Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Алгебра и начала анализа
10 класс
А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа.10 – 11 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень). МНЕМОЗИНА. Москва.2011
Уровень обучения: базовый
ТЕМА: Тригонометрические уравнения (повторение, 4 часа)
УРОК №1
ТЕМА УРОКА: Тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УРОКА:
1. Сформировать у учащихся умение решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим.
2. Развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации, развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения.
3. Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.
ПЛАН УРОКА:
1. Орг.момент.
2. Повторение изученного материала. Актуализация знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление изученного материала.
5. Домашнее задание.
ХОД УРОКА:
1. Орг.момент.
2. Повторение. Актуализация знаний.
Разминка: Ученикам предлагается игра «Верю – Не верю».
На слайдах быстро появляются утверждения, ученикам в предлагаемом бланке (См. Приложение №1) необходимо поставить «+» (утверждение верное) или «- « (утверждение не верное).
Вспомним материал: Для каждого варианта - задания на слайде, продолжите каждую запись. Время выполнения 3 минуты.
1 вариант 2 вариант
Критерий оценки: «5» - все 9 «+», «4» - 8 «+», «3» - 6-7 «+»
Знатоки формул: Повторение формул корней простейших тригонометрических уравнений.
3. Изучение нового материала
Ученикам предлагаются карточки с тригонометрическими уравнениями, которые учитель предлагает классифицировать, разложить на группы.
Получаются группы:
- уравнения, сводящиеся к простейшим;
- уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям (решаемые методом замены);
- однородные уравнения первой степени;
- однородные уравнения второй степени;
- уравнения, решаемые методом разложения на множители.
Сегодня мы поговорим о методах и способах решения уравнений из первой образовавшейся группы.
Учитель на доске демонстрирует методы решения и оформления уравнений. Возможно, ученики сами догадаются о методах решения таких уравнений. Тогда учитель дает им возможность высказать свое мнение и продемонстрировать решение уравнений на доске. Возможно, ученики предложат решать уравнения заменой F(x) переменной t.
Примеры:
1. ;
2.
3.
4. Закрепление изученного материала.
Учитель предлагает ученикам выполнить задания из Задачника: № 18.1 - № 18.5 (а,б)
5. Подведение итогов урока и домашнее задание.
Сегодня на уроке мы рассмотрели уравнения, сводящиеся к простейшим, которые имеют вид , , , . Данные уравнения также являются простейшими и решаются сначала относительно f(x), а затем полученные уравнения решаются относительно х.
В качестве домашнего задания учитель предлагает выполнить ученикам карточку (См. Приложение №2).
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ:
1. Математика. Устные вычисления и быстрый счет. Тренировочные упражнения за курс 7-11 классов: учебно-методическое пособие/Под.ред Ф.Ф.Лысенко.-Ростов-на- Дону: ЛЕГИОН-М,2010.
2. Мерзляк А.Г. Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов.-М.:Илекса,2007.
3. Методическая разработка урока по алгебре и началам анализа «Общие методы решения тригонометрических уравнений» для учащихся 10-11 классов. Автор разработки: учитель математики Бурякова Вера Николаевна. Самара,2011.
4. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень, 10-11 классы. М.: Мнемозина,2011г. (учебник и задачник)
5. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы (базовый уровень): методическое пособие для учителя.- М.:Мнемозина,2010.
6. Рурукин А.Н. Поурочные разработки по алгебре и началам анализа 10 класс к УМК А.Г. Мордковича.- М.:ВАКО,2011
7. Справочник тригонометрических формул «Прикладная математика» : http://www.pm298.ru/trig.php
8. Уральский Государственный Педагогический Университет Электронное учебное пособие на тему «Тригонометрические уравнения» http://mmetodika.narod.ru/index.html
Приложение №1
Бланк ответов на игру «Верю – Не верю»
№ утверждения
Ответ ученика
Отметка учителя
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Оценка
Приложение №2
Домашнее задание – тренажер «Простейшие тригонометрические уравнения»
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10) 11) 12)
13) 14) 15)
16) 17) 18)
19) 20) 21)
22) 23) 24)
25) 26) 27)
28) 29) 30)
31) 32) 33)
Автор(ы): Ефремкина С. Т.
Скачать: Алгебра 10кл - Урок 1 (Ефремкина С. Т.).docx 10 КЛАСС
Повторение: «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ» (4 часа)
В результате овладения содержанием всех модулей учащиеся должны
Знать:
понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса;
соотношения для арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса;
формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.
Уметь:
решать простейшие тригонометрические уравнения по числовой окружности и по формулам;
вычислять значения обратных тригонометрических функций;
решать однородные тригонометрические уравнения первой и второй степени;
решать тригонометрические уравнения разложением на множители и введением новой переменной;
осуществлять отбор корней в тригонометрических уравнениях.
Урок №2
Тема урока: "Решение тригонометрических уравнений"
Цели урока:
1. Развивающая
Развитие устной математической речи.
Обеспечение условий для развития умения решить тригонометрические уравнения, совершенствовать мыслительные умения старшеклассников; сравнивать, анализировать и обобщать, навыков обработки информации.
2. Образовательная
Создание условий для осознанного усвоения решения тригонометрических уравнений методами сведения к квадратному и разложения на множители.
Формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля, алгоритмической культуры учащихся.
3. Воспитательная
Развитие коммуникативных умений делового общения сверстников.
Воспитание аккуратности.
Тип урока: урок объяснения нового материала (получение новых знаний) с применением ИКТ. Использованы элементы уровневой дифференциации.
Методы: словесные, наглядные, информационно-коммуникативные.
Формы организации: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.
Учебник:
1).Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) /А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 7-е изд., стер. - М. : Мнемозина, 2011. -424с.
2). Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А.Г.Мордкович B И др.]; под ред. А.Г. Мордковича. - 7-е изд., стер.- М. : Мнемозина, 2011. -343с.
Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на разнообразных примерах (Г. Цейтен)
1)Организационный момент. Французский писатель Анатоль Франс (1844-1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело…Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни. Сегодня у нас обобщающий урок по теме «Тригонометрические уравнения». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решений тригонометрических уравнений. Перед нами стоит задача - показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Будем делать это поэтапно.
2)Закрепление материала
1 этап.
Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.
Указания учителя. Вспомните основные правила решения простейших тригонометрических уравнений. Запишите формулы решения.
Выполните письменно самостоятельную работу (5 минут)
Решите уравнения:
1 вариант 2 вариант
1) cos x = ½ 1) sin x = -1/2
2) sin x = -/2 2) cos x = /2
3) tg x = 1 3) ctg x = -1
4) 2 cos x = 1 4) 4 sin x = 2
2 этап.
Цель: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.
Указания учителя.
Метод сведения к квадратному состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y.
Пример. 4 - cos2 x = 4 sin x Так как cos2 x = 1 - sin2 x, то 4 - (1 - sin2 x) = 4 sin x,
3 + sin2 x = 4 sin x, sin2 x - 4 sin x + 3 = 0,
Пусть y = sin x, получим уравнение
y 2 - 4 y +3 = 0 у1=1; у2=3.
sin x =1, x = π/2 + 2πn, n€ Z, или sin x = 3, решений нет.
Ответ: x = π,/2 + 2πn, n€ Z.
Выполните письменно самостоятельную работу (6 минут)
Решите уравнения:
Первое уравнение - уровень А, второе уравнение - уровень В
1 вариант 2 вариант
1) tg2 x - 3 tg x + 2 = 0; 1) 2 + cos2 x - 3 cos x = 0;
2) 2 cos2 x + 5 sin x - 4 = 0; 2) 4 - 5 cos x - 2 sin2 x =0;
3 этап.
Цель: закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.
Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой - 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений.
Пример. 2 sin3 x - cos2x - sin x = 0
Сгруппируем первый член с третьим, а cos2x = cos2x - sin2x.
(2sin3 x - sin x) - (cos2 x - sin2x) = 0,
Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sinx, а cos2x = 1 - sin2x.
sin x (2sin2 x - 1) - (1 - 2 sin2 x) = 0,
sin x (2sin2 x - 1) + (2 sin2 x - 1) = 0,
(2 sin2 x - 1) • (sin x + 1) = 0.
2 sin2 x - 1 = 0
или
sin x + 1 = 0
sin2 x = 1/2, или πsin x = - 1
sin x = ±1/v2
Ответ: x1 = ± π/4 + πn, n € Z, x2 = - π/2 +2πk, k € Z.
Выполните письменно самостоятельную работу (6 минут)
Решите уравнения:
Первое уравнение - уровень А, второе уравнение - уровень В
1 вариант 2 вариант
1) sin2 x - sin x = 0, 1) ctg2 x - 4 ctg x = 0,
2) 3 cos x + 2 sin 2x = 0, 2) 5 sin 2x - 2 sin x = 0.
3)Подведение итогов урока.
А.Энштейн говорил так: "Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, важнее. Политика только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно".
Вывод:
обобщили знания и отработали навыки решения тригонометрических уравнений различными способами;
развили чувство самостоятельности и ответственности за качество своих знаний;
развили навыки самоконтроля, умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных действий.
Оценивание:
За работу у доски:
За активное участие на уроке:
Задание на дом.
"Алгебра и начала анализа" ч. 2 Задачник под ред. А.Г.Мордковича. Стр.46 № 18.6 – 18.7 (а, б), №18.9 (в, г).
Автор(ы): Ефремкина С. Т.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 2 (Ефремкина С. Т.).docx Алгебра и начала анализа
10 класс
А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа.10 – 11 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень). МНЕМОЗИНА. Москва.2011
Уровень обучения: базовый
ТЕМА: Тригонометрические уравнения (повторение, 4 часа)
УРОК №3
ТЕМА УРОКА: Решение однородных тригонометрических уравнений.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УРОКА:
1. Сформировать у учащихся умение решать однородные тригонометрические уравнения.
2. Развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации, развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения.
3. Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.
ПЛАН УРОКА:
1. Орг.момент.
2. Повторение изученного материала. Актуализация знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление изученного материала.
5. Домашнее задание.
ХОД УРОКА:
1. Орг.момент.
2. Повторение. Актуализация знаний.
Указания учителя. Давайте вспомним тригонометрические уравнения специального вида.
Найдите в учебнике определения (с.108) и прочитайте их.
Определение: Однородными тригонометрическими уравнениями первой степени называются уравнения вида asinx + bcos x = 0, однородными тригонометрическими уравнениями второй степени называются уравнения вида
a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, и т.д., где a, b, c - числа.
3. Повторим, как решаются такие уравнения, на примерах.
Пример 1. 5 sin x - 2 cos x = 0
Поделим обе части уравнения на cos x (или на sin x). Предварительно докажем,
что cos x не равен 0 (или sin x не равен 0). (Пусть cos x = 0, тогда 5 sin x - 2 • 0 = 0, т.е. sin x = 0; но этого не может быть, так как sin2 x + cos2 x = 1).
Значит, можно делить на cos x:
5 sin x /cos x - 2 cos x / cos x = 0 / cos x. Получим уравнение
5 tg x - 2 = 0, tg x = 2/5, x = arctg 2/5 +πn, n € Z. Ответ: x = arctg 2/5 + πn, n € Z.
Аналогично решаются однородные уравнения вида a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, их решение начинается с того, что обе части уравнения делятся на cos2 x (или на sin2 x).
Пример 2. 12 sin2 x + 3 sin 2x - 2 cos2 x = 2.
Данное уравнение не является однородным, но его можно преобразовать в однородное, заменив 3 sin 2x на 6 sin x cos x и число 2 на 2sin2 x + 2cos2 x.
Приведя подобные члены, получим уравнение
10sin2 x + 6sin x cos x - 4 cos2 x = 0.
(Пусть cos x = 0, тогда 10sin2 x = 0, чего не может быть, т.к. sin2 x + cos2 x = 1, значит, cos x не равен 0).
Разделим обе части уравнения на cos2 x.
10 tg2 x +6 tg x - 4 = 0, tg x = -1 или tg x = 2/5,
x = - π/4 + πn, n € Z, x = arctg 2/5 + πk, k €Z.
Ответ: x1 = - π/4 + πn, n €Z, x2 = arctg 2/5 + πk, k € Z.
4. Закрепление.
Выполните письменно самостоятельную работу (8 минут)
Решите уравнения:
Первое уравнение - уровень А, второе уравнение - уровень В
1 вариант 2 вариант
1) sin x - cos x = 0, 1) 5sin x +6cos x = 0,
2) sin2 x - sin 2x = 3 cos2 x, 2) 3sin2 x - 2sin 2x +5cos2 x = 2.
Следующий этап. Назовем его «Мой выбор». (На этом этапе задания дифференцируются по степени сложности для слабых и сильных учащихся)
Указания учителя.
Теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы.
Выполните письменно самостоятельную работу
Решите уравнения: (для слабых учащихся)
1 вариант 2 вариант
1) cos 2x -5 sin x - 3 = 0, 1) cos 2x + 3 sin x = 2,
2) sin 2x + cos 2x = 0, 2) sin 2x - cos 2x = 0,
3) cos2 x - cos 2x = sin x, 3) 6 - 10cos2 x + 4cos 2x = sin 2x,
4) sin 4x - cos 2x = 0, 4) cos x cos 2x = 1.
Выполните письменно самостоятельную работу (для сильных учащихся)
(Задания даются в одном варианте, т.к. их решают не все учащиеся. Время, отводимое на эту работу, определяется учителем (ситуацией на уроке)).
Решите уравнения:
1. sin 6x + cos 6x = 1 - sin 3x,
2. 29 - 36 sin2 (x - 2) - 36 cos (x - 2) = 0,
3. 2sin x cos x + - 2 cos x - v3 sin x = 0,
4. sin 4x = 2 cos2 x - 1,
5. sin x (sin x + cos x ) = 1,
6. 1/(1 + cos2 x) + 1/(1 + sin2 x) =16/11.
Подсказки:
1. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 6x, cos 6x.
2. Обозначьте x - 2 = y, решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы sin2 y = 1 - cos2 y.
3. Сгруппируйте первое и третье слагаемое, примените разложение на множители.
4. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 4x, cos 4x, формулой понижения степени 2cos2 x - 1 = cos 2x.
5. Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.
6. Приведите дроби к общему знаменателю, затем используйте основное тригонометрическое тождество sin2 x + cos2 x = 1, сведите уравнение к квадратному.
Оцените свои работы самостоятельно.
5. Итоги урока.
Задание на дом.
"Алгебра и начала анализа" ч. 2 Задачник под ред. А.Г.Мордковича. Стр.47 № 18.11 (а, б), №18.12 (в, г).
Вывод:
обобщили знания и отработали навыки решения однородных тригонометрических уравнений различными способами;
развили чувство самостоятельности и ответственности за качество своих знаний;
развили навыки самоконтроля, умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных действий.
Автор(ы): Ефремкина С. Т.
Скачать: Алгебра 10кл - Урок 3 (Ефремкина С. Т.).docx Алгебра и начала анализа, 10 класс
А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа.10 – 11 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень). МНЕМОЗИНА. Москва.2011
Уровень обучения: базовый
ТЕМА: Тригонометрические уравнения (повторение, 4 часа)
УРОК №4
Цели урока:
1. Образовательные:
сформировать у учащихся умения и закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;
сформировать умения классифицировать по методам решений, применять эти методы в новой ситуации.
2. Развивающие:
развитие умения самостоятельного решения типовых задач, связанных с применением методов решения тригонометрических уравнений;
развитие устойчивого интереса к математике, мыслительных и творческих способностей, а также творческой активности;
содействовать развитию логического, математического мышления учащихся.
3. Воспитательные:
воспитывать чувство ответственности в связи с преодолением трудностей в процессе умственной деятельности, формировать навыки самооценки;
содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся в ходе проговаривания алгоритмов решения тригонометрических уравнений.
Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков решения тригонометрических уравнений.
Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый.
Форма организации учебной деятельности:
1. Фронтальная;
2. Индивидуальная;
3. Самопроверка, взаимопроверка.
Оборудование: экран, проектор, карточки для самостоятельной работы, стенд «Решение простейших тригонометрических уравнений», стенд «Формулы преобразования тригонометрических выражений», стенд «Значения тригонометрических функций», доска, мел, оценочные листы.
Учебник Алгебра и начала анализа 10 класс А.Г. Мордкович, П.В. Семенов Задачник Алгебра и начала анализа 10 класс А.Г. Мордкович. П.В. Семенов.
План урока:
1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация (1 мин.);
2. Повторение сформированных умений и навыков, являющихся опорой (9 мин.):
2.1. Метод подстановки;
2.2. Решение тригонометрических уравнений, приводящихся к предыдущему типу, по формулам:
sin2x + cos2x = 1;
ctg x * tg x = 1;
cos 2x = 1– 2 sin2x;
cos 2x = 2cos2x -1;
2.3. Метод разложения на множители.
3. Ознакомление с новыми умениями, показ образцов решения тригонометрических уравнений (25 мин):
3.1. Решение однородных уравнений второй степени;
3.2. Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функций;
3.3. Метод использования свойства ограниченности функции;
3.4. Дифференцированная самостоятельная работа (7 мин.);
4. Подведение итогов урока. Рефлексия (2 мин.);
5. Информация о домашнем задании, инструкция о его выполнении (1 мин.).
Ход урока
1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
Учитель: Сегодня на уроке рассмотрим различные методы решения тригонометрических уравнений. Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные методы стоит держать в зоне своего внимания. Повторим, приведем в систему изученные виды, типы тригонометрических уравнений, рассмотрим методы решения тригонометрических уравнений. Знания, умения, навыки, полученные в процессе работы, гарантируют успешное выполнение соответствующих заданий ЕГЭ.
2. Повторение сформированных умений и навыков, являющихся опорой; проведение проверочных упражнений.
2.1. Метод подстановки
2.2. Решение тригонометрических уравнений, приводящихся к предыдущему типу, по формулам:
sin2x + cos2x = 1;
ctg x * tg x = 1;
cos 2x = 1– 2 sin2x;
cos 2x = 2cos2x - 1;
2.3. Метод разложения на множители
2.4. Решение однородных уравнений первой степени
Учитель обращает внимание учащихся на стенды:
1. Решение простейших тригонометрических уравнений;
2. Формулы преобразования тригонометрических выражений;
3. Значения тригонометрических функций.
Учащиеся представляют свои схемы решения каждого из простейших тригонометрических уравнений.
Ученик: Метод замены переменной
Этот метод нам хорошо известен, мы не раз применяли его при решении различных уравнений. Вот как он применяется при решении тригонометрических уравнений.
Слайд 1, (приложение 1) комментирует ученик.
Решить уравнение 2 sin2x – 5 sin x + 2 = 0
Вопрос учителя: Объясните, на каком основании уравнение sin x = 2 не имеет решения?
Ученик с места: | sin x| ≤ 1, т. е -1 ≤ sin x ≤ 1
Слайд 2, (приложение 1) комментирует ученик.
Решить уравнение: cos2x – sin2x – cos x = 0.
Слайд 3, (приложение 1) комментирует ученик.
Решить уравнение: tg ½ x + 3 ctg ½ x = 4.
Ученик: Теперь о втором методе решения тригонометрических уравнений – методе разложения на множители. Суть этого метода нам знакома: если уравнение f(x) = 0 удается преобразовать к виду f1(x) * f2(x)= 0, то либо f1(x)= 0, либо f2 (x)= 0. Задача сводится к решению совокупности уравнений f1(x)= 0; f2 (x)= 0.
Слайд 4, (приложение 1) комментирует ученик.
Решить уравнение: (sin x – 1/3) (cos x + 2/5) = 0.
Слайд 5, (приложение 1) комментирует ученик.
Решить уравнение 2 sin x * cos 5x – cos 5x = 0.
Учитель: Переход к совокупности уравнений f1(x)= 0; f2 (x)= 0 – не всегда безопасен. Рассмотрим tg x (sin x – 1) = 0. Из уравнения tg x = 0 находим x = πn, из уравнения sin x = 1, находим x = π/2 + 2 πn. Но включать обе серии решений в ответ нельзя. Дело в том, что при значениях x = π/2 + 2 πn входящий в заданное уравнение множитель tg x не имеет смысла, т.е. значения x = π/2 + 2 πn, не принадлежат области определения уравнения (области допустимых значений – ОДЗ), это посторонние корни.
Записывается уравнение учителем на доске, а решение диктуют ученики, так же приводится запись ответа.
Ученик: Уравнение a sin x + b cos x = 0 называют
однородным тригонометрическим уравнением первой степени;
Итак, дано уравнение a sin x + b cos x = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0.
Разделив обе части уравнения почленно на cos x, получим: a tg x + b = 0, в итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению tg x = - b /a
Учитель: Внимание! Делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на нуль делить нельзя!). Предположим, cos x = 0, тогда уравнение примет вид a sin x = 0, т.е. sin x = 0, вы ведь не забыли, что a ≠ 0). Получается, что и cos x = 0, и sin x = 0, а это невозможно, так как sin x, cos x одновременно равняться нулю не могут, т.к. обращаются в нуль в различных точках.
(sin2x + cos2x =1) Деление не приведет к потере корней!
3. Ознакомление с новыми умениями, показ образцов:
на уровне восприятия, осмысления, запоминания;
на уровне применения знаний по образцу;
на уровне применения знаний в новой ситуации.
3.1. Решение однородных уравнений второй степени
3.2. Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функций;
3.3. Метод использования свойства ограниченности функции;
Рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второй степени a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0, где a ≠ 0, b ≠0.
Разделив почленно на cos2x ≠ 0, x ≠ ½ π + πn, n Є Z, получим a tg2x + b tg x + с = 0. Это квадратное уравнение относительно новой переменной z = tg x.
Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении а = 0, тогда уравнение примет вид b sin x cos x + c cos2x = 0, это уравнение можно решить методом разложения на множители
Учащиеся вместе с учителем формулируют алгоритм решения уравнения
a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 (приложение 2)
Слайд 8, (приложение 1) демонстрирует и комментирует учащийся.
Решить уравнение: sin2x - 3 sinx cos x + 2 cos2x = 0,
У доски ученик решает уравнение: √3 sin x cos x + cos2x = 0,
Р е ш е н и е: Здесь отсутствует член вида a sin2x, значит делить обе части уравнения на cos2x нельзя, это приведет к потере корней. Решим методом разложения на множители:
cos x (√3 sin x + cos x) = 0
cos x = 0, или √3 sin x + cos x = 0
Из первого уравнения находим: x = ½ π + πn, n Є Z.
Второе уравнение – однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Решим его с помощью почленного деления обеих частей уравнения на cos x ≠ 0, √3 sin x cos x + cos2x = 0; √3 tg x + 1 = 0;
tg x = - √3/3, x = arctg (- √3/3) + πn, т.е. x = 1/6 π + πn.
Ответ: x = ½ π + πn, x = 1/6 π + πn; n Є Z.
Учитель: Встречаются однородные тригонометрические уравнения более высоких степеней, идеология их решения та же самая
У доски ученик решает уравнение:
sin2x + sin2x cos x – 3 sin x cos2x = 0,
Р е ш е н и е: Разделив обе части уравнения почленно на cos2x ≠ 0,
Деление не приведет к потере корней, т.к. при х = ½ π + πn, n Є Z,
получим в левой части либо 1, либо -1, следовательно, эта серия корней не удовлетворяет заданному уравнению. Получим:
tg2x + tg2x -3 tg x - 3 = 0;
tg2x (tg x + 1) – 3(tg x + 1) = 0;
(tg x + 1) (tg2x - 3) = 0. Значит либо tg x = -1, либо tg x = ±√3. Из первого уравнения находим: x = arctg (-1) + πn, т.е. x= - ¼ π + πn.
Из второго уравнения находим: x = ± arctg √3 + πn,
Ответ: x= -¼ π + πn; x = ±1/3 π+ πn, n Є Z.
Учитель: Следующий метод - метод использования свойства ограниченности функции
Суть этого метода заключается в следующем: если функции f(x) и g(x) таковы, что для всех выполняется неравенство f(x) ≤ а и g(x)≤ в, и дано уравнение f(x) + g(x) = а + в, то оно равносильно системе
Решить уравнение: sin x/3 - cos 6x = 2
Р е ш е н и е: Поскольку -1 ≤ sin x/3 ≤ 1 и -1 ≤ cos 6x ≤ 1, имеем систему:
Учащиеся оформляют решение в тетрадях.
4. Дифференцированная самостоятельная работа:
тренировочные упражнения по образцу, алгоритму;
упражнения на перенос в сходную ситуацию.
Проверка выполнения самостоятельной работы и индивидуальная работа с теми, кто допустил ошибки.
Условие самостоятельной работы:
Провести классификацию уравнений по методам решения и решить
Вариант I (I уровень сложности)
Вариант II (II уровень сложности)
1. Решить уравнение: 2 sin2 x – 3 sin x - 2 = 0
2. Решить уравнение: 2 sin2 x – 3 cos x = 3
3. Решить уравнение: cos 2x - 2 cos x = 0.
4. Решить уравнение: sin2 x - 3 sin x cos x - 4 cos2 x = 0,
5. Решить уравнение: sin 6x + sin 2x = 0.
Учащиеся осуществляет самопроверку по готовому решению на доске, убрав «шторку», получают разъяснения по возникающим при этом вопросам.
Учитель работает с теми, кто допустил ошибки.
5. Подведение итогов. Рефлексия.
Учитель: Итак, подведем итоги урока.
Какими методами можно решать тригонометрические уравнения?
Ответы учащихся:
1. Разложение на множители;
2. Метод замены переменной:
3. Сведение к однородному уравнению;
4. Использование свойств функций, входящих в уравнение:
обращение к условию равенства тригонометрических функций;
использование свойства ограниченности функции.
Ребята сдают оценочные листы
Рефлексия. Продолжите фразу: Самым сложным на уроке было…Самым интересным при работе для меня было…Самым неожиданным для меня было…
6. Информация о домашнем задании, инструкция о его выполнении
Решить уравнение: 2 sin2 x + cos 4 x = 0
sin4 x + cos4 x = cos22 x + ¼
sin 2 x = cos x - sin x.
Автор(ы): Ефремкина С. Т.
Скачать: Алгебра 10кл - Урок 4 (Ефремкина С. Т.).docxАлгебра и начала анализа Класс: 10 УМК «Алгебра и начала анализа» под ред. Мордковича А. Г. – 2011 г. Уровень обучения: базовый Тема урока: «Повторение. Тригонометрические уравнения» Общее количество часов, отведенное на повторение: 11 часов Место урока в системе уроков по теме: 2 урок Цель урока: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы, создать условия контроля усвоения знаний и умений; Задачи урока: содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, сравнивать; формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения; отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития. вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке; способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности. Планируемые результаты: Уметь: - преобразовывать простые тригонометрические выражения; решать тригонометрические уравнения; - извлекать необходимую информацию из учебно-научных текстов. Техническое обеспечение урока: доска; карточки для индивидуальной работы учащихся; таблица ответов для проверки индивидуальных заданий, оценочные листы на каждого ученика. Содержание урока: План урока: 1.Организационный момент. 2.Устная работа. 3. Проверка домашнего задания. 4.Фронтальное решение задачи. 5.Самостоятельная работа по карточкам. 6.Самоконтроль. 7.Разбор различных типов заданий. 8. Домашнее задание. 9. Рефлексия. 10.Подведение итогов урока. Ход урока. 1.Организационный момент. Учащиеся рассаживаются по 4 человека за столы, образуя команды. Приветствие учащихся. Постановка цели урока. Ребята, мы разобрали с Вами простейшие 4 типа тригонометрических уравнений. Сегодня нам предстоит повторить и применить полученные знания и умения при решении различных заданий. Перед Вами стоит задача-показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Все виды работ на уроке будут оценены, результаты своей работы Вы будете заносить в оценочный лист. 2.Устная работа. Повторим формулы корней простейших тригонометрических уравнений. №1 1. При каком значении a уравнение cos x = a имеет решение? 2. Какой формулой выражается это решение? 3. На какой оси откладывается значение a при решении уравнения cos x = a? 4. В каком промежутке находится arccos a? 5. Каким будет решение уравнения cos x = 1? 6. Каким будет решение уравнения cos x = -1? 7. Каким будет решение уравнения cos x = 0? 8. Чему равняется arccos (-a)? №2 1. При каком значении a уравнение sin x = a имеет решение? 2. Какой формулой выражается это решение? 3. На какой оси откладывается значение a при решении уравнения sin x = a? 4. В каком промежутке находится arcsin a? 5. Каким будет решение уравнения sin x = 1? 6. Каким будет решение уравнения sin x = -1? 7. Каким будет решение уравнения sin x = 0? 8. Чему равняется arcsin (-a)? №3 1. В каком промежутке находится arctg a? 2. Чему равняется arctg (-a)? 3. Какой формулой выражается решение уравнения tg x =a? 4. Каким будет решение уравнения tg x = 1, 5. Каким будет решение уравнения tg x = 0 6. Каким будет решение уравнения tg x = -1 №4 1. В каком промежутке находится arcctg a? 2. Чему равняется arcctg (-a)? 3. Какой формулой выражается решение уравнения ctg x =a? 4. Каким будет решение уравнения ctg x = 1 5. Каким будет решение уравнения ctg x =0 6. Каким будет решение уравнения ctg x = - 1 3.Проверка домашнего задания. Вспомним домашнее задание (заранее на экране написано решение домашнего задания, ученики сверяются). У кого есть вопросы? За правильные решения ставите себе по 1 баллу. «3» 4- «4» «5» Ответ: а) б) 4 . Фронтальное решение Установите соответствие между уравнением и его корнями: А. 2 sin x = 1 1. Б. sin x = 1 2. В. – 2 cos x = 1 3. Г. cos3x = 4. Д. 2 tg x = 5. 5. Самостоятельная работа. Ребята, а теперь, прежде чем приступить к самостоятельной работе, вспомним основные методы решения тригонометрических уравнений. *На экране проецируются основные виды тригонометрических уравнений, методы их решений 1. Введение новой переменной. 2sin2x – 5sinx + 2 = 0. Пусть sinx = t, |t|≤1, Имеем: 2t2 – 5t + 2 = 0. 2. Разложение на множители 2sinx cos5x – cos5x = 0; cos5x (2sinx – 1) = 0. 3. Однородные тригонометрические уравнения. I степени a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). Разделим на cosx ≠ 0. Получаем и решаем: a tgx + b = 0; II степени a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0. 1) если а ≠ 0, разделим на cos2x ≠0 имеем: a tg2x + b tgx + c = 0. 2) если а = 0, то имеем: b sinx cosx + c cos2x =0; разделим на cos2x ≠0 получаем и решаем b tgx + c = 0 Теперь проверьте свои знания и умения по данной теме. Учащимся предлагается выполнить самостоятельную работу по карточкам. Каждое правильное решенное уравнение оценивается 1 баллом. 4 участника в команде одновременно выполняют письменную работу на отдельных листочках и по окончанию одновременно передают друг-другу по плечу для взаимопроверки. Уравнения Ответы 1 π/4 +2 πk 2 3 3 sin x+ 5 cos x = 0 5 sin2 х - 3 sinх cos х - 2 cos2х =0 - arctg 5/3+ πk, k Z. π/4 + πk; - arctg 0,4 + πn, k, n Z. 4 5 3 cos2х + 2 sin х cos х =0 5 sin2 х + 2 sinх cos х - cos2х =1 π/2 + πk; - arctg 1,5 + πn, k, n Z. π/4 + πk; - arctg 0,5 + πn, k, n Z. уравнения ответы 1 2 πk, ( 2 π)/3+2 πk 2 3 2 cos x+ 3 sin x = 0 6 sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0 - arctg 2/3+ πk, k Z. arctg 1/3+ πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z. 4 5 2 sin2 x – sin x cosx =0 4 sin2 х - 2sinх cos х - 4 cos2х =1 πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z. -π/4 + πk; - arctg 5/3 + πn, k, n Z. 6. Самоконтроль. На партах- таблица ответов. Проверьте результаты своей работы по таблице и оцените ее. Проводится сравнительный анализ результатов работы. 7. Разбор различных типов заданий (подготовка к ЕГЭ) 2 сильных ученика приглашаются к доске для индивидуальной работы. Им выдаются карточки с заданиями, которые они решают на доске. №1 а) Решите уравнение б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку №2 а) Решите уравнение. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . В это время остальные решают задания по карточкам, в конце сверяются по готовым ответам. Сверка ответов: 1 , б) 2 ,, б) 8. Дифференцированное домашнее задание. Решите уравнения Оценка «3»: 1. 2. 3. Оценка «4»: 4. 5. Оценка «5»: 6. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения 9.Рефлексия Ребята, в начале урока Вы мне сказали, что у Вас отличное настроение, и сейчас в конце урока я вновь хочу узнать о вашем настроении. А узнаю я его так: на своих оценочных листах имеется синусоида, на которой Вы отмечаете точками своё настроение. 10 . Подведение итогов. Оценочные листы знаний сдаются учителю, за работу на уроке ставится оценка в журнал. Итак, сегодня мы проверили знания и умения решения простейших тригонометрических уравнении и первых 4 типов и уравнений, приводимых к ним. Рассмотрели примеры применения их при выполнении различных типов заданий, что вам потребуется при сдаче ЕГЭ. Комментирование результатов работы учащихся. Выставление оценок.
Автор(ы): Корчагина Л. В.
Скачать: Алгебра 10кл - Конспект (Корчагина Л. В.).docx Урок по теме: «Решение тригонометрических уравнений»
Тип урока: урок повторения и обобщения знаний, закрепления умений.
Цели и задачи урока:
1) образовательные – сформировать у учащихся умение различать тригонометрические уравнения по способам решения, отработать навыки решения всех видов тригонометрических уравнений;
2) развивающие – развивать умения работать с книгой, самостоятельно добывать знания; развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в изменённой ситуации; развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщение;
3) воспитательные – воспитывать трудолюбие, умение общаться со своими сверстниками в процессе работы в парах, аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.
Оборудование урока: презентация, магнитная доска, карточки; чистые листы для самостоятельной работы; таблицы по тригонометрии:
а) значения тригонометрических функций;
б) решение простых тригонометрических уравнений (частные случаи);
в) основные формулы тригонометрии;
Литература:
1. А. Н. Колмогоров Алгебра и начала анализа, 10-11.
2. М.И. Башмаков Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл сред. шк..
3. В.С. Крамор. Повторяем курс алгебры.
Структура урока:
Организационный этап
Мотивация.
Этап применения знаний и способов деятельности
Подведение итогов. Рефлексия.
Ход урока:
Учебный элемент
Учебный материал с указанием заданий.
Руководство по усвоению материала
УЭ0
2
мин
Задача: подготовить учащихся к работе на уроке. Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку, организация внимания.
Великий физик, математик и политик А. Эйнштейн заметил: «Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». Сегодня на уроке мы повторяем, приводим в систему наши знания по решению тригонометрических уравнений. И ваша задача – показать свои знания и умения по их решению.
Пояснить учащимся, что в процессе работы над учебными элементами учащиеся они уметь:
1 уровень – решать простейшие тригонометрические уравнения; решать тригонометрические уравнения по заданному алгоритму.
2 уровень – решать тригонометрические уравнения, самостоятельно выбирая метод решения.
3 уровень – применять полученные знания в нестандартных ситуациях.
1 уровень – самый общий, т.е. знаниями этого уровня должны овладеть все учащиеся.
2 уровень включает все, что достигнуто на 1 уровне, но в более сложном виде.
3 уровень – все, что достигнуто на 1 и 2 уровнях, но теперь должно применяться в нестандартных ситуациях.
Внимательно ознакомьтесь с интегрирующей целью модуля.
УЭ1-УЭ4 соответствуют 1 уровню подготовки.
УЭ5 обеспечивает 2 уровень.
УЭ6 – 3 уровень подготовки.
Вся работа над данным модулем сопровождается оценочным листом.
УЭ 1
7мин
Тригонометрия традиционно популярна при проведении всевозможных экзаменов (в том числе ЕГЭ), конкурсов, олимпиад. В связи с этим очень важно научиться решать тригонометрические уравнения, определять способы решения тригонометрических уравнений.
1. Устно:
Что называется arcsin а?
Что называется arccos а?
Чему равен arcsin (-а)?
Чему равен arccos (-а)?
Назовите формулу нахождения корней уравнения вида sin x = a.
Назовите формулу нахождения корней уравнения вида cos x = a.
2. Вычислите:
1) arcsin ; 2) arccos ; 3) arctg ; 4) arcsin .
3. Решите уравнения
1) sin x = 1,5; 2) cos x = -2.
4.Найти ошибки в решениях тригонометрических уравнений:
(±) (-1k) (πk)
(верно) (πk)
sin x = 0, Х= (верно)
4.Каким способом можно решить уравнения.
1.cos (4x – 2) = ; 2. cos2 x – 2cos x = 0;
3. cos2 x – sin2 x = 1; 4. sinx +sin3x = sin5x – sinx;
5. 3sin2 x – 5sin x – 2 = 2; 6. 2sin x – 3cos x = 0; 7. (tg x - )(2sin + 1) = 0;
8. 3sin2 x – 4sin x cos x + cos2 x = 0;
9. ; cos x + cos 2x + cos 3x = 0
Учащиеся должны определить вид записанных тригонометрических уравнений и рассказать о способах решения.
Оценивают свои знания самостоятельно от 1 до 3 баллов.
УЭ 2
10
мин
Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.
Решите самостоятельно уравнения :
1 вариант
2 вариант
cos x= ½ (1 балл)
sin x= -1/2 (1 балл)
sin x= - (1 балл)
cos x= (1 балл)
tg x= 1 (1 балл)
ctg x= -1 (1 балл)
cos(x+)= 0 (2 балл)
sin(x-)= 0 (2 балла)
2cos x= 1 (1 балл)
4sin x= 2 (1 балл)
sin 4x=1 (2 балла)
cos 4x= 0 (2 балла)
Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений, используя учебникпод редакцией А.Н.Колмогорова.
Выполните письменно самостоятельную работу.
Проверьте правильность решения с учителем. Проставьте число набранных баллов в свой оценочный лист. Если набрано 6 баллов и больше, переходите к УЭ2. Если набрано мень-ше 6-ти баллов, следует прорешать задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Проставьте набран ные баллы в графу «Корректирующие задания».
УЭ3
(8 мин)
Цель: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.
Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x ) или комбинацию функций обозначить через у, получив при этом квадратное уравнение относительно у.
Пример. Решить уравнение 4 - .
Решение: Вместо подставим тождественное ему выражение Тогда исходное уравнение примет вид
Если ввести y = sin x , получим квадратное уравнение
Оно имеет корни 1 и 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
sin x = 1 или sin x = 3.
Уравнение sin x = 1 имеет решение x = n, n.
Уравнение sin x = 3 решений не имеет.
Ответ:
1 вариант
2 вариант
(2 б)
Работая в парах, прочитайте внимательно данные объяснения.
Выполните самостоятельные работы.
Проверьте свою работу с учителем, исправьте ошибки, проставьте количество набранных баллов в оценочный лист.
Если набрано 5 баллов, то переходите к следующему этапу, если же меньше, то решайте задание другого варианта, аналогичные тому, в котором была ошибка.
УЭ 4
(8 мин)
Цель: закрепить навык решения однородных уравнений.
Покажем как решать однородное уравнение 1-й степени, т.е.
Пример 1. Решить уравнение .
Поделим обе части уравнения на cos x или sin x. Но предварительно надо доказать, что это выражение никогда не обращается в нуль. Предположим, что cos x=0. Тогда 5sin x-2∙0=0 sin x=0. Получается, что если sin x=0, то и cos x=0 , чего быть не может ввиду равенства .
Значит можно поделить уравнение на cos x:
Получим уравнение 5tg x-2=0. Отсюда .
Решение однородных уравнений вида начинается с того, что обе части уравнения делят на .
Пример 2. .
Решение. Данное уравнение не является однородным. Но его можно превратить в однородное, заменив 3sin2x на 6sin x cos x и число 2 на .
Приведя подобные слагаемые, получим уравнение
. Аналогично решению примера 1, докажем, что cos x0 .
Тогда можно обе части уравнения поделить на . Получим
или . Отсюда
.
Самостоятельная работа.
1 вариант
2 вариант
8 (2 балла)
(2 балла)
3
(3 балла)
(3 балла)
Работая в парах, прочитайте пояснения и выполните самостоятельно задания.
Если набрано 5 баллов, то можно переходить к УЭ5. Если набрано менее 5 баллов, то нужно прорешать тот пример другого варианта, где допущена ошибка.
УЭ5(2 м)
Физкультминутка. Примите удобную позу сидя на стуле. В положении сидя, ноги согнуты в коленях под углом приблизительно 100 градусов. Согните стопу, опираясь на пятку и приведя к голени, свободно отпустите. Вместе и попеременно.
УЭ 6
(20 мин)
Вы освоили решение уравнений 2 уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.
Самостоятельная работа.
(задания не ограничиваются временными рамками, так как их решают далеко не все учащиеся )
1. sin6x+cos6x=1-2sin3x (2 )
2. cos2x = (cos x – sin x)
3. 1 – sin2x = cos x – sin x
4.
5.
6.
7. sin x(sin x+cos x)=1
8.
Каждое задание - 2 балла
Проверьте и оцените свои работы. Исправьте ошибки, если они есть, подсчитайте количество баллов. Проставьте количество баллов в оценочный лист. Оцените свои работы.
Можно воспользоваться подсказками.
1.Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin6 x, сos 6x.
2.Воспользуйтесь формулой двойного угла для сos 2x.
3.Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin2 x.
4.Обозначьте x-2=t , решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы .
5.Сгруппируйте первое и третье слагаемые, примените разложение на множители.
6.Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin4x, cos4x, формулой понижения степени .
7.Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.
8.Приведите дроби к общему знаменателю. А затем используйте основное тригонометрическое тождество , сведите к квадратному.
УЭ 7
Дифференцированная домашняя работа.
На “3”. Решите уравнения:
1) sinx=1/2
2) cos2x-9cosx+8=0
3) 3cosxsinx-sinx=0
На “4”. Решите уравнение:
1) cos2x-9cosx+8=0
2) 3cosx+sinx=0
3) 3sin2x+sinxcosx- 2cos2x=0
На “ 5”. Решите уравнение:
1) 2cos2x+3sinx=0
2) 3sinxcosx-cos2x=0
3) 2sin2x-3sinxcosx+4cos2x=4
Дети выбирают сами.
3
мин
Подведение итогов. Выставление оценок.
Оценка за весь модуль зависит от суммы баллов по всем учебным элементам. Если сумма больше 31, то вы получаете «5», при получении от 25 до 30 баллов – оценка «4», при получении от 21 до 24 баллов – оценка «3», менее 20 балла вы получаете «2». Для тех, кто получил неудовлетворительную оценку проводится коррекционная контрольная работа.
Рефлексия.
1.Прочитайте ещё раз требования к уровню подготовки и ответьте на вопрос:
- Достигли ли Вы цели урока? В какой степени?
2. Вопрос классу: «Оцените своё самочувствие на уроке, поставив какой-либо значок на графике функции у = sin х, изображенной на доске. Где вы себя ощущали: на гребне волны синусоиды или во впадине?
Хочется закончить урок словами Я.А.Коменского: “ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию ”.
Приложение 1. Оценочный лист учащегося.
Фамилия
Имя
УЭ
К-во баллов за основные задания
Корректирующие задания
Общее к-во баллов за этап
№ 1
№ 2
№ 3
№ 4
№ 6
Итоговое количество баллов
Оценка
Автор(ы):
Скачать: Алгебра 10кл - урок 1.doc "Отбор корней при решении тригонометрических уравнений"
Цели:
- повторить основные тригонометрические формулы и закрепить их знания в ходе выполнения упражнений;
-развивать вычислительные навыки, логическое мышление, навыки контроля и самоконтроля, умение работать с компьютерной презентацией;
-воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов;
-рассмотреть основные способы отбора корней при решении тригонометрических уравнений:
аналитический, графический, по единичной окружности, перебором целых значений.
Девиз урока: «Не бойтесь формул!
Учитесь владеть этим инструментом
Человеческого гения!
В формулах заключено величие и могущество
разума…»
Марков А.А.
Тип урока: обобщающий
Оборудование: дидактические карточки, мультимедийная аппаратура.
Ход урока
1. Актуализация. Оргмомент.
2. Проверка знаний учащимися тригонометрических формул.
У доски 3 уч-ся записывают тригонометрические формулы:
1 уч.: Формулы, которые устанавливают соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.
2 уч.: Формулы сложения.
3 уч.: Формулы суммы и разности и разности тригонометрических функций.
В это время с остальными уч-ся провести устную разминку.
Устная разминка (задания на экране):
1.Какому выражению соответствует значение ?
а) sin30; б) cos; в) tg
2.Выбрать возможный вариант.
а) sin =; б) cos = -2; в) sin = -3,7.
3. Какой из углов является углом II четверти?
а) ; б) –145 ; в)
4.В каких четвертях sin и cos имеют разные знаки?
а) II, III и IV; б) I и III; в) I и IV.
5. Каким выражением можно заменить ?
а) cos ; б) sin ; в) - sin.
3. Работа в парах.
Задание: заполнить 3 столбец таблицы: формулы решения простейших тригонометрических уравнений .
Значения
а
Уравнение
Формулы решения уравнений
sinx=a
sinx=a
уравнение решений не имеет
а=0
sinx=0
а=1
sinx= 1
а= -1
sinx= -1
cosx=a
cosx=a
уравнение решений не имеет
а=0
cosx=0
а=1
cosx= 1
а= -1
cosx= -1
tgx=a
ctgx=a
Учащиеся заполняют 3 столбец таблицы, проверка осуществляется сразу же по слайду на экране.
4. Учащимся предлагается выполнить задание 13:
а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .
Решение.
а) (один ученик у доски):
Так как (формула косинуса двойного угла), (формула приведения), то , , (вынесение за скобки общего множителя).
Корни уравнения: , .
б) Работа по группам:
1 группа. Отбор корней по единичной окружности.
Корни уравнения изображаются точками А и В, а корни уравнения - точками C и D, промежуток изображен жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: и .
б)Ответ: .
2 группа. Отбор корней по графику.
б) Корни, принадлежащие промежутку, отберем по графику. Прямая (ось ) пересекает график в единственной точке, абсцисса которой принадлежит промежутку.
Прямая пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат(см. рис.). Так как период функции равен , то эти абсциссы равны, соответственно, и .
В промежуткесодержатся три корня: .
3 группа. Отбор корней перебором значений.
б) Пусть . Подставляя , получаем . Промежутку принадлежит только .
Пусть . Подставляя , получаем:
.
Промежутку принадлежат только .
Промежутку принадлежат корни: .
4 группа. Отбор корней аналитически с помощью неравенств.
б) Отберем корни, принадлежащие промежутку.
Пусть .. Тогда .
Корень, принадлежащий промежутку: .
Пусть Z.
Тогда .
Корень, принадлежащий промежутку: .
Пусть Z.
Тогда .
Корень, принадлежащий промежутку: .
Промежутку принадлежат корни: .
Отчет групп.
Каждая группа подробно рассказывает о процедуре отбора корней уравнения.
5. Рефлексия.
В каких случаях необходимо производить отбор корней в тригонометрических уравнениях?
Какими способами можно произвести отбор корней?
Какой способ вам показался легче и понятнее? Почему?
6. Домашнее задание.
1. 6 sin2x + cos x если x∊.
2. 4 cos2x + 4cos (если x∊.
3. cos 2x + 3 sin2x = 1,25, если x∊.
4. sin 2x = cos x|cosx|, удовлетворяющие условию x [0; 2].
1. Проверочная работа по теме «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений»
Автор(ы):
Скачать: Алгебра 10кл - урок 2.doc
Урок повторения
по алгебре в 10 классе
по теме «Тригонометрические уравнения»
.
Тема. Тригонометрические уравнения.
Цели урока:
1. Систематизировать, обобщить знания учащихся по теме «Тригонометрические уравнения», проверить уровень усвоения темы.
2. Развивать навык решения тригонометрических уравнений, умение анализировать, применять полученные знания к решению заданий по теме урока, навык самостоятельной работы.
3. Воспитывать мотивацию к учению, развивать познавательный интерес к предмету.
План урока.
1.Организационный момент. Постановка целей и задач урока.
2.Основная часть.
1. Теоретический опрос.
2. Устная работа.
3.Работа у доски и в тетрадях по теме урока.
4.Физминутка.
5. Домашняя работа.
6.Самостоятельная работа с взаимопроверкой.
3.Итог урока, выставление оценок.
Уравнение представляет
собой наиболее серьёзную и
важную вещь в математике.
Оливер Лодж, английский
физик и изобретатель.
Ход урока.
1.Организационный момент. Постановка целей и задач урока.
Тема нашего урока « Тригонометрические уравнения». Эпиграфом к уроку я взяла слова английского физика и изобретателя Оливера Лоджа «Уравнение представляет
собой наиболее серьёзную и важную вещь в математике».
На предыдущих уроках мы работали над этой темой, изучили формулы корней простейших тригонометрических уравнений, узнали способы и методы решения тригонометрических уравнений, сегодня на уроке мы обобщим и закрепим эту тему.
2.Основная часть.
1. Теоретический опрос.
Хочется вспомнить слова английского философа, Герберт Спенсер говорил: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, а те, которые превращаются в умственные мышцы». Давайте накачивать «умственные мышцы», начнём урок с устного счёта ( разминка для ума).
Повторим решение простейших тригонометрических уравнений ( с места по цепочке).
Для решения уравнений, необходимо знание основных тригонометрических формул, давайте их вспомним (один человек письменно на доске).
Sin2x= 2 sinx cosx
Sin(x+ y)= sinx cosy + siny cosx
2. Устная работа.
А) выбери правильный ответ.
а)
б)
г) нет решения
Б) найди ошибки в решении.
Ответ:
В) составь алгоритм решения уравнения.
2 cosx + sin x+1=0
3 sinx - 4sin x cos x + cos x=0
2 sinx= sin 2x
Sin x+cos x=2
3 cosx – 10 cos x+3=0
Cosx -2 cos x=0
Sin x-16=0
Cos 3x +sin 3x=0
6sinx- sin x cos x-cosx=3
Sin 2x+cos x=2
3sinx+ sin x cos x = 2 cosx
2ctgx – 3 tgx+5=0
Альберт Эйнштейн говорил: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».
Давайте решим некоторые из данных уравнений. (Один человек у доски, остальные в тетрадях).
1) введение новой переменной, приведение к квадратному.
2) однородное тригонометрическое уравнение второй степени ( делим на косинус в квадрате икс):
3) разложение на множители:
4)введение вспомогательного аргумента:
4.Физминутка.
Французский писатель Анатоль Франс говорил: «Учиться надо весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».Чтобы «нагулять аппетит» проведём физминутку.
5. Домашняя работа.
На домашнюю работу остаются остальные уравнения.
6.Самостоятельная работа с взаимопроверкой.
Древнегреческий поэт Нивей утверждал: «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед», поэтому выполним небольшую самостоятельную работу.
Вариант 1. Вариант 2.
Ответы:(взаимопроверка).
Вариант1 Вариант2
3.Итог урока, выставление оценок.
Давайте вспомним некоторые тригонометрические понятия, решим кроссворд.
По горизонтали.
1.Ордината точки на единичной окружности? (синус).
2.2пn для функций у= sinx y=cosx? (период).
3. Угловая величина дуги, длина которой равна её радиусу (радиан).
4.Формулы вида …. называются? (приведения).
5.Абсцисса точки на единичной окружности? (косинус).
6.Сумма квадратов синуса и косинуса одного аргумента равна…?(единица).
7. Число из отрезка…,синус которого равен а? (арксинус).
8.Математическая постоянная = 3,14? (пи).
9. Отношение синуса числа к косинусу того же числа (тангенс).
3.Итог урока, выставление оценок.
Чем занимались на уроке?
Что интересное узнали на уроке?
Какие ещё высказывания о математике известных людей вы знаете?
Пожалуйста, поднимите руку те, кто считает, что эту тему понял очень хорошо?
Кто считает, что ещё нужно поработать?
Кто совсем плохо понял эту тему?
Молодцы, хорошо работали, думаю, с целями справились.
В заключении урока я хочу вам прочитать стихотворение:
“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия - пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
а математика способна достичь всех этих целей”.
Так сказал американский математик Морис Клайн.
Спасибо за урок!
Автор(ы):
Скачать: Алгебра 10кл - урок 3.doc
