Глава 5. Производная [А.Г. Мордкович (базовый уровень)]: Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке.

Тип материала

Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

Текст урока

урок 1 (Тарасова Н. Н.)

Название предмета: Алгебра и начала анализа
Класс: 10
УМК: Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). Мордкович А.Г., Семенов П.В. 10 класс – ИОЦ «Мнемозина», 2011 г.
Уровень обучения: базовый
Тема урока: «Отыскивание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке»
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 часа
Место урока в системе уроков по теме: 1 урок в системе уроков по теме
Цель урока: познакомиться с алгоритмом вычисления наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Задачи урока:
- образовательная: научить находить наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на промежутке, сформулировать основные теоретические положения, рассмотреть алгоритм решения такого вида задач, отработать шаги алгоритма, рассмотреть частные случаи;
- развивающая: развивать умение работать в команде (паре), умение читать график функции, анализировать, сравнивать, обобщать и делать выводы, развивать исследовательские умения;
- воспитательная: воспитывать упорство, трудолюбие, открытую познавательную позицию.
Планируемые результаты:
учащиеся должны знать:
- алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на промежутке;
учащиеся должны уметь:
- находить наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на промежутке по алгоритму, изученному на уроке;
- применять алгоритм для нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на промежутке для решения задач.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: доска, презентация.

Содержание урока.
1. Организационный момент.
Включает в себя приветствие учителем класса, проверку готовности кабинета к проведению урока, проверку отсутствующих.

2. Актуализация знаний. Устная работа. (слайд2)
1. Найдите производную функции:
а) у = sin х , б) у = tg х , в) у = х4 - 2х2 + 3, г) у = х4, д) у = cos 2х,
2. Найдите критические точки функции: f(x) = 2х - х2.
3. Вычислите f(2), если f(x) = - Зх + 5.
4. Вычислите значение производной функции у = в точке х₀ =.
Учитель: 1) Используя график функции, найдите интервалы монотонности и точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значения функции. (слайд 3)

Учитель: Прежде чем приступить к изучению нового материала, прошу вас обратить внимание, что наибольшее или наименьшее значение функции не всегда совпадает с максимум или минимум.
- Из курса 7-го класса вы умеете строить графики функций и находить по ним минимальные и максимальные значения. Однако построение графика данной функции заняло бы очень много времени. Скажите, пожалуйста, а можем ли мы найти наибольшее и наименьшее значения функции каким-нибудь другим способом?
- Сегодня мы будем искать более простые пути решения данной задачи.
Эпиграф к уроку: «Единственный путь, ведущий к знанию, - деятельность». Бернард Шоу (слайд 4)

3. Изучение нового материала.
Учитель: Большая группа задач в технике, в естествознании, в экономике, в повседневной деятельности людей связана с необходимостью определения условий, при которых некоторая величина принимает наибольшее или наименьшее значения.
- Например:
1) Где нужно расположить мост через реку, чтобы путь из А в В, находящихся на разных берегах, был наименьшим?
2) Требуется огородить участок с заданным периметром, чтобы площадь его была наибольшей (если перевести эту задачу на язык математики: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь?)
- Как видите, решение задач на нахождение наиболее выгодных условий занимали умы людей с древних времен. Но только с появлением дифференциального исчисления был найден метод, позволяющий решать эти задачи по единой схеме.
Далее учитель предлагает учащимся сформулировать тему урока и определить его цели, после ответов учащихся записывает тему урока. (слайд 5)
- Рассмотрим функцию у = f(x) на отрезке [а;b]. (слайд 6)
- Что можно сказать об этих функциях? (Ответ: все функции непрерывны на отрезке [а;b])
- Как называется точка х0 на рис. 1 ? (Ответ: точка максимума)
- Что можно сказать о значении функции в этой точке? (Ответ: в этой точке функция принимает наибольшее значение.)
- Аналогично рассмотрим рис.2.
- Охарактеризуйте функцию, изображенную на рис 3. (Ответ: функция непрерывна на отрезке [а;b], х1- точка минимума, х2 - точка максимума.)
- Можно ли утверждать, что в точке минимума функция имеет наименьшее значение, а в точке максимума - наибольшее значение? (учащиеся дают ~t либо правильный ответ, либо затрудняются)
- Для того, чтобы дать правильный ответ, сравните значения функции в точке минимума и на конце отрезка в точке b. (Ответ: значение функции на конце отрезка меньше, чем в точке минимума).
- Аналогично сравните значение функции в точке максимума со значением функции на конце отрезка в точке а. (Ответ: значение функции на конце отрезка больше, чем в точке максимума)
- Какой можно сделать вывод? (Ответ: непрерывная функция может достигать наибольшего и наименьшего значений как внутри отрезка, так и на его концах.)
После данных рассуждений приходим к важным выводам. (слайд 7)
Вывод 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего наибольшего, и своего наименьшего значений.
- В каких из рассмотренных случаев функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка?
- В каких случаях функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений внутри отрезка?
Вывод 2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
- В случае 1 чем являлись для функции точка, в которых она достигла наибольшего значения на заданном отрезке?
- В каких ещё случаях функция достигла своего наибольшего или наименьшего значения в точках экстремума?
Вывод 3. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается внутри отрезка, то только в точке экстремума.
- Может ли функция достигать своего наибольшего и наименьшего значений и не на концах отрезка, и не в точках экстремума?
Вывод 4. Своего наибольшего и наименьшего значений функция может достигать или на концах отрезка, или в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку.
Из всех полученных выводов вытекает алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке, который учащиеся записывают в тетрадь.
Учитель: Это алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y=f (x) на отрезке [a; b]. Запишите его себе в тетрадь.
Учащиеся записывают с доски алгоритм в тетрадь (слайд 8)
Запись в тетрадях:
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции
y=f (x) на отрезке [a; b]:
для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции
y=f (x) на отрезке [a; b] нужно:
1. Найти область определения функции и определить, принадлежит ли заданный отрезок области определения.
2. Найти производную заданной функции f`(x).
3. Найти стационарные точки: f`(x) = 0;
4. Выяснить, какие из стационарных точек принадлежат данному отрезку [a; b].
5. Найти значения функции в тех стационарных точках, которые входят в отрезок, а также f (a) и f (b).
6. Выбрать из полученных значений функции наибольшее и наименьшее:
У наиб = У наим.=
[a; b] [a; b]
Учитель: А теперь рассмотрим пример применения данного алгоритма: найдем наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2x3-9x2 на [1;4]. ( слайд 9)
Учащиеся вместе с учителем у доски разбирают пример применения алгоритма, отвечают на наводящие вопросы и делают записи в тетради.
Запись на доске и в тетрадях:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2x3-9x2 на отрезке [1;4].
1) функция определена и дифференцируема на R;
2) f `(x) = 6x2-18х = 6x(x-3);
3) стационарные точки: f `(x) = 0; х = 0 или х = 3;
4)
0 [1;4],
3 [1;4].
5) f (3) = 54-81 = -27;
f (1) = 2-9 = -7;
f (4) = 128-144 = -16.
6) Унаиб. = f (1) = -7; Унаим. = f (3) = -27;
[1;4] [1;4]

4. Первичное закрепление
В первой группе заданий даны элементарные функции, наибольшие и наименьшие значения которых учащиеся смогут найти и без использования производной. А во вторую группу входят задания, при выполнении которых обязательно использование производной.
1-я группа. (Учащиеся выходят по очереди к доске, решают примеры, комментируют решение, остальные – решают на месте, делая записи в тетради.)
1. № 32.1 (а; г)
Решение:
а) у = 3х – 6, [–1; 4]
Рассуждения могут быть следующими:
– функция у = 3х – 6 является линейной;
– она монотонно возрастает на всей числовой прямой;
– своего наибольшего и наименьшего значений данная функция будет достигать на концах отрезка [–1; 4];
– поскольку функция возрастающая, то при х = –1 её значение будет наименьшим, а при х = 4 – наибольшим.
у (–1)= 3 · (–1) – 6 = –9
у (4) = 3 · 4 – 6 = 6
Ответ: унаим = –9; унаиб = 6.
г)

- данная функция монотонно убывает на своей области определения.

Ответ: унаим = 1,5; унаиб = 10.
2. № 32.2 (б)
При выполнении данных заданий можно использовать два способа решения: воспользоваться знаниями о свойствах функций и используя производную. В этом случае работу можно организовать по группам.
Решение:

1-й способ.
Замечаем, что на указанном промежутке функция у = cos х принимает все свои значения, то есть [–1; 1]. Значит, наибольшим значением функции будет 2, а наименьшим –2.
2-й способ.
Воспользуемся алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
1)
2)
На отрезке получим два корня и
3)

Ответ:
3. № 32.4 (в), № 32.5 (а; б)
При выполнении этих заданий также можно не использовать производную.
2-я группа.
1. № 32.6 (а)
Решение:

- здесь также можно использовать два способа.
1-й способ.
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Своего наименьшего значения такая функция достигает в точке, которая служит вершиной этой параболы. Найдем её:

Эта точка входит в рассматриваемый промежуток, причём х = 4 является осью симметрии параболы. Значит, наибольшего значения функция достигает в точке х = –1.

Ответ:
2-й способ.
Воспользуемся алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
2. № 32.8 (а)
Функцию, предложенную для рассмотрения в этом упражнении, можно исследовать на наибольшее и наименьшее значения только с помощью производной.

5. Итог урока.
Вопросы учащимся:
– Всегда ли непрерывная функция достигает наибольшего и наименьшего значений на отрезке?
– Если функция монотонно возрастает на отрезке, то в какой точке она достигает наибольшего значения?
– В каких точках функция может достигать наибольшего и наименьшего значений на отрезке?
– Опишите алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.

6. Домашнее задание: № 32.2 (в), № 32.11.

Read more ...

Автор(ы): Тарасова Н. Н.

Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Тарасова Н. Н.).docx

урок 2 (Тарасова Н. Н.)

Название предмета: Алгебра и начала анализа
Класс: 10
УМК: Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). Мордкович А.Г., Семенов П.В. 10 класс – ИОЦ «Мнемозина», 2011 г.
Уровень обучения: базовый
Тема урока: «Отыскивание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке»
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 часа
Место урока в системе уроков по теме: 1 урок в системе уроков по теме
Цель: формирование умений и навыков нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке с применением производной.
Задачи урока:
- образовательная: продолжить работу по подготовке к ЕГЭ.
- развивающая: развивать у учащихся навыки самостоятельного выполнения заданий и решения примеров, а также навыки взаимооценивания работы учащихся класса и осмысления собственного участия в процессе учебной деятельности на уроке;
- воспитательная: воспитывать у учащихся умение выслушать и принимать во внимание взгляды других людей, умение справляться со сложностью.
Планируемые результаты:
учащиеся должны знать:
- алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на промежутке;
учащиеся должны уметь:
- применять алгоритм для нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на промежутке для решения задач.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: доска, карточки с заданиями из банка ЕГЭ для актуализации знаний и для самостоятельной работы, презентация.

Содержание урока.
1. Организационный момент.
Девиз урока: «Решай, ищи, твори и мысли».
2. Актуализация опорных знаний.
1) Учащиеся поднимают руку, если согласны с утверждением, и не поднимают – если не согласны.
- В точке возрастания функции её производная больше нуля. (Верно).
- Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то в этой точке имеется экстремум! (Неверно).
- Производная произведения равна произведению производных. (Неверно).
- Наибольшее и наименьшее значения функции на некотором отрезке наблюдаются или в стационарных точках, или на концах отрезка. (Верно).
- Любая точка экстремума является критической точкой. (Верно).
2) Работа с раздаточным материалом (у каждого уч-ся на столе лежит лист с заданиями из банка ЕГЭ)
1 задание: Функция y = f(x) определена на промежутке (- 6; 6). На рисунке изображён график её производной. Найдите точки, в которых производная функции равна нулю.

2 задание: Функция y = f(x) определена на промежутке (-6; 5). На рисунке изображён график её производной. Укажите количество промежутков, на которых функция возрастает.

3 задание: Функция y = f(x) определена на промежутке (-4; 5). На рисунке изображён график её производной. Найдите точку минимума функции y = f(x).

4 задание: Функция y = f(x) определена на промежутке (-4; 5). На рисунке изображён график её производной. Найдите точку максимума функции y = f(x).

5 задание: Функция y = f(x) определена на промежутке (-5; 5). На рисунке изображён график её производной. Укажите точку, в которой функция принимает наименьшее значение.

Ответы: 1 задание: х = - 4; х = - 2; х = 1; х = 5
2 задание: 5
3 задание: х = 3
4 задание: х = 2
5 задание: х = - 4
Учитель: На ЕГЭ по математике часто встречаются задания на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Вспомним алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на заданном промежутке. (слайд 3)

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке:
1. Найти область определения функции и определить, принадлежит ли заданный отрезок области определения.
2. Найти производную заданной функции f`(x).
3. Найти стационарные точки: f`(x) = 0;
4. Выяснить, какие из стационарных точек принадлежат данному отрезку [a; b].
5. Найти значения функции в тех стационарных точках, которые входят в отрезок, а также f (a) и f (b).
6. Выбрать из полученных значений функции наибольшее и наименьшее:
У наиб = У наим.=
[a; b] [a; b]

3. Постановка проблемной ситуации и её решение.
Учитель: При решении многих задач часто приходится находить наибольшее или наименьшее значение функции не на отрезке, а на интервале.
- Например, найти наибольшее значение функции f (х) = 60х - 1,5х2 на интервале (0; 40).
- Можно ли для решения этой задачи использовать данный алгоритм? (Учащиеся выдвигают гипотезу, что можно использовать правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, а затем значения функции на концах отрезка отбросить.)
- Чтобы проверить выдвинутую вами гипотезу, решим предложенное задание.
- Сначала найдем наибольшее значение функции на отрезке [0;40]. Используем изученное правило:
1. Найдем производную функции f (х) = (60х - 1,5х )' =60 - Зх.
2. Найдём критические точки функции: 60 - Зх = 0, Зх = 60, х = 20.
3. Проверим, принадлежит ли критическая точка данному отрезку: 20[0;40]
4. Вычислим значение функции в критической точке и на концах отрезка: f(20) = 60*20 - 1,5*202 - 1200 - 600 = 600, f(0) = 0.
f(40) =60 * 40 - 1,5 * 402= 2400 - 2400 = 0.
Наибольшее значение функция достигает внутри отрезка [0;40], значит и внутри интервала (0; 40). max f(x) = У наиб = f(20) = 600.
Вывод (слайд 4 и 5)

4. Формирование умений и навыков.
Задания урока разделяются на две группы. 1 группа отработка умений и навыков применения алгоритма, 2 группа задач – работа в парах на развитие навыка самостоятельного выполнения заданий, а также на формирование умений самооценки и взаимооценки.
1 группа заданий № 32.10(а) , 32.12(а); 32.13(а)
(работа учащихся на местах с последующей проверкой у доски)
№ 32.10 (а)
Дано: , . Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.
1. Найдем производную .
2. Найдем критические точки , отсюда , - критические точки.
3. Из них выбираем те, которые принадлежат данному отрезку: .
4. Вычислим:
;
;
.
Ответ: ;.
№ 32.12(а)
Решение:
1)
2)
х – 1 = 2 или х – 1 = –2
х = 3 х = –1
3) а) [2; 4].
Данному отрезку принадлежит точка х = 3.

Ответ:

2. группа задач. Решение задач открытого банка ЕГЭ. (работа в парах)
(самопроверка и взаимопроверка: за каждый правильно решенный пример «+» - 1 балл. Поставьте оценки. Если получили 3 б – «5», если одна ошибка– «4», если 2 ошибки – «3»)
Тест
Вариант 1.
1.
2.

Вариант 2.
1.

Ответы: 1В: -54; -1; 1. 2В: 6; 5; -2

5. Подведение итогов урока.
1. Обсуждение с учащимися достижения цели и задач урока.
2. Аргументированное комментирование оценок за урок.

6. Домашнее задание: п.32 № 32.13 (в), № 32.15(а, в), заданиями В12 ЕГЭ - найти и решить – 2-3 задания.

Read more ...

Автор(ы): Тарасова Н. Н.

Скачать: Алгебра 10кл - урок 2 (Тарасова Н. Н.).docx

урок 3 (Тарасова Н. Н.)

Название предмета: Алгебра и начала анализа
Класс: 10
УМК: Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). Мордкович А.Г., Семенов П.В. 10 класс – ИОЦ «Мнемозина», 2011 г.
Уровень обучения: базовый
Тема урока: «Отыскивание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке»
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 часа
Место урока в системе уроков по теме: 3 урок в системе уроков по теме
Цель: совершенствовать навыки и умения учащихся применения производной функции для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на заданном промежутке.
Задачи урока:
- образовательные: систематизировать знания учащихся по изученной теме; проверить уровень усвоения изученного материала; продолжить работу по подготовке к ЕГЭ;
- развивающие: развитие устных вычислительных навыков, математической речи учащихся; формирование аналитических и логических способностей, расширение кругозора; совершенствовать умения находить наименьшее и наибольшее значения функции;
- воспитательные: воспитание ответственного отношения к учебному труду; воспитывать чувство уважения между учащимися для максимального раскрытия их способностей.
Планируемые результаты:
- знать: алгоритмы нахождения промежутков возрастания и убывания функции, критических точек функции и наибольшего и наименьшего значения функции;
- уметь: решать задания на нахождение промежутков возрастания и убывания функции, критических точек функции и наибольшего и наименьшего значения функции;
- понимать: основные сходства и различия в приемах нахождения промежутков возрастания и убывания функции, критических точек функции и наибольшего и наименьшего значения функции.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: доска, карточки для устной работы и карточки с тестами для самостоятельной работы по заданиям банка ЕГЭ, презентация.

Содержание урока.
1. Организационный момент урока.
2. Коррекция знаний учащихся.
( На парте у каждого учащегося раздаточный материал с заданиями.)
1) Задания на вычисление производных.
у=(2х +5)5
у=х5 + 3х4 -2х – 5

у = (5х)2 y = -2sin 3x y = сos2x y= |x2-2x| y = |x|
2) Сформулируйте, какие точки называются стационарными? -/- критическими?

- Назовите стационарные и критические точки по графику функции.
3) Используя график функции, найдите интервалы монотонности и точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значения функции.

3. Повторение теоретического материала.
Учитель: На ЕГЭ по математике, а также на вступительных экзаменах в ВУЗы, часто встречаются задания на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
- Вспомним алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
3.1. Решение задач: (рассмотреть задачу высокого уровня; слайд 2-5).
Учитель разбирает решение совместно с учениками. Учащиеся делает записи в тетради)
3.1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: , при х € [ 0; 2 ]

Таким образом,
х
0
1/5
1
2
у
0
-3/25
5
38
Ответ: у наим.= -3/25; у наиб.= 38
3.2 Самостоятельная работа (проверить уровень усвоения данной темы по заданиям открытого банка ЕГЭ)

Прототипы В12

8
Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

8
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Ответы:

-5
8
-3

4. Подведение итогов урока.
- Удалось ли нам достичь поставленных целей урока?
- Что нового вы узнали на уроке?
- Какие затруднения у вас были в работе?

5. Домашняя работа: п.32 № 32.16 , № 32.17(а), заданиями В12 ЕГЭ - найти и решить 3 задания открытого банка.

Read more ...

Автор(ы): Тарасова Н. Н.

Скачать: Алгебра 10кл - урок 3 (Тарасова Н. Н.).docx

урок 1 (Карпунина Л. Б.)

Название предмета Алгебра и начала анализа
Класс 10
УМК (Алгебра и начала анализа, А.Г.Мордкович, "Мнемозина", 2011год)
Уровень обучения (базовый)
Тема урока Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
Общее количество часов, отведенное на изучение темы-3ч
Место урока в системе уроков: первый урок
Форма урока: Урок по изучению и первичному закреплению новых знаний
Методы обучения: Объяснительно-иллюстративный
Метод учения: Репродуктивный и частично поисковый

Цели урока:

Регулятивные: обеспечить изучение понятия наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и алгоритма вычисления наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке с помощью производной.
Личностные: формировать основы гражданской идентичности личности и умение оценивать усваиваемый материал исходя из личностных ценностей.
Коммуникативные: способствовать развитию логического мышления, умений самостоятельно работать, навыков взаимоконтроля и самоконтроля, умений общаться.
Познавательные: развивать навыки построения логической цепи рассуждений, способствовать развитию самостоятельного решения проблем, монологической и диалогической математической речи.

Ход урока
1. Сообщение темы и целей урока.
2. Актуализация знаний и умений.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление.
5. Задание на дом.
6. Рефлексия.

1.Сообщение темы и целей урока.
Тема нашего урока “Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке”.
Сегодня мы вместе с вами научимся с помощью производной находить наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке.
Эпиграфом к уроку возьмем слова русского математика 19 века Пафнутия Львовича Чебышева. Он говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”.
С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения именно наибольшего и наименьшего значений функции. Это связано с тем, что в повседневной жизни приходится сталкиваться с тем, что надо определить наименьшие затраты на производство, наибольшую прибыль при сбыте продукции, определить оптимальную загрузку оборудования. И исходя из большой практической значимости, задание на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке включены в ЕГЭ по математике.

2. Актуализация знаний и умений.
а) Вы уже накопили некоторый опыт нахождения производной и исследования функции. Ответьте на вопросы:
1. Что значит исследовать функцию на монотонность?
2. Сформулируйте теорему о монотонности функции.
3. Какие точки называют точками экстремума?
4. Сформулируйте теорему о экстремумах.
5. Начертите (в тетради, один у доски) схему, на которой показана связь между производной функции, характером монотонности на промежутках и характером экстремумов.
6. Каков алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.

б) Работа по готовым чертежам.
Учащиеся на местах отвечают на поставленные вопросы, ответы заносят в таблицу.
На листах которые лежат перед вами в правом верхнем углу напишите свою фамилию, имя и класс.
Ваша задача ответить на поставленные вопросы, а ответы занести в таблицу.
Задание 1.
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-10;4).

1. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
2. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
3. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.
4. Найдите количество точек максимума функции f(x).
5. Найдите количество точек минимума функции f(x).
6. Найдите промежутки возрастания функции f(x) . В ответе укажите длину наибольшего из них.
7. Найдите наибольшее значение функции. В какой точке оно достигается?
8. Найдите наименьшее значение функции. В какой точке оно достигается?
Проверим: под правильным ответом ставим +, там где вы ответили неверно, ставим - .
1
2
3
4
5
6
7
8
5
6
3
1
2
4
3,в точке max
-5,3, в точке min

Задание 2.
На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-7;5)
.
1. Найдите количество точек экстремума функции f(x).
2. Найдите количество точек минимума функции f(x).
3. Найдите количество точек максимума функции f(x).
4. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите их количество.
5. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
6. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = 2х + 5 или совпадает с ней.

Проверим: под правильным ответом ставим +, там где вы ответили неверно, ставим - .
1
2
3
4
5
6
1
1
0
1
6
4

в) Самостоятельное решение заданий. (В тетрадях по вариантам, двое на откидных досках)
Исследуйте функцию на монотонность, найдите точки экстремума и определите их характер.
1 вариант: .
2 вариант: .
Поменяйтесь тетрадями с соседом по парте. Возьмите ручки с красной пастой. Проверяем. Поднимите руки, кто сделал правильно. Отложите листы, в конце урока сдадите на проверку.

3. Изучение нового материала.
а) Задание:
Посмотрите на следующий рисунок.
Рассмотрим возрастающую на отрезке [a;b] функцию:
в какой точке функция принимает наибольшее значение, а в какой наименьшее значение?
Сделаем вывод:
Если непрерывная функция _____________ на некотором отрезке, то своего наибольшего значения она достигает на ____________ конце отрезка, а наименьшего на _____________.

Задание:
На втором рисунке показана убывающая на отрезке [a;b] функция.
Определите по графику в каких точках функция принимает наибольшее значение, а в каких наименьшее значение.
Сделайте вывод:
Если непрерывная функция _____________ на некотором отрезке, то своего наибольшего значения она достигает на ____________ конце отрезка, а наименьшего на _______________.

Задание:
Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число точек экстремума.
В каких точках функция принимает наибольшее значение, а в каких наименьшее значение?
Сделайте вывод:
Если непрерывная на некотором отрезке функция имеет ______________, то своего наибольшего и наименьшего значения она может достигать как на ___________ промежутка, так и в точках _____________.

А теперь скажите мне, что же нужно сделать, чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции на отрезке. (дети отвечают)
Запишем алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y=f(x) на отрезке [а;b]:
1. найти производную f '(x) функции,
2. найти стационарные и критические точки, расположенные внутри отрезка,
3. вычислить значения функции в выбранных точках,
4. вычислить значения функции на концах отрезка,
5. из полученных значений выбрать наименьшее и наибольшее значения.
Посмотрите, опираясь на наши знания, мы ответили на главный вопрос нашего урока: Как найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке.
Открываем тетради и записываем тему нашего урока.

4. Закрепление.

Задание.
По записанному алгоритму найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

1. y = x³ – 27x на отрезке [0; 4].

Рассмотреть два способа решения (смотреть презентацию).

Остальные задания выполняем в тетрадях с контролем решения на доске учениками.

2. y = x³ – 3x + 4 на отрезке [– 2; 0] Ответ: 6
3. y = x³ – 2x² + x +3 на отрезке [ 1; 4 ] Ответ: 3
4. на отрезке [ -3; 3 ] Ответ: 11
5. на отрезке [-10; 1 ] Ответ: -12,5
6.(дополнительное) на отрезке [ 1; 9 ] Ответ: 37
7. y = 7cosx +16x – 2 на отрезке. Ответ: 5
8. y = 12cosx + 6√3 x – 2√3π + 6 на отрезке. Ответ: 12

5. Задание на дом.
Учебник §32, п.1.
Задачник №№ 32.10(а,б), 32.11(в,г), 32.12(а).

6. Рефлексия.
Продолжите фразы: Сегодня я узнал…
Теперь я могу…
Я научился…
Мне захотелось…

Read more ...

Автор(ы): Карпунина Л. Б.

Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Карпунина Л. Б.).doc

урок 2-3 (Карпунина Л. Б.)

Название предмета Алгебра и начала анализа
Класс 10
УМК (Алгебра и начала анализа, А.Г.Мордкович, год издания)
Уровень обучения (базовый)
Тема урока Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке.
Общее количество часов, отведенное на изучение темы-3ч
Место урока в системе уроков: второй и третий уроки
Цели:
Образовательная научить находить наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на промежутке, сформулировать основные теоретические положения, рассмотреть алгоритм решения такого вида задач, отработать шаги алгоритма, рассмотреть частные случаи;
Развивающая развивать умение работать в команде( паре), умение читать график функции, анализировать, сравнивать, обобщать и делать выводы, развивать исследовательские умения.
Воспитательная воспитывать упорство, трудолюбие, открытую познавательную позицию.

Ход урока
1. Оргмомент. Здравствуйте ребята. Садитесь. Начнем наш урок.
2. Тестирование.
Для начала, я предлагаю вам проверить вашу готовность к уроку с помощью небольшого теста.
Вариант 1.
2. Найдите значение выражения 6x1 + x2, где x1- точка минимума, x2 - точка максимума функции
1) 9; 2) 5; 3) –1; 4) -3.
3. Используя график функции y=f(x), укажите точку минимума:

1) –1; 2) 1; 3) 2; 4) 0.
1. Найдите промежутки возрастания функции
1) (0; 6); 2) (-∞; 0); 3) (6; +∞); 4) (0;1/6).
Вариант 2.
2. Найдите значение выражения 3x1 + x2, где x1- точка максимума, x2- точка минимума функции
1) 7; 2) –9; 3) 8; 4) 4.
3. Используя график функции y=f(x), укажите точку максимума:

1) –1; 2) 0; 3) 2; 4) 1.
1. Найдите промежутки убывания функции
1) (-∞; 0); 2) (0;1/2); 3) (0; 2); 4) (-2;0).
3 Самопроверка и самооценка
Обменяйтесь листочками. За каждый правильно решенный пример «+» - 1 балл. Поставьте оценки. Если получили 3 б – «5», если одна ошибка – «4», если 2 ошибки – «3»
Ответы 434, 341
Какие примеры вызвали затруднение? Что необходимо уточнить?

4. Коррекция знаний
1) Задания на вычисление производных.

у=(2х +5)5
у=х5 + 3х4 -2х – 5

2) Сформулируйте, какие точки называются стационарными? -/- критическими?

Назовите стационарные и критические точки по графику функции

3) Используя график функции, найдите интервалы монотонности и точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значения функции.

3) Сформулируйте признак максимума.
4) Сформулируйте признак минимума.
5) Назовите по данным таблицы промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и точки минимума.

x
(-∞; -1)
-1
(-1; 0)
0
(0; 2)
2
(2; +∞)
(x)
-
0
+
0
-
0
+
f(x)

-1

-3

5. Отчет творческой группы (Черепанова Ф. и Хандогиной А.) – анализ открытого банка заданий – типы задач. Планы их решения.
Итак, девочки выяснили, что в заданиях ЕГЭ, существует новый класс задач, задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции. Скажите пожалуйста, а можем ли мы найти наибольшее и наименьшее значения функции каким - нибудь способом? Да , с помощью графика функции. А легко ли это делать?..
Сегодня мы будем искать более простые пути решения данной задачи.
Итак. Тема урока «Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке».
6. Мотив изучения новой темы.
Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира.
Н.И. Лобачевский
Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, или как часто говорят, оптимального решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами, добиться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затрат времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. Не все такие задачи поддаются математическому описанию, не для всех из них найдены короткие пути решения. Однако часть таких задач поддается исследованию с помощью методов математического анализа – это задачи, которые можно свести к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции.
Наиболее важной для приложений ситуацией является следующая: функция y=f(x) задана на [a;b] и имеет производную во всех точках этого отрезка. Необходимо найти её наибольшее и наименьшее значение на [a;b].

7. Организация (исследовательской) работы групп
Ведение алгоритма
Сегодня я предлагаю вам выступить в роли исследователей. Разобьемся по парам. Каждая пара получает задание, выполнение которого должно привести вас к алгоритму решения таких задач, задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. На выполнение работы – 10 минут
8. Анализ результатов работы групп.
Результаты работы :

Выводы обсуждают с помощью мозгового штурма. Обобщают, уточняют и озвучивают.
Итак, в ходе работы вы получили несколько важных выводов. Послушаем их.

Должны быть сделаны следующие выводы:
1) Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на нем своего наибольшего и своего наименьшего значения.
2) Наименьшего и наибольшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
3) Если наибольшее ( или наименьшее) значения функции достигается внутри отрезка, то либо в критических точках, либо в стационарных точках.
4) Если функция y=f(x) не имеет на отрезке[a;b] критических и стационарных точек, тогда
а) если f´(x)>0 на (а; b)< f(x) – возрастает на [a;b], поэтому наибольшее значение на отрезке функция принимает в точке b ( правом конце промежутка), а наименьшее в точке а ( в левом конце промежутка).
б) если f´(x) <0 на (а; b) f(x) – убывает на [a;b], поэтому наибольшее значение на отрезке функция принимает в точке а (в левом конце промежутка), а наименьшее в точке b ( в правом конце промежутка).

На основании выше сказанного вы сформировали алгоритмы. Давайте на них посмотрим.
( Если не видно, то обменяться)

5 Усвоение алгоритма
Для чего нам в математике нужны алгоритмы? Чтобы научиться решать задачи.
Великий математик Д.... Пойя говорил:
Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на лыжах, или игре на фортепьяно: научиться этому можно, лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь…
Д. Пойя
Поэтому, я предлагаю вам рассмотреть образец решения задачи ( на интерактивной доске) Выделите шаги алгоритма в её решении.
Есть ли шаги, которые приведены в решении, но не прописаны в нашем алгоритме?
Как дополнить наш алгоритм
Какие шаги алгоритма мы умеем выполнять?
Какие шаги новые для нас?

Алгоритм
1. Найти D(f), содержится ли [a;b] в D(f)
2. Определить непрерывность и дифференцируемость функции на D(f)
3. Найти производную f´(x)
4. Найти стационарные и критические точки функции.
5. Выбрать те , которые лежат внутри отрезка [a;b]
6. Вычислить значения функции y=f(x), в отобранных на пятом шаге и на концах отрезка
7. Выбрать среди этих значений наименьшее ( это будет унаим) и наибольшее ( это унаиб)

9 Итоги урока
Чем занимались на уроке?(Познакомились с новым видом задач на наибольшее и наименьшее значения функции)
Каков алгоритм решения этих задач?
Какие частные случаи могут возникнуть?
10Домашнее задание

Read more ...

Автор(ы): Карпунина Л. Б.

Скачать: Алгебра 10кл - урок 2-3 (Карпунина Л. Б.).doc

Презентация к уроку

Презентация к уроку 1 (Тарасова Н. Н.)

Автор(ы): Тарасова Н. Н.
Скачать: Алгебра 10кл - Презентация к уроку 1 (Тарасова Н. Н.).pptx
Презентация к уроку 2 (Тарасова Н. Н.)

Автор(ы): Тарасова Н. Н.
Скачать: Алгебра 10кл - Презентация к уроку 2 (Тарасова Н. Н.).pptx
Презентация к уроку 3 (Тарасова Н. Н.)

Автор(ы): Тарасова Н. Н.
Скачать: Алгебра 10кл - Презентация к уроку 3 (Тарасова Н. Н.).pptx

Другие материалы

самостоятельная работа (Карпунина Л. Б.)

Автор(ы): Карпунина Л. Б.
Скачать: Алгебра 10кл - самостоятельная работа (Карпунина Л. Б.).rar

Тип материала

Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

Текст урока

урок 1 (Тарасова Н. Н.)

урок 2 (Тарасова Н. Н.)

урок 3 (Тарасова Н. Н.)

урок 1 (Карпунина Л. Б.)

урок 2-3 (Карпунина Л. Б.)

Презентация к уроку

Презентация к уроку 1 (Тарасова Н. Н.)

Презентация к уроку 2 (Тарасова Н. Н.)

Презентация к уроку 3 (Тарасова Н. Н.)

Другие материалы

самостоятельная работа (Карпунина Л. Б.)

Создание нового материала