Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Алгебра и начала анализа, 10 класс. «Алгебра и начала математического анализа 10-11» Мордкович, 2013. Базовый уровень. Тема «Сумма бесконечной геометрической прогрессии». 2 часа. Урок изучение нового материала. Цель: получить формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии. Задачи: знакомство с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии; развитие интеллектуальных качеств личности школьников такие, как логическое мышление, способность к оценочным действиям, обобщению; воспитание активности, взаимопомощи, коллективизма, интереса к предмету. Ход урока I. Сообщение темы и цели урока. II. Повторение и закрепление пройденного материала 1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач). 2. Контроль усвоения материала (письменный опрос). Вариант 1 1. Определение возрастающей последовательности. 2. Последовательность (аn) задана формулой Найдите a1, a5, a10. 3. Последовательность (аn) задана формулой аn+1 = 3 - 2аn, где а1 = 2 и n ≥ 1. Найдите первые четыре члена последовательности. 4. Вычислите Вариант 2 1. Определение убывающей последовательности. 2. Последовательность (аn) задана формулой Найдите a1, a5, a10. 3. Последовательность (аn) задана формулой an+1 = 3аn - 2, где а1 = 2 и n ≥ 1. Найдите первые четыре члена последовательности. 4. Вычислите III. Изучение нового материала Одной из изученных последовательностей является геометрическая прогрессия которая рассматривалась в 9 классе. Были изучены основные свойства такой прогрессии. Если |q| < 1, то прогрессия называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Для нее, разумеется, как и для любой геометрической прогрессии, справедливы свойства и формулы, приведенные ранее. Кроме того, можно вычислить сумму бесконечного числа членов такой профессии по формуле Пример 1 Найдем сумму чисел 6; 3; 3/2; .... Данные числа образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, для которой b1 = 6 и q = 1/2. Тогда ее сумма равна Пример 2 Запишем в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(27). Получим: - эти дроби образуют бесконечную геометрическую прогрессию, у которой Ее сумма равна Итак, 0,(27) = 3/11. Пример 3 Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найдем эту прогрессию. Пусть дана прогрессия Тогда ее сумма Кубы членов данной прогрессии также образуют геометрическую прогрессию с первым членом b13 и знаменателем q3. Так как при |q| < 1 величина |q3| = |q|3 < 1, то эта прогрессия также бесконечно убывающая и ее сумма Получим систему нелинейных уравнений Для решения этой системы возведем первое уравнение в куб: и разделим второе уравнение системы на полученное уравнение: или 2q2 + 5q + 2 = 0. Корни этого уравнения q = -1/2 иq = -2 (не подходит, так как прогрессия бесконечно убывающая и |q| < 1). Теперь из первого уравнения находим Пример 4. Сторона квадрата равна а. Середины сторон этого квадрата соединим отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступили так же, как и с данным, и т. д. Найдем суммы сторон, периметров и площадей всех этих квадратов. Обозначим стороны этих квадратов (начиная с данного): а, а2, а3, ... . Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ABC: Запишем для него теорему Пифагора: откуда Аналогично из прямоугольного треугольника DEC находим: и т. д. Таким образом, стороны квадратов образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию у которой первый член а и знаменатель Найдем ее сумму: Так как периметр квадрата 4а, то периметры приведенных квадратов также образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 4а и знаменателем поэтому ее сумма Площадь квадрата а2 и площади квадратов образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом а2 и знаменателем 1/2, поэтому сумма площадей Итак, сумма сторон периметров - площадей - 2а2. IV. Контрольные вопросы 1. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. 2. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. V. Задание на уроке § 25, № 1 (а, б); 4 (в, г);.6 (а); 7 (г); 8 (а, б); 9 (б); 10; 13 (а, б); 14 (а); 15 (в, г). VI. Задание на дом § 25, 4 (а, б); 6 (б); 7 (в); 8 (в, г). VII. Подведение итогов урока
Автор(ы): Жусупов Е. Н.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Жусупов Е. Н.).docxАлгебра и начала математического анализа, 10 класс. «Алгебра и начала математического анализа 10-11» Мордкович, 2013. Базовый уровень. Тема «Сумма бесконечной геометрической прогрессии». 2 часа. Урок закрепление изученного материала. Слайд №1 Цель: выявить принципы выдачи кредитов банками различным фирмам и установить, как система банков может значительно увеличить возможности кредитования фирм? Слайд №2 Задачи: Образовательные: отработать навыки применения формул суммы геометрической прогрессии и формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии; обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания способов действий и связей в экономике. Воспитательные: прививать интерес к предмету и усвоение принципов саморегуляции и сотрудничества. Развивающие: развить познавательную активность учащихся, продолжить формирование целостной системы ведущих знаний по теме курса; выявление внутрипредметных и межкурсовых связей. 1. Орг. момент Учитель: Тема сегодняшнего урока: «Сумма геометрической прогрессии», назвал я урок «Зачем нужна прогрессия банкирам? Интересно…». Геометрическая прогрессия имеет широкое приложение в экономике. С ее помощью банк производит расчеты с вкладчиком, решает, стоит ли вкладывать деньги в крупные проекты, доход от которых будет получен через несколько лет и т.д. Цель нашего урока ответить на вопрос: как банки дают кредиты различным фирмам, и как система банков может значительно увеличить возможности кредитования фирм? Чтобы дать ответ и достигнуть нашей цели, вам надо будет: вспомнить формулы, связанные с геометрической прогрессией, узнать о банковской системе России, понять новые для Вас экономические термины, построить правильную математическую модель. Для того чтобы урок прошел интересней и эффективней, представим что вы – молодые служащие банка. Станем на первую ступеньку нашего пути к поставленной цели. Вспомним формулы, которые мы изучили на предыдущих уроках, связанных с ГП. Перед вами таблица, в левом столбце формулы. Но не все из них действительно существуют. В вашем распоряжении 2 минуты. Слайд №3, слайд №4. Ученик проговаривает ответы. 2. Подготовка к основному этапу урока Переходим на 2 ступеньку. Структура банковской системы России: Слайд №5 Дело в том, что Центральный Банк России руководит работой всеми коммерческими банками, которые принимают деньги у населения, фирм, объединений и выдают кредиты. По закону о банках каждый коммерческий банк обязан часть поступающих к нему денег хранить в ЦБ, который ими распоряжается. Это обязательные резервы банка. Они устанавливаются как определенный процент от суммы вклада, поступающего в банк. Остальными деньгами – свободными резервами So банк распоряжается самостоятельно. Слайд №6. Теперь, используя эти понятия, запишите величины обязательных и свободных резервов в общем виде, т.е. вам надо записать формулы, которыми мы сегодня будем пользоваться для нахождения обязательных и свободных резервов. Слайды №7. Слайд №8. Решим простую задачу: Я внес в коммерческий банк 400000 рублей, а процентная ставка обязательных резервов установлена на уровне Р =15%. Найдем обязательные и свободные резервы от этой суммы. Решение: Р = 4 00000 * 0,15 = 60000 рублей. Слайд №9. Учитель задает вопросы для закрепления первичных понятий и установления правильности их осознания. – От чего зависят величины свободных и обязательных резервов и может ли влиять ЦБ на размер кредитов с предоставляемых банками? Существует прямая зависимость величины свободных резервов от суммы вклада в банк, а каждый банк может выдать кредитов на сумму, не превышающую величины его свободных резервов. ЦБ может активно влиять на величину кредитов, предоставляемых коммерческими банками. Учитель. Существует ли прямая зависимость величины СВР от S вклада. Как ЦБ влияет на величину кредитов. 3. Усвоение новых знаний и способов действий Учитель. Молодцы! Мы прошли 3-4 ступеньки – узнали новые экономические термины, выразили математическими формулами, и ответили на один из вопросов – какой? Теперь рассмотрим систему, состоящую из перечисленных банков. Пусть процентная ставка обязательного резерва 20%, и в первый банк внесен вклад, равный 500000 рублей. Сделаем упрощающее предположение: банк все свои свободные резервы целиком выдает в кредит только одному клиенту. Ребята производят расчёты: 20% от суммы, полученной Сбербанком, составляют обязательные резервы 500000 * 0,2 = 100000(руб.), которые перечисляются в Центральный банк. Свои свободные резервы в размере 500000 – 100000 = 400000 (руб.) банк выдаёт клиенту. Слайд №10. На эти деньги заёмщик приобретает у некоторой фирмы товары. Полученные 400000 рублей фирма переводит в обслуживающий её Альфабанк. Итак, составим схему. Слайд №11. В результате проделанных операций Альфабанк получил вклад 400000 рублей и с этими деньгами производит такие же банковские операции. Сделаем сводную таблицу. Слайды №12, 13. Вычисляем суммарный объем кредитов, выданных рассматриваемой системой банков. Полученная сумма равна 1344640 рублей. Учитель: Как можно ускорить операцию подсчета суммы выданных кредитов? Ученик: Свободные резервы банков образуют последовательность 400000*0,8=320000; 320000*0,8=400000*(0,8)2 = 256000; 256000*0,8=400000*(0,8)3 = 204800; 204800*0,8= 400000*(0,8)4 = 163840, т.е. первые пять членов геометрической прогрессии с первым членом 400000 и знаменателем 0,8. Воспользуемся формулой суммы конечного числа первых членов геометрической прогрессии. Слайд №14. Слайд №15. Слайд №16. Полученная сумма кредитов оказалась в 1344600 ÷ 400000 ~ 3,36 раза больше той суммы, которую мог предоставить один банк. Слайд №17. Возникает у молодого, богатого финансиста вопрос: «Что, если я буду и дальше увеличивать число банков в своей системе?» Ясно, что суммарная величина кредитов будет при этом возрастать. Выясним характер этого возрастания Слайд №18. Из этого представления видно, что с увеличением n величина Sn, возрастая, будет оставаться меньше 2000000 и по мере возрастания n будет к нему приближаться, никогда не достигнет 2000000. Ученики вычисляют. – Вычислите теперь Sn при n = 7, n = 10, n = 20, n = 30, n = 40. Вы видите, что чем больше число n, тем меньше величина суммы кредитов отличается от 2000000. Запишем этот результат на случай произвольных значений b1 и q. Ученик. Проговаривает формулу вслух, остальные записывают. Слайд №19. – Цель почти достигнута. Мы преодолели еще две ступеньки, и осталось ответить на вопрос: «Что получится, когда количество банков в системе будет увеличиваться неограниченно?» 4. Закрепление знаний и способов действий – Конечно, в конкретной банковской системе так не бывает, но математические методы тем и сильны, что с их помощью можно рассматривать предельные возможности, которые не реализуются ни при каком значении n, то есть можно заглянуть туда, где бессилен любой опыт. – Как называется геометрическая прогрессия при неограниченном увеличении n и | q | < 1 Ученик: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Учитель. Чему равна ее сумма? Ученик проговаривает формулу для нахождения суммы членов бесконечно убывающей прогрессии. Учитель. Экономический смысл этой формулы в том, что при фиксированных значениях b1 и q она указывает границу предельных возможностей системы банков. Сколько бы банков мы в нее не включали, выдать кредитов на сумму равную или большую числа S = b1 ÷ (1 – q) не возможно. Слайд №20. Множитель Мю экономисты называют мультипликатором. В нашей задаче мультипликатор показывает: во сколько раз увеличивается величина первоначального кредита при рассмотрении бесконечной системой банков. 5. Обобщение и систематизация знаний Учитель: Молодцы. Мы увидели, каким образом, приобретенные в школе знания по математике могут быть использованы для решения очень важных задач современной экономике. В Вашей личной жизненной практике ГП ее сумма встречаются очень часто. Они имеют глубокий экономический смысл. Более того, решая задачу о нахождении суммы n членов ГП, мы фактически нашли возможности суммарного кредитования. 6. Подведение итогов урока Учитель дает учащимся информацию о коллективных и индивидуальных отметках за урок. 7. Домашнее задание. § 25,№10(в,г), №13 (в,г), №15 (в,г)
Автор(ы): Жусупов Е. Н.
Скачать: Алгебра 10кл - Урок 2 (Жусупов Е. Н.).docxАлгебра и начала анализа 10 класс УМК: Алгебра и начала анализа 10-11 класс, А. Г. Мордкович, Москва 2013 Уровень обучения: базовый Тема: Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Всего часов: 2 По теме: уроки № 1, 2 Цели: вывести формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии и формировать умение её применять. Планируемые результаты: Личностные: личностное самоопределение Предметные: овладение основами пространственного воображения. Овладение умениями распознавать и изображать окружность. Метапредметные: (регулятивные УУД, познавательные УУД, коммуникативные УУД) целеполагание, планирование, самоконтроль, саморегуляция; моделирование, преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область; анализ, синтез, выведение следствий, построение логической цепи рассуждений; планирование учебного сотрудничества, инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации, умение выражать свои мысли. Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор. Ход урока I. Организационный момент. II. Устная работа. Какие из данных последовательностей ограничены сверху? Снизу? а) б) –3, 5, –7, 9, –11, …; в) г) 1, 3, 5, 7, …; д) е) 2, –2, 2, –2, 2, … . III. Объяснение нового материала. Объяснение проводить согласно пункту учебника в несколько этапов. 1. Актуализация знаний. Сначала необходимо, чтобы учащиеся вспомнили, какая последовательность называется геометрической прогрессией и как находить сумму п первых её членов. Задание. Какие из перечисленных последовательностей являются геометрическими прогрессиями? Найдите для них сумму первых семи членов. а) 3, 5, 7, 9, …; б) 5, 10, 20, 40, …; в) г) д) е) 1, –3, 9, –27, … . 2. Вывод формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии. Сначала необходимо рассмотреть примеры сходящихся и расходящихся геометрических прогрессий. Сообщить учащимся, что, если геометрическая прогрессия расходится, то имеет смысл говорить лишь о сумме первых п её членов. Если же геометрическая прогрессия является сходящейся последовательностью, то можно найти сумму всех её членов. В этом случае говорят, что найдена сумма геометрической прогрессии. После этого следует вывод формулы суммы геометрической прогрессии. В классе с низким уровнем подготовки доказательство можно привести в готовом виде. В остальных случаях следует привлекать учащихся к выводу формулы, которая затем выносится на доску: 3. Примеры использования формулы суммы геометрической прогрессии. Первый пример из учебника является обязательным для рассмотрения. Второй и третий примеры следует разбирать в классах с высоким уровнем подготовки или предоставить для самостоятельного изучения «сильным» учащимся. IV. Формирование умений и навыков. Все задания, которые должны выполнить учащиеся на этом уроке, можно условно разбить на три группы: 1. Нахождение суммы геометрической прогрессии по формуле. 2. Нахождение различных элементов геометрической прогрессии с помощью формулы её суммы. 3. Решение более сложных задач на применение формулы суммы геометрической прогрессии (эту группу заданий выполнять в классе с высоким уровнем подготовки). 1-я группа. 1. № 25.1 (а; б), № 25.2 (а; б). 2. № 25.5 (а; б). 3. № 25.3 (а; б), № 25.4 (а; б). 2-я группа. 1. № 25.6 (а). 2. № 25.7 (а), № 25.8 (а). 3-я группа. 1. № 25.10. Решение: Пусть дана геометрическая прогрессия Известно, что и Пусть q – знаменатель геометрической прогрессии. Тогда получим систему уравнений: Решим эту систему: Разделим почленно первое уравнение системы на второе: Найдем b1 из первого уравнения системы: Таким образом, нужно найти сумму геометрической прогрессии, у которой и Ответ: 2. № 25.13 (а; г). Решение: г) Заметим, что данное выражение представляет собой сумму геометрической прогрессии, у которой и Найдем эту сумму: Ответ: 2. № 25.13 (а; г). Решение: г) Заметим, что данное выражение представляет собой сумму геометрической прогрессии, у которой и Найдем эту сумму: Ответ: 3. № 25.14 (а). Решение: Заметим, что левая часть уравнения представляет собой сумму геометрической прогрессии, у которой и Найдем эту сумму: подставим её в уравнение: х = 0,8 Ответ: 0,8. 4. № 25.15 (а; б). Оформление, как в примере 3 учебника. V. Итоги урока. Вопросы учащимся: – Что такое геометрическая прогрессия? – Назовите формулу для нахождения суммы первых п членов геометрической прогрессии. – Назовите формулу суммы геометрической прогрессии. – Для любой ли геометрической прогрессии справедлива формула её суммы? Домашнее задание: № 25.1 (в; г), № 25.4 (в; г), № 25.5 (г), № 25.7 (г), № 25.8 (г). Дополнительно: № 25.11, № 25.13 (б), № 25.14 (г), № 25.15 (в; г).
Автор(ы): Касенов Т. К.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 1-2 (Касенов Т. К.).docАвтор(ы): Жусупов Е. Н.
Скачать: Алгебра 10кл - Приложение (Жусупов Е. Н.).pptx
