать работу товарища.
  Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/ закрепят/ др. ученики в ходе урока:
  - овладение практическими умениями и навыками по теме “Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке”
  - умение устанавливать причинно-следственные связи, выделять главное, обобщать, систематизировать;
  - формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом;
  - формирование навыков самоконтроля.
  Структура урока.
  1. Оргмомент.
  2. Актуализация знаний
  3. Мотивационно-целевой этап.
  4. Изучение нового материала. Первичное осмысление.
  5. Закрепление изученного материала.
  6. Рефлексия. Определение домашнего задания
  Ход урока
  1. Оргмомент.
  Организация групп (до урока). Приветствие. Эпиграф к уроку (слайд 1).
  2. Актуализация знаний.
  Устная работа (слайды 2-4). Повторение материала, изученного на предыдущих уроках. Фронтальная работа. Учитель обращает внимание обучающихся на существенное различие понятий максимума (минимума) функций и наибольшего (наименьшего) значений.
  3. Мотивация.
  Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач на нахождение наилучших, оптимальных решений при наименьших затратах труда, так называемые задачи на оптимизацию.
  С некоторыми из таких задач мы познакомимся на следующих уроках. Чтоб успешно решать такие задачи необходимо уметь находить наибольшее и наименьшее значения заданных функций на заданном промежутке.
  Постановка обучающимися темы и целей урока (слайд 6-7).
  4. Изучение нового материала. Первичное осмысление.
  Ребятам предлагается три графика функции для самостоятельного определения точек наибольшего и наименьшего значений. Проанализировать расположение данных точек на графике и сделать вывод (слайд 8). Работа выполняется по группам. Если возникают затруднения, то можно воспользоваться карточкой-инструкцией. (Приложение 1)
  Затем спикер одной из групп высказывает мнение своей группы, а остальные сравнивают его со своим мнением, дополняют или уточняют, возможно, опровергают. В итоге обучающиеся делают вывод (слайд 9).
  Постановка проблемы.
  Учитель задает вопрос: “Как, не изображая графика функции, определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?”
  Задание 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х3 - 3х2 - 45х + 1 на [-4; 6] без построения графика. (Слайд 10). Ребята предлагают решение. Учитель корректирует работу, задавая наводящие вопросы. Решение оформляется на доске в интерактивном режиме учителем.
  Ответ: у наим = у (5) = -174; у наиб = у(-3) = 82.
  Задание 2. (Слайд 11) Выполнить задание, рассуждая аналогично. Задание на репродуктивном уровне выполняется самостоятельно.
  Ответ: у наим = у (-1) = -13; у наиб = у(1) = 3
  Задание 3. Проанализировать решения предыдущих примеров и сформулировать алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке. Обучающиеся вновь по группам обсуждают данный вопрос, затем, обменявшись мнениями с другими группами, приходят к общему выводу.
  Решение проблемы.
  Ребята формулируют алгоритм. Проверяется алгоритм по учебнику стр.371 (слайд 12). (Ситуация успеха).
  Учитель дополняет. Если речь идет о нахождении наибольшего или наименьшего значений функции, непрерывной на незамкнутом промежутке, то удобно использовать следующую теорему (слайд 13). Данная теорема в курсе 10 класса не доказывается. Ребята записывают теорему в тетрадь.
  5. Закрепление “добытых” знаний.
  При подготовке к уроку учитель делает закладку необходимой для занятия Web-страницы. Интернет-сайт “ЕГЭ по математике: подготовка к тестированию” http://www.uztest.ru. включает “Тренажер”, позволяющий проходить on-line тест по теме “Наибольшее, наименьшее значение функции” на конструктивном уровне. Ребятам предлагается выполнить тест из 5 заданий. Верные ответы заносятся в таблицу (Приложение 1). 
  
  6. Итог. Рефлексия деятельности на уроке. Домашнее задание.
  Учитель беседует с ребятами, говоря о новых знаниях полученных на уроке, о достигнутых целях, интересуется их ощущениями от происходящего и предлагает заполнить карточки рефлексии. (Приложение 1)
  Домашнее задание. §46.п.1. Каждый ученик получает индивидуальное разноуровневое задание на сайте http://www.uztest.ru. Для входа на личную страницу учитель сообщает логин и пароль для каждого ученика. Оценки выставляются в электронный журнал.
  Учитель благодарит обучающихся за хорошую работу на уроке (слайд 15).
  Литература:
  1. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, учебник “Алгебра и начала анализа 10 класс” - М: Мнемозина, 2006.
  2. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, задачник “Алгебра и начала анализа 10 класс” - М: Мнемозина, 2006.
  
   

   Read more ...

  Автор(ы): Карпунина Л. Б.

  Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Карпунина Л. Б.).doc

• урок 2 (Карпунина Л. Б.)

   
  Название предмета «Алгебра и начала анализа»
  Класс 10
  УМК (Алгебра и начала анализа А.Г.Мордкович, "Мнемозина", 2011г)
  Уровень обучения (базовый)
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы-3ч
  Тема урока: Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин.(1ч)
  Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку
   математических понятий, впоследствии 
  раскрывается тем умением,
   с которым эти понятия используются.
  Е. Вагнер
  Цели урока:
  1. Применение математического моделирования как способа активизации аналитического мышления.
  2. Формирование у учащихся навыков использования схемы для решения задач оптимизации.
  3. Развитие навыков самостоятельной работы.
  4. Развитие логического мышления, монологической речи.
  5. Воспитание ответственного отношения к учебному труду.
  6. Воспитание внимания, аккуратности.
  Тип урока: урок изучения нового материала.
  Оборудование: учебник “Алгебра и начала анализа 10-11” (автор: Мордкович А. Г.), задачник “Алгебра и начала анализа 10-11” (авторы: Мордкович А. Г., Денищева Л. О. и др.), “Алгебра и начала анализа 10. Самостоятельные работы” (автор: Александрова Л. А.), памятки с методическими рекомендациями по решению задач, компьютер, мультимедийный проектор, экран, магниты.
  Данный урок является первым из трех предусмотренных программой уроков по данной теме. Учащиеся к этому времени уже знакомы с математическим моделированием решения известных им типов задач. Прежде чем приступить к изучению данной темы, учитель должен быть уверен, что учащиеся владеют знаниями и навыками применения алгоритма на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке или интервале. Поэтому на уроке основной упор делается на составление модели задачи и не столь подробно рассматривается вспомогательный материал. В ходе урока предполагается, что каждый учащийся достигнет определенного уровня понимания материала, поэтому этап усвоения знаний разработан дифференцированно. Ожидаемый результат по окончании изучения материала:
  1-й уровень: каждый ученик должен знать схему математического моделирования и уметь применять ее для решения типовых задач;
  2-й уровень: каждый ученик должен знать схему математического моделирования и уметь применять ее для решения типовых задач в нестандартной ситуации;
  3-й уровень: каждый ученик должен знать схему математического моделирования и уметь применять ее для решения нестандартных задач.
  На первом уроке в основном рассматриваются более привычные для учащихся задачи с математическим содержанием. В дальнейшем предполагается решение задач с практическим содержанием (одна из них разбирается уже на первом уроке). Для этого могут использоваться как задачи из пособия (в УМК содержится достаточное количество разноуровневых задач), так и дополнительные источники. Для организации проверочной работы используются дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса автора Александровой Л.А.
  Ход урока
  I этап. Организационный момент (1 мин.).
  II этап. Актуализация опорных знаний и умений (4 мин.).
  Учитель: Для того, чтобы успешно перейти к усвоению нового материала, нам необходимо повторить пройденное. На протяжении изучения темы “Производная” вы постепенно готовили разделы электронного справочника “Производная и ее применение”. (Класс разбит на группы и каждая по мере изучения готовит свой раздел справочника). Сегодня мы увидим следующую страницу, в которой рассказывается о классификации критических и экстремальных точек и алгоритме нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке и интервале.
  Далее следует выступление учащихся, сопровождающееся показом презентации. Показ презентации можно заменить демонстрацией плакатов.
  III этап. Объяснение нового материала (10 мин).
  Учитель: Изучение нового материала мы начнем сегодня с рассказа Л.Н. Толстого “Много ли человеку земли надо”. В нем говорится о крестьянине Пахоме, мечтавшем о собственной земле. Когда он, наконец, собрал желаемую сумму и предстал перед барином, тот ответил ему: “Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за тысячу рублей. Но если к заходу солнца не вернешься на место, с которого вышел, пропали твои деньги. Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник”.
  < Рисунок 1>
  Давайте попытаемся выяснить, сумел ли достичь Пахом желаемого результата. Для этого нам придется узнать, какое расстояние пробежал крестьянин и какую площадь имеет полученный участок.
  Учащиеся объясняют, что фигура, которую они видят на рисунке, является прямоугольной трапецией. Дают геометрическое определение данной фигуры и называют формулы для вычисления ее периметра и площади. (В учебнике геометрии ее определение дается так: трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами. Трапеция называется прямоугольной, если она содержит прямой угол. Формулу для расчета площади трапеции можно получить несколькими способами, в зависимости от того на какие фигуры разбивается трапеция. Все решения приводят к одному результату: площадь трапеции равна произведению половины суммы ее оснований на высоту). После чего они самостоятельно находят эти величины и получают результат Р=40км, S=78км2.
  Учитель: Рассмотрим следующую задачу. Периметр прямоугольника равен 40см. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?
  < Рисунок 2>
  Решение: 2(a+b)=40, a+b=20, S =a·b, b=20-a.
  1. Выбираем независимую переменную х и выражаем через неё стороны прямоугольника. х см – длина прямоугольника, (20-х) см – ширина прямоугольника. Тогда 0< х  <20;
  2. записываем функцию S(x) =x·(20-x) =20x – x2;
  3. находим производную S' (x) = 20-2x;
  4. решаем уравнение 20-2х=0. х=10.
  Значит, длина и ширина равны 10 см. Какая это получается фигура? (Квадрат).
  S (10) = 10 (20-10) =10·10 =100 см2.
  Ответ: 10 см.
  Учитель: А теперь вернёмся к задаче о земле, с которой мы начали урок. Какую же фигуру Пахом должен был захватить? (Квадрат).
  П.Л. Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”. С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д. Задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum – “наилучший”). В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причём надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает своё наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных условиях) значение. Решением таких задач занимается особая ветвь математики. Ее название мы попытаемся выяснить в процессе решения задач
  Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме (схема высвечивается на экране):
  составление математической модели;
  работа с моделью;
  ответ на вопрос задачи.
  Цель нашего урока состоит в том, чтобы научиться решать задачи на оптимизацию, используя математические модели.
  Рекомендации по решению задач у вас лежат на столах (см. Материалы к уроку для организации самостоятельной работы учащихся).
  IV этап. Усвоение новых знаний (22 мин.).
  Так как составление математической модели задачи вызывает трудность у большинства учащихся, то следующую задачу предлагается решить вместе. Учащийся по желанию выходит к доске для оформления решения задачи (дается задача более высокого уровня, чем предыдущая - пример 4, п.2, §36).
  Задача 2. Прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна произведению её ширины на квадрат высоты. Какое сечение должна иметь балка, вытесанная из цилиндрического бревна радиуса R, чтобы её прочность была наибольшей?
  Решение:
  Первый этап. Составление математической модели
  1. Обозначим буквой у О.В. – прочность балки;
  2. х – ширина балки (Н.П.), 0 < x < 2R;
  3. h2=4R2-x2 – высота балки (выражается по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника);
  4. прочность балки у = kxh2 (где коэффициент k – некоторое положительное число) значит, у = kx(4R2 – x2), где х  [0; 2R].
  Второй этап. Работа с составленной моделью.
  Находим у наиб. Для этого воспользуемся алгоритмом нахождения наибольшего значения функции на отрезке, повторенным в начале урока.
  
  После того как данная задача решена, класс приступает к решению задач в группах. Учащиеся рассаживаются по группам в зависимости от восприятия материала: 1) те, кому будет нужна помощь в составлении модели задачи; 2) те, кто попытается справиться самостоятельно с не очень сложными задачами; 3) те, у кого решение задач не вызывает затруднений. В соответствии с этим учащиеся получают дифференцированные задания.
  1 группа. Задачи № 949(а). Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. (Ответ:12,12).
  № 951(а). Известно, что одно из двух чисел на 36 больше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. (Ответ: -18; 18).
  № 953(а). Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь? (Ответ: 14; 14).
  2 группа. Задачи № 950 (а). Разность двух чисел равна 10. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. (Ответ: -5; 5).
  № 952 (а). Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей. (Ответ: 2; 1).
  № 954(а). Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? (Ответ: 50; 50).
  3 группа. Задачи № 954(а). Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? (Ответ: 50; 50).
  № 955(а). Площадь прямоугольника составляет 16 см2. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим? (Ответ: 4; 4).
  № 972. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей? (Ответ: 30).
  Необходимо проверить решение задач, поэтому от каждой группы выступает учащийся, демонстрируя решение одной из задач на доске.
  На доске имеется схема (Рис.4) содержащая название раздела математики, занимающегося решением задач оптимизации. В кружочках уже стоят нужные буквы, а остальные фигуры должны заполнить учащиеся по окончании решения и проверки задач. У них на столах лежат цветные фигуры, на одной стороне которых записаны буквенные сочетания, а на другой - варианты ответов к задачам. На схеме над фигурами стоит название цвета фигуры, которая должна заполнить данную клеточку: к – красный; с – синий; ж – желтый. Каждая группа, правильно решив задачи, должна получить фигуры одного цвета: 1группа – красные; 2 группа – синие; 3 группа - желтые (Приложение 1).
  Учитель: Ребята, давайте узнаем, как же называется раздел математики, который изучает задачи на оптимизацию?
  В результате заполнения схемы на доске появляется название раздела математики – линейное программирование.
  V этап. Итог урока (2 мин.).
  Подводя итог урока, учитель и дети выясняют: на каком этапе учащиеся испытывают наибольшие затруднения и на что они должны обратить внимание при решении домашнего задания.
  VI этап. Домашнее задание (1мин.).
  Учитель: Однажды в разговоре П. Л. Чебышев заметил: “В старину математические задачи задавали боги, например, удвоение куба, по поводу изменения Делосского жертвенника. Далее наступил второй период, когда задачи задавали полубоги: Ньютон, Эйлер, Лагранж. Теперь третий период, когда задачи задает практика”. Поэтому домашнее задание следующее: §36 (п.2), вторую задачу (б) своего варианта (при желании можно сделать задачу более сложного варианта). Творческое задание: составить вместе с родителями и оформить решение в тетради задачи оптимизации, с которой вам или вашим родителям пришлось столкнуться на практике.
  Материалы к уроку для организации самостоятельной работы учащихся
  1. Памятка по решению задач на оптимизацию
  I этап. Составление математической модели.
  1. Проанализировав условия задачи, выделите оптимизируемую величину (сокращенно: О.В.), т.е. величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь. Обозначьте ее буквой у (или S, R, V - в зависимости от фабулы).
  2. Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно выразить О. В., примите за независимую переменную (сокращенно: Н.П.) и обозначьте ее буквой х (или какой-либо другой буквой). Установите реальные границы изменения Н.П. (в соответствии с условиями задачи).
  3. Исходя из условия задачи, выразите у через х. Математическая модель задачи представляет собой функцию у=f(х) с областью определения Х, которую нашли на втором шаге.
  II этап. Работа с составленной моделью.
  На этом этапе для функции у=f(х), хХ найдите унаим или унаиб в зависимости от того, что требуется в условии задачи. При этом используются теоретические установки, которые мы рассмотрели при определении наибольшего и наименьшего значений функции.
  III этап. Ответ на вопрос задачи.
  Здесь следует получить конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.
  
   

   Read more ...

  Автор(ы): Карпунина Л. Б.

  Скачать: Алгебра 10кл - урок 2 (Карпунина Л. Б.).doc

• урок 3 (Карпунина Л. Б.)

   "Применение производной в решении практических задач на наибольшее и наименьшее значение".
   
  Цель урока: Усвоение умений самостоятельно в комплексе применять знания, умения и навыки, осуществлять их перенос в новые условия.
  Задачи урока:
  Учебно-познавательная: 
  Закрепление, систематизация и обобщение знаний и умений в понятии наибольшее и наименьшее значение функции, практическое применение формируемых умений и навыков. 
  Развивающая: 
  Развитие умений самостоятельно работать, ясности выражений мысли, проведение самооценки учебной деятельности на уроке. 
   Воспитательная: 
  Воспитывать умение участвовать в дискуссии, умение слушать и слышать. 
   Тип урока: урок комплексного применения знаний.
  Оборудование: карточки с заданиями.
  Ход урока
  I .Организационный момент. Мотивационная беседа: (2 мин.)
  Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда надо отыскать наилучший способ решения какой-либо задачи, и математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений. Важным условием повышения эффективности производства и улучшения качества продукции является широкое внедрение математических методов в технику. Среди задач математики большую роль отводят задачам на экстремумы, т.е. задачам на отыскание наибольшего и наименьшего значения, наилучшего, наиболее выгодного, наиболее экономного. С такими задачами приходится иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы получилось как можно больше продукции, конструкторы хотят так спланировать прибор на космическом корабле, чтобы масса прибора была наименьшей, экономисты стараются спланировать прикрепление заводов к источникам сырья так, чтобы транспортные расходы оказывались минимальными. Можно сказать, что задачи на отыскание наименьшего и наибольшего значения, имеют большое практическое применение. Сегодня на уроке мы и займемся решением таких задач. 
  II. Актуализация знаний и умений, полученных учащимися на предыдущих уроках. (10мин)
      1)Выполняется взаимопроверка по теме “Применение производной” (за каждый правильный ответ выставляется 1 балл) Каждый ученик отвечает и для проверки передает свой ответ соседу по парте.  Вопросы записаны на переносной доске, дается только ответ: 
  1. Функция называется возрастающей на данном промежутке, если… 
  2. Функция называется убывающей на данном промежутке, если… 
  3. Точка х0 называется точкой минимума, если… 
  4. Точка х0 называется точкой максимума, если… 
  5. Стационарными точками функции называют точки… 
  6. Написать общий вид уравнения касательной. 
  7. Физический смысл производной. 
    Затем класс садится по группам (всего 4 группы). Группы выполняют задания на отыскание минимума и максимума функции.(Задание записано на доске.)
  1 задание:
  Для функции f(х)=х2+432/х найти минимум на промежутке (0;+∞);
  2 задание: 
  Для функции f(х)=х найти максимум на промежутке (0;60). 
  2)В это время два “ сильных” ученика решают задачи на доске:                                                       1-й ученик:
  Дан бак без крышки в виде прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат и объем равен 108 см3. При каких размерах бака на его изготовление пойдет наименьшее количество материала?
  Решение:
  Обозначим сторону основания через х см, тогда высота параллелепипеда будет108/х2.
  Пусть S(х) площадь поверхности, тогда S(х) =х2+4*108/х2*х=х2+432/х;
  S/(х)=2х-432/х2;
   S/(х)=0;
  2х-432/х2=0;
  2х3=432; х3=216; х=6;
  По условию задачи х (0;)
  Найдем знак производной на промежутке (0;6) и на промежутке (6;+∞). Производная меняет знак с - на +. Отсюда х=6 точка минимума, следовательно, S(6)=108 см2 наименьшее значение. Значит, сторона основания равна 6 см, высота 12см.
  2-й ученик:
  В окружность радиуса 30 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры.
  Решение:
  Обозначим одну сторону прямоугольника через х см, тогда вторая будет, S(х) площадь прямоугольника, тогда S(х)=х;
  S/(х)= - S/(х)=0; Приведем дробь к общему знаменателю, получим 
  3600-2х2=0; х=30; Берем только положительное значение по условию задачи. По смыслу задачи х (0;60);
  Найдем знак производной на промежутке (0;30) и на промежутке (30;60). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х=30 точка максимума. Следовательно, одна сторона прямоугольника30, вторая 30. 
  III. Проверка. Предоставляется слово “сильным” ученикам. Учащиеся класса проверяют свои решения.(5мин).
  IV . Закрепление. Работа в группах.                                                                                                                                               Выдаются задачи (на карточках) по выбору для каждой группы. (10 мин)
  1 группа.
  На отметку  «3»
  Для функции f(х)=х2*(6-х) найти наименьшее значение на отрезке[0;6]
  Решение: 
  f(х)=х2*(6-х)=6х2+х3;
  f/(х)=12х-3х2; f/(х)=0; 12х-3х2=0; х1=0; х2=4; 
  f(0)=0; f(6)=0; f(4)=32-max
  На отметку  «4»
  Из проволоки длиной 20см надо сделать прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры.
  Решение: 
  Обозначим одну сторону прямоугольника через х см, тогда вторая будет (10-х)см, площадь S(х)=(10-х)*х=10х-х2; 
  S/(х)=10-2х; S/(х)=0; х=5;
  По условию задачи х (0;10)
  Найдем знак производной на промежутке (0;5) и на промежутке (5;10 ). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда: х=5 точка максимума, S(5)=25см2 –наибольшее значение. Следовательно, одна сторона прямоугольника 5см, вторая 10-х=10-5=5см;
  На отметку  «5»
  Участок, площадью 2400м2, надо разбить на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина изгороди была наименьшей. Найти размеры участков.
  Решение: 
  Обозначим одну сторону участка через х м, тогда вторая будет 2400/х м, длина изгороди Р(х)=3х+4800/х; 
  Р/(х)= 3-4800/х2; 
   Р/(х)=0;3х2=4800;х2=1600; х=40. Берем только положительное значение по условию задачи.
  По условию задачи х (0; )
  Найдем знак производной на промежутке (0;40) и на промежутке (40; +∞). Производная меняет знак с - на +. Отсюда х=40 точка минимума, следовательно, Р(40)=240м наименьшее значение, значит, одна сторона 40м, вторая 2400/х=60м.
  2 группа.
  На отметку “3”
  Для функции f(х)=х2+(16-х)2 найти наименьшее значение на отрезке[8;16]
  Решение:
  f/(х)=2х-2(16-х)х=4х-32; f/(х)=0; 4х-32=0; х=8; 
  f(0)=256; f(16)=256; f(8)=128-min;
  На отметку  «4»
  Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра в 1 м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.
  Решение: 
  Обозначим одну сторону прямоугольного участка через х м, тогда вторая будет (1-2х)м, площадь S(х)= (1-2х)х =1х -2х2;
  S/(х)= 1-4х; S/(х)=0; 1-4х; х =1/4;
  По условию задачи х (0;1/2)
  Найдем знак производной на промежутке (0;1/4) и на промежутке (1/4;1/2). Производная меняет знак с + на -. Отсюда х =1/4 точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = ¼ м, вторая 1-2х= 1/2м ;
  На отметку  «5»
  Из прямоугольного листа картона со сторонами 80см и 50см нужно сделать коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края. Какой высоты должна быть коробка, чтобы ее объем был наибольшим?
  Решение: 
  Обозначим высоту коробки (это сторона вырезанного квадрата) через х м, тогда одна сторона основания будет (80-2х)см, вторая (50-2х)см, объем V(х)= х(80-2х)(50-2х)=4х3-260х2+4000х;
  V/(х)=12х2-520х+4000; V /(х)=0; 12х2-520х+4000=0; х1=10; х2=100/3
  По условию задачи х (0; 25); х1 (0; 25), х2(0;25)
  Найдем знак производной на промежутке (0; 10) и на промежутке (10; 25). Производная меняет знак с + на -. Отсюда х = 10 точка максимума. Следовательно, высота коробки = 10см.
  3 группа.
  На отметку  “3”
  Для функции f(х)=х*(60-х) найти наибольшее значение на отрезке [0;60]
  Решение: 
  f(х)=х*(60-х)=60х-х2;
  f/(х)=60-2х; f/(х)=0; 60-2х=0; х=30; 
  f(0)=0; f(60)=0; f(30)=900-max
  На отметку  «4»
  Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 20 м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.
  Решение: 
  Обозначим одну сторону прямоугольника через х м, тогда вторая будет (20 -2х) м, площадь S(х)= (20-2х)х=20х -2х2;
  S /(х)= 20 -4х; S/(х)=0; 20 -4х =0; х = 20/4=5;
  По условию задачи х (0; 10)
  Найдем знак производной на промежутке (0; 5) и на промежутке (5; 10). Производная меняет знак с + на -. Отсюда х = 5точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 5м, вторая 20 -2х= 10м;
  На отметку  «5»
  Чтобы уменьшить трение жидкости о стены и дно канала, нужно смачиваемую ею площадь сделать возможно малой. Требуется найти размеры открытого прямоугольного канала с площадью сечения 4,5м2, при которых смачиваемая площадь будет наименьшей.
  Решение: 
  Обозначим глубину канавы через х м, тогда ширина будет 4,5/х м, Р(х)=2х+4,5/х; 
  Р/(х)=2-4,5/х2; Р/(х)=0; 2х2=4,5;  х=1,5. Берем только положительное значение по условию задачи.
  По условию задачи х (0; )
  Найдем знак производной на промежутке (0;1,5) и на промежутке (1,5; +∞). Производная меняет знак с - на +. Отсюда х=1,5 точка минимума, следовательно, Р(1,5)=6м наименьшее значение, значит, одна сторона канавы 1,5м, вторая =3м.
  4 группа.
  На отметку  “3”
  Для функции f(х)=х2 (18-х) найти наибольшее значение на отрезке[0;18]
  Решение: 
  f(х)=х2 (18-х)=18х2-х3;
  f/(х)= (18х2-х3)/; f/(х)=0; 36х-3х2=0; х1=0; х2=12
  f(0)=0; f(18)=0; f(12)=864-max
  На отметку  «4»
  Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 200м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.
  Решение: 
  Обозначим одну сторону прямоугольного участка через х м, тогда вторая будет (200 -2х) м, площадь S(х)= (200-2х)х=200х -2х2;
  S/(х)= 200 -4х; S/(х)=0; 200 - 4х =0; х = 200/4=50;
  По условию задачи х (0; 100)
  Найдем знак производной на промежутке (0; 50) и на промежутке (50; 100). Производная меняет знак с “+”на “-”.Отсюда х = 50 точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 50м, вторая 200 -2х= 100м;
  На отметку «5»
  Требуется изготовить открытую коробку в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, с наименьшим объемом, если на ее изготовление можно потратить 300см2.
  Решение: 
  Обозначим одну сторону основания через х см, тогда высота будет (300- х2 )/4х см, объем V(х)=х2(300- х2 )/4х =(300х- х3)/4;
  V/(х)= (300-х2 )/4; V /(х)=0; 300-3х2=0; х2 =100; х=10. Берем только положительное значение по условию задачи.
  По условию задачи х (0; )
  Найдем знак производной на промежутке (0;10) и на промежутке (10; ). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=10 точка минимума, следовательно, V(10)=500см3 - наименьшее значение, значит, сторона основания 10см, высота (300-102 )/4= 50см
  V.  Представители групп рассказывают решение выбранных задач.(7мин)
  VI. Домашнее задание: Решение задачи на балл выше. Кто выполнял задачу на «5», освобождаются от домашней работы.(2 мин)
  VII. Подведение итогов урока. С учетом баллов в разминке и работе в группах выставляются отметки за урок. ( 4 мин). В заключении учитель просит учащихся оценить, насколько он был успешен. Раздаются карточки, в которых предлагается поставить галочку около выбранного утверждения.
  Мне все понравилось____________                                                                                                                                  Мне ничего не понравилось______                                                                                                                                         Мне ничего не понятно__________                                                                                                                                                                Мне было интересно____________                                                                                                                             Мне было скучно_______________                                                                                                                             Мне было легко________________                                                                                                                         Мне было трудно_______________                                                                                                                                 Я  научился многому____________                                                                                                                                 Я не узнал ничего нового_________
   

   Read more ...

  Автор(ы): Карпунина Л. Б.

  Скачать: Алгебра 10кл - урок 3 (Карпунина Л. Б.).doc

Презентация к уроку

• Презентация к уроку 1 (Тарасова Н. Н.)

  Автор(ы): Тарасова Н. Н.

  Скачать: Алгебра 10кл - Презентация к уроку 1 (Тарасова Н. Н.).pptx

• Презентация к уроку 2 (Тарасова Н. Н.)

  Автор(ы): Тарасова Н. Н.

  Скачать: Алгебра 10кл - Презентация к уроку 2 (Тарасова Н. Н.).pptx

• Презентация к уроку 3 (Тарасова Н. Н.)

  Автор(ы): Тарасова Н. Н.

  Скачать: Алгебра 10кл - Презентация к уроку 3 (Тарасова Н. Н.).pptx

Задания к уроку

• приложение (Карпунина Л. Б.)

  Автор(ы): Карпунина Л. Б.

  Скачать: Алгебра 10кл - приложение (Карпунина Л. Б.).doc

Другие материалы

• самостоятельная работа (Карпунина Л. Б.)

  Автор(ы): Карпунина Л. Б.

  Скачать: Алгебра 10кл - самостоятельная работа (Карпунина Л. Б.).rar