Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Предмет: алгебра и начала анализа, 10 класс
Автор: А.Г. Мордкович, 2012 год.
Тема : Производные
Уровень обучения базовый
Тема урока Построение графиков функций
Общее количество часов, отведенное на изучение темы- 34 часа
Место урока в системе уроков по теме – урок № 26, заключительный урок в теме;
Урок на тему: Построение графиков функций».
Тип урока: изучение нового материала.
Цели урока:
Обучающие:
Продолжать учить работать с теоретическим материалом самостоятельно;
обобщить и закрепить понятие геометрического смысла производной;
Развивающие:
развивать мышление, смысловую память, произвольное внимание учащихся,
развивать навыки исследовательской деятельности
формировать навыки самоконтроля при выполнении самостоятельной работы
Воспитательные:
воспитывать:
культуру математической речи;
трудолюбие, аккуратность при выполнении любого задания;
развивать у учащихся коммуникативные компетенции,
формировать навыки взаимопомощи, взаимоконтроля.
Оборудование:
Мультимедийный проектор.
Карточки с заданиями для самостоятельной работы.
Тип урока: урок объяснения нового материала
Структура урока:
1. Организационный момент
2. Актуализация знаний
3.Изучение нового материала
4. Закрепление изученного на практике
5. Постановка задания на дом
6. Рефлексия.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Проверка готовности класса к уроку. Сообщение темы и цели урока.
3. Устная фронтальная работа.
а )Повторение формул сложной функции.
б)
Для функции y = f(x) (график функции изображен на слайде ) найдите:
А) промежутки возрастания и убывания функции;
Б) точки максимума и минимума;
В) экстремумы функции;
Г) наибольшее и наименьшее значение на отрезках [-7;-4], [-4;0], [-7;7].
Сегодня на уроке мы обобщим и закрепим идею геометрического смысла производной, сформируем начальное представление о приложениях производной в математике и истории их развития, «откроем» зависимость между свойствами монотонности функции, экстремумами и значениями производной; рассмотрим план дальнейшего изучения темы «Исследование свойств функций при помощи производной.
Дома Вы должны были выполнить лабораторную работу: по предложенному графику функции схематично по точкам построить график её производной, используя геометрический смысл производной. А также Вы должны были ответить на вопросы. Проверим, как вы справились с домашним заданием.
Назовите промежутки убывания функции (кадр).
Отметим эти промежутки на графике производной функции (кадр).
В каждой точке промежутков убывания проведем касательные (кадр). Под каким углом наклонена касательная к положительному направлению оси ОХ?
Какой знак имеет производная?
Отметим знаки значений производной на графике производной (кадр).
Назовите промежутки возрастания функции (кадр).
Отметим эти промежутки на графике функции (кадр).
В каждой точке промежутков возрастания проведем касательные (кадр). Под каким углом наклонена касательная к положительному направлению оси ОХ?
Какие значения имеет производная?
Отметим знаки значений производной и её нулевые значения на графике производной (кадр).
Назовите точки экстремумов функции.
Отметим эти точки на графике функции (кадр).
Проведем касательные в каждой точке экстремума (кадр).
В каждой ли точке экстремума можно провести касательную? Если можно, то какой угол она образует с положительным направлением оси ОХ?
В каждой ли точке экстремума существует значение производной? Если такое значение существует, то чему оно равно?
Постановка проблемы и выдвижение гипотезы.
Учащиеся проводят обсуждение ответов, выдвигают идеи по дальнейшему плану действий по исследованию функции. Какие точки являются важными при исследовании и построении графика функции.
Работа с учебником. П31 стр 188.
Учитель подводит итог.
Итак, особо важные точки:
Стационарные и критические, точки экстремума,
Точки пересечения с осями координат, точки разрыва функций.
Проверка уровня знаний и умений по теме «Связь свойств функции и производной» в форме тестирования.
1 вариант
На рисунке изображён график производной некоторой функции. Укажите в таблице интервалы, на которых функция обладает указанным свойством:
Свойство
функции
интервалы
(–2;–1)
(–1;1)
(1;3)
(–4;3)
(2;3)
возрастает
убывает
имеет максимум
имеет минимум
2 вариант
На рисунке изображён график производной некоторой функции. Укажите в таблице интервалы, на которых функция обладает указанным свойством:
Свойство
функции
интервалы
(–3;–2)
(–2;0)
(1;3)
(0;2)
(2;3)
возрастает
убывает
имеет максимум
имеет минимум
Описать свойства функции по плану
О производной функции y=f(x) известно следующее:
Х
(–∞; –2)
–2
(–2;3)
3
(3;4)
4
(4;+ ∞)
f’(x)
+
0
–
не сущ.
+
0
–
f(x)
1
– 2
3
1. Опишите свойства функции по плану:
1) Промежутки возрастания и убывания.
2) Точки экстремума функции.
3) Что можно сказать о точке (3;–2)?
2. Изобразите схематически график этой функции.
Совместное обсуждение результатов самостоятельной работы.
Совместно с учащимися составляется алгоритм исследования функции.
Запишем алгоритм исследования функции с помощью производной в тетрадь.
1. Найти область определения
функции.
2. Определить четность,
нечетность и периодичность
функции.
3. Найти координаты точек
пересечения графика функции с осями координат.
Первичное закрепление изученного:
Исследовать функцию y=x3+6x2+9x и построить график.
Решение задач с объяснением у доски.
Решение:
1) D(y)=R
2) Определим вид функции:
y(-x)=(-x)3+6(-x)2+9(-x)=-x+6x2-9x функция общего вида.
3) Найдем точки пересечения с осями:
Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y.
Ox: y=0,
x3+6x2+9x=0
x(x2+6x+9)=0
x=0 или x2+6x+9=0
D=b2-4ac
D=36-36=0
D=0, уравнение имеет один корень.
x=(-b+D)/2a
x=-6+0/2
x=-3
(0;0) и (-3;0) – точки пересечения с осью х.
4) Найдем производную функции:
y’=(x3+6x2+9x)’=3x2+12x+9
5) Определим критические точки:
y’=0, т.е. 3x2+12x+9=0 сократим на 3 x2+4x+3=0
D=b2-4ac
D=16-12=4
D>0, уравнение имеет 2 корня.
x1,2=(-b±√D)/2a, x1=(-4+2)/2 , x2=(-4-2)/2
x1=-1 x2=-3
6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:
+ - +
-3 -1
x=-4, y’=3*16-48+9=9>0
x=-2, y’=12-24+9=-3<0
x=0, y’=0+0+9=9>0
7) Найдем xmin и xmax:
xmin=-1
xmax=-3
8) Найдем экстремумы функции:
ymin=y(-1)=-1+6-9=-4
ymax=y(-3)=-27+54-27=0
9) Построим график функции:
10)Дополнительные точки:
y(-4)=-64+96-36=-4
подведение итогов.
Оценки учащимся за самостоятельную работу.
Домашнее задание. П31 разобрать прмер 1-3 №31.5 (а), 31.7 (б), дополнительно №31.12.
Автор(ы): Жубанова Б. К.
Скачать: Алгебра 10кл - Урок 1 (Жубанова Б. К.).doc Урок2. Построение графиков функций. Предмет: алгебра и начала анализа, 10 класс Автор: А.Г. Мордкович, 2012 год. Тема : Производные Уровень обучения базовый Тема урока Построение графиков функций Общее количество часов, отведенное на изучение темы- 34 часа Место урока в системе уроков по теме – урок №27; Цели урока: Обучающие: Формирование умения применять свои знания при построении графиков, научиться строить графики с помощью производной. Развивающие: развивать умение критически анализировать информацию, способность ее систематизировать, оценивать, использовать с целью создания прогноза; развивать навыки работы с математическим текстом; развивать познавательный интерес к предмету. Воспитывающие: формирование активности, взаимопомощи, коллективизма, умение работать в паре; формирование умения самостоятельно оценивать результат своих действий, контролировать самого себя, находить и исправлять собственные ошибки. Ход урока: Организационный момент. Разминка. Работаем устно ( подготовка ЕГЭ) 1) Вычислите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции , в точке х0= - 0,5. 2) Найдите точку, в которой касательная, проведенная к графику функции , параллельна оси Х. 3) Тело движется по закону: , определите его скорость в момент времени t=1сек. 4) Тело движется по закону: . Найдите момент времени, когда тело остановится. 5) Скорость материальной точки выражается формулой: . Найдите, ее ускорение в момент времени t=с. 6) Зависимость пути от времени выражается формулой: . Найдите ее ускорение. Диктант. На столах лежат задания с вопросами: «Верно ли, что…». Ответ на вопрос может быть только «да» или «нет». Если «да», то справа от вопроса, в первом столбце, ставим знак «+», если «нет» - то «-». Работаем в парах. Содержание карточки. Верно ли , что для того чтобы построить график функции нужно: «да» + «нет»- поставить в столбец «а». № Вопросы а б в 1 Исследовать функцию с помощью производной. 2 Найти критические точки функции. 3 Найти множество значений функции. 4 Знать, что такое точки экстремума, уметь их находить. 5 Обязательно находить стационарные точки. 6 Найти область определения функции. 7 Уметь находить промежутки возрастания и убывания. 8 Найти нули функции. 9 Исследовать функцию на четность, нечетность. 10 Найти стационарные точки. 11 Написать уравнение касательной. 12 Найти угловой коэффициент касательной. Анализ диктанта, самопроверка. Один ученик зачитывает ответы, учитель оценивает. Какова схема построения графика с помощью производной? Назовите свойства функции, используемые для её исследования, желательно придерживаться того порядка, который определён учебником. Самостоятельная работа класса, при помощи учителя. №31.4 (а,в) 31.5 (а,в) №31.11а Итог урока. Отметки за работу на уроке. Домашнее задание. Домашнее задание 1 уровня Домашнее задание 2 уровня Домашнее задание 3 уровня 1. Исследовать и построить график функции а) у = (х+1)3(х-2) б) у = (х+2)2(х-2) 2. Нестандартное задание: составить формулу, задающую функцию, графиком которой была бы прямая с выколотой точкой. 1. Исследовать и построить график функции а) б) 2. Нестандартное задание: составить формулу, задающую функцию, графиком которой была бы одна точка. 1. Исследовать и построить график функции а) б) 2. Нестандартное задание: отыскать функции, описывающие реальные физические процессы, которые вы изучали на уроках физики, и исследуйте их.
Автор(ы): Жубанова Б. К.
Скачать: Алгебра 10кл - Урок 2 (Жубанова Б. К.).doc
Предмет: алгебра и начала анализа, 10 класс
Автор: А.Г. Мордкович, 2012 год.
Тема : Производные
Уровень обучения базовый
Тема урока Построение графиков функций
Общее количество часов, отведенное на изучение темы- 34 часа
Место урока в системе уроков по теме – урок № 28, заключительный урок в теме;
Урок 3 Тема: «Построение графика функции».
Цели урока:
1. Образовательная – отработать умения систематизировать, обобщать при исследовании функции ее свойства, применять знания производной при построении графиков функции;
2. Развивающая – развитие мыслительных операций посредством наблюдений, сравнений, сопоставлений, обобщений, развитие зрительной памяти, математической речи учащихся.
3. Воспитательные – воспитание познавательной активности, воспитание культуры общения.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Ход урока.
I.Организационный момент.
Проверка домашнего задания фронтально, цели урока.
Математический диктант
1. Найти ошибку. Проверка теоретического материала. Отвечать должны только да или нет.
1. Функция возрастает на [-7; 2) и (2; 8], значит, она возрастает на [-7; 8]. Верно ли?
2. Производная функции в точке х0 равна 0, значит х0 - критическая точка. Верно ли?
3. Производная функции не существует в точке х0, значит х0 - критическая точка. Верно ли?
4. Критическая точка является точкой экстремума. Верно ли?
5. Точка экстремума является критической точкой. Верно ли?
Проверка:
нет, да,да,нет, да
2. Из истории дифференциального исчисления (готовят ученики).
В 1679 году этот учёный находил экстремумы функции, касательные, наибольшие и наименьшие значения функций. Но в своих записях он использовал сложнейшую символику Виета, и поэтому эти исследования не привели к созданию теории интегральных и дифференциальных исчислений. (Леона́рд Э́йлер (нем. Leonhard Euler; 15 апреля 1707, Базель, Швейцария — 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) — швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук)
И вот в 18 веке величайший французский математик Ферма Пьер (1601-1665) создал теорию дифференциальных и интегральных исчислений, и в таком виде она изучается и по сей день.
(Математика всегда оставалась для Ферма лишь хобби, и тем не менее он заложил основы многих её областей — аналитической геометрии, исчисления бесконечно малых, дифференциальных уравнений, теории вероятностей).
Данная тема является очень важной и значимой, т. к. в материалах ЕГЭ большое внимание уделяется заданиям, связанным с исследованием функции с помощью графика, с построением графика заданной функции.
Успешное изучение этой темы поможет вам хорошо сдать государственный экзамен по математике. Рассмотрим более сложные задания по исследованию и построению графиков функций.
Задание (разбираем на доске)
Построить график функции
1.Область определения
2.Исследуем функцию на четность, нечетность.
По определению функция четная, значит график функции симметричен относительно оси ординат, можно сначала построить график функции для х≥0.
1. Прямая х=2 вертикальная асимптота, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Найдем горизонтальную асимптоту.
прямая у=1 – горизонтальная асимптота.
2. Найдем стационарные и критические точки: критических точек нет, так как производная определена на всей области определения..
3. Определим вид стационарной точки.
Точка х=0 – точка максимума.
Итак, функция четная, х=0 –точка максимума, возрастает на интервале до 0, убывает на интервале х˃0.
График функции имеет 2 асимптоты. Вычислим значения функции в дополнительных точках.
х
1
1,5
3
4
у
-5\3
-25\7
13\5
5\3
Так как функция чётная , то построим график функции для х≥0
:
Используя свойство четных функций, отразим график функции относительно оси ординат
Самостоятельная работа по исследованию функций.
Исследуйте функцию и постройте ее график:
1 вариант 1)
2 вариант 2)
3. Итоги урока.
1. Домашнее задание : №31.12(а), 31.13.
Отметки за урок выставляются после проверки самостоятельной работы.
Автор(ы): Жубанова Б. К.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 3 (Жубанова Б. К.).doc Тема: Построение графиков функций. (на изучение темы отводится 2 часа)
Урок № 1
Цели урока: Систематизировать знания учащихся, относящихся к вопросу нахождения промежутков монотонности и экстремумов; рассмотреть общий метод построения графиков функций в результате исследования функции с помощью производной; выработать навыки построения графиков функции. Закрепить умение вычислять производные.
Развивать речь и мышление учащихся.
Оборудование: учебники (1,2 части.) Презентация «Производная и её применение»; мультимедийный проектор: компьютер.
Ход урока:
I. Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.
II. Проверка домашнего задания.
№30.29 – 30.32(а)
III.Актуализация знаний. Повторение теоретического материал.
Презентация « Производная и её применение». Сайды 2.3,5,6,7,8,9.
IV. Объяснение нового материала.
Объяснение нового материала (стр. 188 - 192) пункт 31.:
1. просмотр презентации. Слайды 10,11,12,13,14.
2. Схема исследования свойств функций и построение графика.
V. Закрепление нового материала.
31.1; 31.2. а – учитель, б – учащиеся самостоятельно.
VI. Решение заданий по теме.
Решить задания 31.3, 31.4 (а,б) по два человека у доски с подробными комментариями.
VII. Подведение итогов.
VIII. Домашнее задание: № 31.3, 31.4,31.5 (в, г) п.31.
Автор(ы): Сердюк Н. В.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Сердюк Н. В.).docxТема: Построение графиков функций. Урок № 2. Цели урока: Систематизировать знания учащихся, относящихся к вопросу нахождения промежутков монотонности и экстремумов; отработать навыки построения графиков функции. Закрепить умение вычислять производные. Развивать речь и мышление учащихся. Оборудование: учебники (1,2 части.) Презентация « Производная и её применение»; мультимедийный проектор: компьютер. Ход урока: I. Организационный момент. Приветствие, сообщение темы и задач урока. II. Проверка домашнего заданияи опрос учащихся: №31.5; разбор ошибок, ответы на возникшие вопросы. Опрос учащихся по необходимым и достаточным условиям существования экстремумов, по определению промежутков монотонности функции. III. Формирование умений и навыков. Работа в группах: 1 группа: 36.6;36.8,36.9(а) 31.6; 36.8; 36.9(б) – 2 группа. IV. Подведение итогов. V. Домашнее задание: п. 30; 31; 32. № 36.6;36.8,36.9(в). №31.13.
Автор(ы): Сердюк Н. В.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 2 (Сердюк Н. В.).docxАвтор(ы): Жубанова Б. К.
Скачать: Алгебра 10кл - Презентация к уроку 3 (Жубанова Б. К.).ppt
