Определение производной

Текст урока

• урок 1 (Дедюра Н. В.)

   Название предмета: математика
  Класс :10
  УМК (название учебника, автор, год издания): «Алгебра и начала математического анализа»  10-11 класс А.Г. Мордкович, 2011г.
  Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный): базовый уровень
  Тема урока: «Определение производной» 
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы:3
  Место урока в системе уроков по теме: 1 урок - изучение нового материала
  Цели урока:  
  обучающая: формировать у обучающихся понятия производной; умение вычислять производную элементарных функций;
   развивающая: способствовать развитию умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;
  воспитательная: воспитывать толерантное отношение к окружающим.
         
  Задачи урока: 
  - знакомство с алгоритмом нахождения производной;
  - закрепление умений нахождения производной функции;
  -  повышение учебной мотивации учащихся;
  -  формирование организованности, ответственности, честности.
  Планируемые результаты 
  Предметные: давать определения производной, вычислять производную элементарных функций по алгоритму.
  Метапредметные: 
  регулятивные: планировать пути достижения цели, намечать способы устранения ошибок, оценивать результаты учебной деятельности, анализировать собственную работу, определять степень успешности своей работы;
  познавательные: давать определения понятию, составлять алгоритмы, выявлять особенности разных объектов в процессе их рассмотрения, строить логичные рассуждения и делать выводы,
  коммуникативные: аргументировано отстаивать свою точку зрения в диалоге, продуктивно взаимодействовать со своими партнёрами, владеть письменной и устной математической речью.
  Личностные: выражать доброжелательное отношение к учебному процессу, оценивать собственную учебную деятельность, проявлять самостоятельность, ответственность.
  Информационно-технологические ресурсы: Мордкович А. Г.  Алгебра и начала математического анализа.  10 класс. В 2 ч.
  
  Содержание урока
  1. Организационный этап
  2. Актуализация знаний учащихся
  3. Проверка домашнего задания
  4. Изучение нового материала
  5. Закрепление изученного материала
  6. Инструктаж выполнения домашнего задания
  7. Итоги урока
  8. Рефлексия
  
  
  Ход урока
  1.Организационный момент
  2.Актуализация знаний учащихся. 
  Фронтальная беседа с классом.
  На предыдущих уроках мы ввели понятия «приращение аргумента» и «приращение функции», научились находить отношение приращения функции к приращению аргумента, а также предел этого отношения при условии, что Δx. 
  1. Дать определения приращения аргумента и приращения функции
  2. Какая функция называется непрерывной в точке?
  3. Выразите превращение функции f(x)в точке x0 через х0 и х, если:
  а)f(x)=4х2+3х
  б)   f(x)=5cosх
  4. Вычислите:
  а)
  
  
  б)
  
  
  3. Проверка домашнего задания (проверка заданий, задания, вызвавшие затруднения, решение оформить на доске)
  
  4.Изучение нового материала
  На предыдущем уроке мы познакомились с новыми понятиями: приращение аргумента и приращение функции. Сегодня на уроке мы рассмотрим задачу,  решение которой приведет к возникновению новой математической модели. Какой? Многие задачи физики, химии, экономики приводят к той же модели. Значит, эту модель надо изучить, то есть присвоить ей новый термин, ввести обозначение, изучить её свойства. 
  Рассмотрим эту задачу:
  Задача о скорости движения. 
  По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (м) и направление, движется некоторое тело. Закон движения задан формулой S = S(t), т.е. каждому моменту времени t соответствует определённое значение пройденного пути S. Найти скорость движения тела в момент времени t. 
  Решение: Пусть в момент времени t тело находится в точке М. (рис.)
  Дадим аргументу t приращение Δt, за это время тело переместится в некоторую точку Р, координата материальной точки стала другой, тело в этот момент будет находиться в точке Р: ОР = S(t + t).
  МР = ОР – ОМ = S(t + t) - S(t),т.е. пройдёт путь ΔS. 
  Итак, за время Δt тело прошло путь ΔS.
  Что можно найти, зная эти два значения?
   , т.е. среднюю скорость движения тела за промежуток времени .
  Определение: Средней скоростью движения тела называется отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь пройден.
  В физике часто идёт речь о скорости v(t), т.е. скорости в определённый момент времени t, часто её называют мгновенной скоростью.
  Мгновенную скорость получим если Δt, т.е. Δt выбирается всё меньше и меньше, т.е. 
  
  Подведем итог решения задачи №1, получаем что: 
  
  
  
  Можно привести примеры многих задач из физики, экономики, химии (учебник, стр.157 – 159), для решения которых необходимо отыскать скорость изменения соответствующей функции.
  Например, отыскание угловой скорости вращающегося тела, отыскание теплоёмкости тела при нагревании, линейный коэффициент расширения тел при нагревании, скорость химической реакции в данный момент времени и т.п.
  Все эти задачи требуют для своего решения нахождения скорости изменения соответствующей функции.
  Ввиду обилия задач, приводящих к вычислению скорости изменения функции или, иначе, к вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, оказалось необходимым выделить такой предел для произвольной функции и изучить его основные свойства.
  Этот предел называется производной функции.
  Дадим определение производной.
  Определение: Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку х0. Дадим аргументу приращение х такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции у и составим отношение . Если существует предел этого отношения при , то указанный предел называют производной функции y = f(x) в точке х0 и обозначают  
  Тогда     или    
  
  Если проанализировать определение производной, то станет ясно, что в нём заложен алгоритм её нахождения.
  Алгоритм нахождения производной функции:
  
  1. Зафиксировать значение х, найти f(x).
  2. Дать аргументу х приращение х, перейти в новую точку х + х, найти  f(х + х).
  3. Найти приращение функции: у = f(х + х) - f(x).
  4. Составить отношение .
  5. Вычислить 
  
  
  
  С помощью этого алгоритма можно найти производную любой функции.
  
  5. Закрепление изученного материала
  
  Первый пример рассмотрим на  доске. Все следующие примеры решаются учащимися самостоятельно в группах (учитель – консультант).
  Пример 1.
  Найти производную функции y = C.
  Решение: f(x) = C.
  1.Возьмём два значения аргумента x    и   x + Δx.
  2.
  3.
  4..
  Значит,  = 0 или производная постоянной равна нулю.
  
  Пример 2.
  Найти производную функции y = x.
  Решение: f(x) = x.
  1.Возьмём два значения аргумента x    и   x + Δx.
  2.
  3.
  4..
  Значит,  = 1.
  
  Пример 3.
  Найти производную функции y = x2.
  Решение: f(x) = x2.
  1.Возьмём два значения аргумента x    и   x + Δx.
  2.
  3.
  4..
  Значит,  = 2x.
  
  Пример 4.
  Найти производную функции y =.
  Решение: f(x) = .
  1.Возьмём два значения аргумента x    и   x + Δx.
  2.
  3.
  4..
  Значит,  = k.
  
  Пример 5.
  Найти производную функции y =.
  Решение: f(x) = .
  1.Возьмём два значения аргумента x    и   x + Δx.
  2.
  3.
  4..
  Значит,  = .
  
  Пример 6.
  Найти производную функции y =.
  Решение: f(x) = .
  1.Возьмём два значения аргумента x    и   x + Δx.
  2.
  3.
  4.
  
  Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю
  
  
  
  
  
  Значит,  = .
  
  Таким образом, с помощью определения производной, можно найти производную любой функции.
  Запишем найденные производные и в дальнейшем будем ими пользоваться.
  
  Сʹ=0
  хʹ=1
  (х2)ʹ=2х
  (kx + m)ʹ=k
  
  
  
  
  6. Инструктаж выполнения домашнего задания. 
  п. 27 (выучить формулы), № 27.2, 27.3, 27.5
  
  7. Итоги урока 
  Какая тема и цель нашего урока?
  Итак, ребята, с какими новыми понятиями мы познакомились на уроке? 
  Производные каких функций мы изучили?
  
  8. Рефлексия
  Как вы считаете, кто из вас работал в полную силу своих возможностей, чувствовал себя уверенно? 
  А кто из вас работал хорошо, но не полную силу, испытывал чувство неуверенности, боязни, что отвечу неправильно? 
  А у кого из вас не было желания работать, то есть сегодня не ваш день? 
   

   Read more ...

  Автор(ы): Дедюра Н. В.

  Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Дедюра Н. В.).doc

• Урок 2 (Дедюра Н. В.)

   Название предмета: математика
  Класс :10
  УМК (название учебника, автор, год издания): «Алгебра и начала математического анализа»  10-11 класс А.Г. Мордкович, 2011г.
  Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный): базовый уровень
  Тема урока: «Определение производной» 
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы:3
  Место урока в системе уроков по теме: 2 урок - изучение нового материала
  Цели урока:  
  обучающая: формировать геометрический и физический смысл производной; 
  развивающая: способствовать развитию умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;
  воспитательная: поддерживать мотивацию к учению.
         
  Задачи урока: 
  - знакомство с геометрическим и физическим смыслом производной;
  - закрепление умений нахождения производной функции по графикам;
  -  повышение учебной мотивации учащихся;
  -  формирование организованности, ответственности, честности.
  Планируемые результаты 
  Предметные: формировать умения работать с графиками функций.
  Метапредметные: 
  регулятивные: планировать пути достижения цели, намечать способы устранения ошибок, оценивать результаты учебной деятельности, анализировать собственную работу, определять степень успешности своей работы;
  познавательные: давать определения понятию, составлять алгоритмы, выявлять особенности разных объектов в процессе их рассмотрения, строить логичные рассуждения и делать выводы,
  коммуникативные: аргументировано отстаивать свою точку зрения в диалоге, продуктивно взаимодействовать со своими партнёрами, владеть письменной и устной математической речью.
  Личностные: выражать доброжелательное отношение к учебному процессу, оценивать собственную учебную деятельность, проявлять самостоятельность, ответственность.
  Информационно-технологические ресурсы: Мордкович А. Г.  Алгебра и начала математического анализа.  10 класс. В 2 ч.
  
  Содержание урока
  1. Организационный этап
  2. Актуализация знаний учащихся
  3. Проверка домашнего задания
  4. Изучение нового материала
  5. Закрепление изученного материала
  6. Информация о домашнем задании
  7. Итоги урока
  8. Рефлексии
  
  
  Ход урока
  1.Организационный момент
  2.Актуализация знаний учащихся. 
  Математический диктант:
  1. производная постоянной функции ;
  2. производная линейной функции ;
  3. производная степенной функции  f(x)=х2;
  4. производная функции ;
  5. производная функции ;
  6. определение производной.
  Выполнить взаимопроверку и оценить работу.
  
  3. Проверка домашнего задания (проверка заданий, задания, вызвавшие затруднения, решение оформить на доске)
  
  4.Изучение нового материала
  На прошлом  уроке мы разобрали задачу о скорости движения. Сегодня на уроке мы рассмотрим вторую задачу о касательной к графику функции.
  - Как называется прямая, проходящая через две точки графика функции?(секущая)
  - Какая прямая называется касательной к кривой L в точке M? 
   
  (касательная есть предельное положение секущей) 
  - Как же найти производную с помощью графиков функции?
  
  
  Посмотрим на наш график функции: Проведём в точке c абсциссой x0 касательную к графику функции. Касательная и график нашей функции соприкасаются в точке А. На насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.
  Производная функции в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.
  
  fʹ (x0)=tg(α)
  
  Угол наклона касательной выбирается как угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.
  И так производная нашей функции равна: 
  
  
  Производная в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, это геометрический смысл производной
  - Так в чем же состоит геометрический смысл производной?
  
  
  (Если к графику функции  в точке с абсциссой x = a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f ′(a)выражает угловой коэффициент касательной, а так как , то f ′(a)= )
  - Что можно сказать о знаке производной функции в точке x0, если касательная, проведенная к графику функции в точке с абсциссой x0, образует с положительным направлением оси абсцисс острый угол? 
   
  (Производная в точке x0 положительна)
  - Что можно сказать о знаке производной функции в точке x0, если касательная, проведенная к графику функции в точке с абсциссой x0, образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол? 
   
  (производная в точке x0 отрицательна) 
  - Что можно сказать о значении производной в том случае, когда касательная к графику функции в точке с абсциссой x0 параллельна оси абсцисс? 
   
  (Производная этой функции в точке x0 равна нулю)
  Итак, мы рассмотрели 2 задачи, которые позволяют нам определить геометрический и физический смысл производной. Вспомним первую задачу и попробуем сформулировать физический смысл производной.
  Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:
  
  Если функция y = f(x) имеет производную в точке х0 ,то ее называют дифференцируемой в точке х. Нахождение производной функции y = f(x) называют дифференцированием функции y = f(x).
  Если функция дифференцируемая в точке х, то она и непрерывна в этой точке.
  Однако, если функция непрерывна в точке, то это не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция y=|x| в точке x=0 непрерывна, но касательную провести нельзя, а значит и производной не существует.
  
  
  
  5. Закрепление изученного материала
  1.Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции через точки с абсциссами х1, х2, х3, х4 (если касательная существует)
  Какой угол (острый или тупой) образует эта касательная с осью абсцисс?
  В окрестности, каких точек графика функция дифференцируема?
  
  2.Прямолинейное движение точки заданно уравнением: S=4t2-t+5, где t(c), S(м). Найти скорость движения точки в момент t=4c.
  3. Работа с учебником № 27.3(а,б), 27.4, 27.12
  
  6. Информация о домашнем задании. 
  п. 27, № 27.3(в,г), 27.6, 27.14
  
  7. Итоги урока 
  Какая тема и цель нашего урока?
  Итак, ребята, с какими новыми понятиями мы познакомились на уроке? 
  Производные каких функций мы изучили?
  
  8. Рефлексия
  Как вы считаете, кто из вас работал в полную силу своих возможностей, чувствовал себя уверенно? 
  А кто из вас работал хорошо, но не полную силу, испытывал чувство неуверенности, боязни, что отвечу неправильно? 
  А у кого из вас не было желания работать, то есть сегодня не ваш день? 
  
  
  
  
  
  
  
   

   Read more ...

  Автор(ы): Дедюра Н. В.

  Скачать: Алгебра 10кл - Урок 2 (Дедюра Н. В.).doc

• Урок 3 (Дедюра Н. В.)

   Название предмета: математика
  Класс :10
  УМК (название учебника, автор, год издания): «Алгебра и начала математического анализа»  10-11 класс А.Г. Мордкович, 2011г.
  Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный): базовый уровень
  Тема урока: «Определение производной» 
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы:3
  Место урока в системе уроков по теме: 3 урок -  обобщение материала
  Цели урока:  
  обучающая: обобщить и систематизировать теоретические знания по теме «Определение производной»; 
  развивающая: принимать самостоятельное решение на основе изученного материала;
  воспитательная: воспитывать сознательное отношение к учебе.
         
  Задачи урока: 
  - развитие самостоятельных навыков при нахождении производной функции;
  - расширение математического кругозора;
  -  повышение учебной мотивации учащихся;
  -  формирование организованности, ответственности, честности.
  Планируемые результаты 
  Предметные: обобщение и контроль знаний по теме «Определение производной».
  Метапредметные: 
  регулятивные: планировать пути достижения цели, намечать способы устранения ошибок, анализировать собственную работу, определять степень успешности своей работы; 
  познавательные: давать определения понятию, составлять алгоритмы, выявлять особенности разных объектов в процессе их рассмотрения, строить логичные рассуждения и делать выводы,
  коммуникативные: аргументировано отстаивать свою точку зрения в диалоге, продуктивно взаимодействовать со своими партнёрами, владеть письменной и устной математической речью.
  Личностные: выражать доброжелательное отношение к учебному процессу, оценивать собственную учебную деятельность, проявлять самостоятельность, ответственность.
  Информационно-технологические ресурсы: Мордкович А. Г.  Алгебра и начала математического анализа.  10 класс. В 2 ч.
  
  Содержание урока
  1. Организационный этап
  2. Актуализация знаний учащихся
  3. Обобщение и систематизация знаний 
  4. Самостоятельное применение знаний и умений в практической деятельности
  5. Инструктаж выполнения домашнего задания
  6. Итоги урока
  7. Рефлексия
  
  
  Ход урока
  1.Организационный момент
  2.Актуализация знаний учащихся. 
  1. В чем состоит геометрический смысл производной.
  2. В чем состоит физический смысл производной.
  3. Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции через точки с абсциссами х1, х2, х3, х4 ( если касательная существует)
  Какой угол (острый или тупой) образует эта касательная с осью абсцисс.
  В окрестности каких точек графика функция дифференцируема.
  
  4. Обобщение и систематизация знаний 
  1. Найти производную функции: y=3x
  
  Решение:
  Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.
  1) Для фиксированного значения x, значение функции y=3x
  2) В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=3(x+ Δx)=3x+3 Δx
  3) Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 3x+3 Δx-3x=3Δx
  4) Составим соотношение: 
  
  5)Найдем предел:
  
  Ответ: f' (x)=3
  
  2. Найти производную функции y=5x2
  
  Решение:
  Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.
  1)Для фиксированного значения x, значение функции y=5x2
  2)В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=5(x+ Δx)^2=5(x2+2xΔx+Δx2)
  3)Найдем приращение функции: 
  Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 5x2+10xΔx+5Δx2-5x2=10xΔx+5Δx2
  4) Составим соотношение: 
  
  5)Найдем предел:
  
  Ответ: f' (x)=10x
  3. Найти производную функции y=2x2-x+1
  
  Решение:
  Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.
  1)Для фиксированного значения x, значение функции
  y=2x2-x+1
  2)В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=2(x+ Δx)2-(x+ Δx)+1= =2(x2+2xΔx+Δx2 )-(x+ Δx)+1
  Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= = 2x2+4xΔx+ 5Δx2-(x+ Δx)+1-2x2+x-1= =4xΔx+5Δx2-Δx 
  3) Составим соотношение: 
  
  5)Найдем предел:
  
  Ответ: f' (x)=4x-1
  4. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где  — расстояние от точки отсчета в метрах,  — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени  с.
  
  5. На рисунке изображены график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции  в точке .
  
  5. Самостоятельное применение знаний и умений в практической деятельности
  
  Вариант I
  1. На рисунке изображены график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции  в точке .
  
  2. На рисунке изображён график  — производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику  параллельна прямой  или совпадает с ней.
  
  3. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где  — расстояние от точки отсчета в метрах,  — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
  
  Вариант II
  1. На рисунке изображены график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции  в точке .
  
  2. На рисунке изображен график  — производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику  параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
  
  3. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где  — расстояние от точки отсчета в метрах,  — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
  
  6. Инструктаж выполнения домашнего задания. 
  п. 27 , № 27.11, задания с открытого банка ЕГЭ №7 на сайте - mathege.ru
  
  8. Итоги урока 
   

   Read more ...

  Автор(ы): Дедюра Н. В.

  Скачать: Алгебра 10кл - Урок 3 (Дедюра Н. В.).doc

• урок 1 (Корчагина Л. В.)

   Алгебра и начала анализа
  Класс: 10
  УМК «Алгебра и начала анализа» под ред. Мордковича А. Г. – 2011 г.
  Уровень обучения: базовый
  Тема урока: «Определение производной»
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 часа
  Место урока в системе уроков по теме: 1 урок
  Цель урока: 
  Образовательные:
  ввести определение и обозначения для производной;
  изучить физический и геометрический смысл производной 
  изучить алгоритм вычисления производной,
  отработка навыков вычисления производной по алгоритму.
  Развивающие:
  развивать навыки грамотной математической речи;
  развитие мышления;
  повышение общекультурного уровня учащихся.
  Воспитательные:
  развивать умение работать в коллективе.
  Задачи урока: 
  Рассмотреть задачи, приводящие к понятию производной. 
  Ввести определение производной. 
  Рассмотреть производные элементарных функций. 
  Сформировать представления, учащихся о понятии производной функции как о неотъемлемой части окружающего нас мира, об использовании приобретённых знаний и умений в практической деятельности. 
  Показать учащимся способы описания практической жизненной задачи на математическом языке, интерпретировать результаты решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений. Воспитывать у учащихся интерес к математике
  Планируемые результаты: 
  Знать определение производной; алгоритм отыскания производной;
  Уметь находить производную по алгоритму.
  Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран для показа слайдов
  Содержание урока:
  1. Организационный момент -  2 мин.
  2. Актуализация знаний -  7 мин.
  3. Изучение нового материала – 10 мин.
  4. Закрепление изученного материала – 13 мин.
  5. Итоговый контроль - 10 мин
  6. Рефлексия, итог урока, домашнее задание - 3 мин.
  Ход урока:
  1. Организационный момент.
  2. Актуализация знаний.
  Повторение материала, изученного на предыдущих уроках, с помощью презентации Power Point, учащимся задаются вопросы по каждому слайду.
  Задача о скорости движения.
  
  
  Вопросы к учащимся:
  Что такое скорость движения?
  Как вычисляется скорость равномерного движения?
  Как можно определить скорость, если движение неравномерное?
  Что такое мгновенная скорость?
  Задача о касательной к графику функции.
  Касательная к графику функции
  
  Вопросы для учащихся: 
  Что такое касательная?  (Предельное положение секущей)
  Угловой коэффициент касательной
   
  Вопросы для учащихся:
  Как вычислить угловой коэффициент касательной, проведенной к графику?
  Решение задач по вариантам.
  1 вариант.
  Закон движения точки по прямой задается формулой s(t)=2t +1, где t – время (в секундах), s(t) – отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента t1=2 с до момента: t2= 2, 05 с.
  2 вариант.
  Закон движения точки по прямой задается формулой s(t)=2t2 +t, где t – время (в секундах), s(t) – отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки с момента t1=0 с до момента: t2= 0,2 с.
  Взаимопроверка работ. Оценивание
  3. Изучение нового материала с помощью презентации PowerPoint. 
  Определение производной.
  
  
  
  Знакомство с алгоритмом нахождения производной, основанным на ее определении.
  
  
  Рассмотрим пример нахождения производной по алгоритму:
  
  
  Далее рассматриваются упражнения на нахождение производной функции, с использованием алгоритма нахождения производной. Учащиеся выполняют задания самостоятельно, двое учащихся выполняют на обратной стороне доски, затем идет взаимопроверка. Учитель консультирует учащихся, имеющих затруднения при выполнении заданий.
  
  
  Возвращаемся к задачам, раскрывающим геометрический и физический смысл производной.
  Геометрический смысл производной 
  
  Механический смысл производной
  
  3. Закрепление изученного материала
   Выполнение упражнений из задачника по «Алгебре и началам анализа» Мордковича А. Г. 
  27.2 (а, в)
  27.4 (а, в)
  27.8(а, в)
  27.13 (а,в)
  4. Итоговый контроль
  
  Самостоятельная работа по вариантам: (10 мин)
  1 вариант.
  1) Закон движения точки по прямой задается формулой s(t) = 2 t2 + t, где t – время (в секундах), s(t) – отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента t1 = 0 с до момента t2, если t2= 0,6 с. 
  2) Функция y = f (x) задана своим графиком.
   Определите по графику функции значения f ' (х1) и f ' (х2).
  
  
  
  
  
  
  
  2 вариант.
     
  
  1) Закон движения точки по прямой задается формулой s(t) = 2 t2 + t, где t – время (в секундах), s(t) – отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента t1 = 0 с до момента t2, если t2= 0,2 с. 
  2)  Функция y = f (x) задана своим графиком.
   Определите по графику функции значения f ' (х1) и f ' (х2).
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  1. Итог урока. Рефлексия. Домашнее задание.
  П. 27. № 27.4 (г), 27.9, 27.13 (б,г)
  
  
   

   Read more ...

  Автор(ы): Корчагина Л. В.

  Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Корчагина Л. В.).docx

• урок 2 (Корчагина Л. В.)

   Алгебра и начала анализа
  Класс: 10
  УМК «Алгебра и начала анализа» под ред. Мордковича А. Г. – 2011 г.
  Уровень обучения: базовый
  Тема урока: «Определение производной»
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 часа
  Место урока в системе уроков по теме: 2 урок
  Цель урока: 
  Образовательная:
  Закрепить материал по теме "Определение производной» 
  Развивающие:
  Развитие творческого мышления;
  Развитие монологической речи; 
  Развитие навыков работы в группе. 
  Воспитательная:
  Формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей выполнения работы
  Задачи урока: 
  Закрепить применять производную для решения различных задач;
  Научить защищать выполненную работу;
  Научить работать в группе;
  Планируемые результаты: 
  Знать определение производной; алгоритм отыскания производной;
  Уметь находить производную по алгоритму.
  Техническое обеспечение урока: 
  Карточки для рефлексии настроения и результативности;
  Карточки с заданиями;
  Компьютер и проектор;
  Звукозапись Лунной сонаты Бетховена.
  Содержание урока:
  План урока.
  1. Рефлексия настроения.
  2. Обсуждение темы занятия.
  3. Актуализация знаний, умений, навыков.
  4. Самостоятельная работа в группах
  5. Психологическая пауза. (Физкультминутка)
  6. Защита выполненных работ.
  7. Итог урока.
  8. Рефлексия результативности, настроения.
  Ход урока.
  1. Рефлексия настроения.
  Ребята, доброе утро. Я пришла к вам на урок вот с таким настроением (показываю изображение солнца)! А какое у вас настроение? У вас на столе лежат карточки с изображением солнца, солнца за тучей и тучи. Покажите, какое у вас настроение.
  2. Обсуждение темы занятия.
  Ребята, отгадайте ключевое слово урока
  1) С ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;
  2) Ньютон назвал ее «флюксией» и обозначал точкой;
  3) Бывает первой, второй;
  4) Обозначается штрихом.
  Итак, тема нашего занятия «Определение производной».
  Как вы думаете, ребята, какова цель нашего урока? (Дети формулируют цель.)
  Цель нашего урока – повторить основные направления применения производной для решения различных (избранных) задач дифференциального исчисления.
  Вводное слово учителя.
  Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XV11 веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время.
       И.Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г.Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.
      Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XV111 в.  С помощью тех же методов математики изучали в XV11 и XV111 вв. различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л.Эйлер, написавший учебник «Дифференциальное исчисление».
      Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале X1X в. французский математик О.Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.
     Применяемая сейчас система обозначения для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.
    В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки и техники.
  3. Актуализация знаний, умений, навыков.
  Прежде чем приступить к повторению основных направлений применения производной, проверим нашу готовность к вычислению производных.
  (Тест.  Проверка   Приложение 1)  
  Давайте вспомним основные направления применения производной.
  Сегодня на нашем уроке работают 4 творческие лаборатории, у каждой из них есть своя тема.
  1-я группа исследует применение производной в физике и технике;
  2-я группа – геометрические приложения производной;
  3-я группа – применение производной к исследованию функции
  и 4-я группа – применение производной на поиск наибольшего и наименьшего значения функции.
  Слово предоставляем исследователям. (Все группы выступают по своим темам).
  4. Самостоятельная работа в группах.
  А теперь наши исследователи работают над решением новых задач по своим (проблемам, направлениям)темам. (Карточки-задания на столах).
  Задание первой группе
  Тело массой m кг движется по закону х(t) (х – в метрах, t – в секундах). Найдите силу, действующую на тело в момент времени t0, если m=3, t0 = 2, х(t)=0.25 t4 +1\3 t3 - 7 t + 2.
  Материальная точка движется по закону х(t)=- t3 +6 t2 +5 t (х – в метрах, t – в секундах).
  Определите скорость точки в момент, когда ее ускорение равно нулю.
  Задание 2-й группе.
  Составить уравнение общих касательных к кривым у=х2 и у = -2х2 +4х – 4.
  Задание 3-й группе.
  При каких значениях параметра а уравнение х3 + х2 – х - а=0 имеет ровно три корня?
  
  Задание 4-й группе.
  Задача. Для конструкторского бюро строится комната в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из стен которой должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного материала. Высота комнаты должна равняться 4м, а площадь 80 кв.м. Известно, что 1кв.м стеклянной стены стоит 75 рублей, а обычного материала 50 р. Какими должны быть размеры комнаты, чтобы общая стоимость всех стен была наименьшей?
  (Звучит  спокойная музыка, ребята работают).
  1-я и 2-я группы оформляют решение на доске, 3,4- на листочках.
  5. Психологическая пауза (физкультминутка)
  6. Защита выполненных заданий.
  Задание для всех групп, которые закончили свою работу.
  1) Из 4 функций надо выбрать тот, на котором записано уравнение функции, невозрастающей на всей области определения. 
  1) ;  
  2) ;
  3) ;
  4) .
  Ответ: Заданному условию удовлетворяет функция №3, т.к.
   
  2) Что вы можете сказать о производной функции, которую описывает поговорка "Чем дальше в лес, тем больше дров".
  Ответ: производная положительна на всей области определения, т.к. эта функция – монотонно возрастающая.
  7. Итог урока.
   Ребята, давайте оценим нашу работу на уроке.
  Продолжите фразу:
  «Сегодня на уроке я узнал…»
  «Сегодня на уроке я научился…»
  «Сегодня на уроке я познакомился…»
  «Сегодня на уроке я повторил…»
  «Сегодня на уроке я закрепил…» 
  8. Рефлексия результативности, настроения. 
  (Снова звучит лунная соната).
  Перед вами карточка с изображением горы. Если вы считаете, что хорошо потрудились на уроке, разобрались в методах применения производной к решению различных задач, то нарисуйте себя на вершине самой высокой горы. Если осталось что-то неясно, нарисуйте себя ниже. 
  Я себя нарисовала на вершине горы, потому что организовал вашу работу так, что вы самостоятельно добыли знания, научились решать сложные задания. 
  Покажите свои рисунки.
  Рефлексия настроения. (Звучит Лунная соната). Ребята, поскольку мы достигли цели нашего урока, то настроение у меня вот такое: (показываю солнце).
  А какое настроение у вас? 
  В заключении урока я хочу вам прочитать стихотворение:
  “Музыка может возвышать или умиротворять душу, 
  Живопись – радовать глаз,
  Поэзия - пробуждать чувства,
  Философия – удовлетворять потребности разума, 
  Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
  а математика способна достичь всех этих целей”.
  Так сказал американский математик Морис Клайн.
  Спасибо за работу!
  Приложение 2 (Презентация).
  Приложение 1.
  Тест по теме: «Производная степенной функции»
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Тест по теме: «Производная степенной функции»
  
  Ф.И. ученика_________________________________
  
  Номер задания
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  Ответ (буква)
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   

   Read more ...

  Автор(ы): Корчагина Л. В.

  Скачать: Алгебра 10кл - урок 2 (Корчагина Л. В.).docx

• урок 3 (Корчагина Л. В.)

   Алгебра и начала анализа
  Класс: 10
  УМК «Алгебра и начала анализа» под ред. Мордковича А. Г. – 2011 г.
  Уровень обучения: базовый
  Тема урока: «Определение производной»
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 часа
  Место урока в системе уроков по теме: 3 урок
  Цель урока: 
  закрепление и обобщение знаний по данной теме;
  повторение определения производной, правила нахождения производной;
  закрепление умения нахождения производной суммы, произведения и частного функции, производной степенной и тригонометрических функций.
  Задачи урока: 
  закрепить применение производной для решения различных задач;
  закрепление умения нахождения производной различных функций;
  научить работать в группе;
  Планируемые результаты: 
  Знать определение производной; алгоритм отыскания производной;
  Уметь находить производную по алгоритму.
  Техническое обеспечение урока: 
  компьютер с ОС MS Windows;  
  проектор; 
  экран (интерактивная доска); 
  раздаточный материал 
  Содержание урока:
  План урока:
  1. Организационный момент.
  2. Фронтальная работа.
  3. Групповая работа.
  4. Программированный контроль.
  5. Дополнительные задания.
  6.Домашнее задание:  
  7. Подведение итогов урока.
  Ход урока
  1. Организационный момент.
  Учитель сообщает цель урока и рассматривает план работы урока.
  2. Фронтальная работа.
  Устный счет:
  Задания 1. Найти производную функции. 
  1) Что называется производной функции f(х) в точке х0?
  2) Укажите, для какой из функций 
  
  	Функция  является производной.
  	Ответ: f(x)= 4,5x2 – sin x
  Примечание.
  На первый взгляд задания сложные, но после соответствующих преобразований задания становятся проще.
  3– 9) Найдите производную функции: 
  	                        подсказка	ответ
  3) ;	y= x4-x3	y´=4x3- 3x2
  
  4) ;  y=x4-1	y´=4x3
  5) ;                                 y´=
  6) ;	y=1	y´=0
  7) ;  	y=cos2x	y´=-2sin2x
  8) ;	y=x3-8	y´=3x2
  9) ;	y =	;         y´=
  10)  Найдите скорость изменения функции h(x)=4x3-x2    в  х 0=0
  подсказка	v(x)=h´(x)= 12х2-2х;            ответ               v(0)=0.
  Фронтальную работу оценивает учитель, ученики выставляют баллы в оценочный лист.
         2. Составь пару (один из вариантов).
  Объяснение задания: В клетках таблицы записаны функции. Для каждой функции найдите производную и запишите соответствие клеток. 
  Например: ,следовательно ответ:1- 9; и т.д.
  Вариант 1
  1.
  
  
  6.
  
  11.
  
  16.
  а
  2.
  Х
  7.
  
  12.
  - 3
  17.
  cos x
  3.
  2x
  8.
  sin x
  13.
  - sin x
  18.
  
  4.
  1
  9.
  
  14.
  
  19.
  0
  5.
  2
  10.
  
  15.
  ах
  20.
  
  Ответы: 1-9; 6-3; 11-14; 16-19; 2-4; 7-18; 12-19; 17-13; 3-5; 8-17; 4-19; 5-19; 15-16;10-20. 
  Ученики выставляют в оценочный лист баллы, 1 балл за один правильный ответ. 
  3. Групповая работа.
  Эта работа проводится с целью подготовки к программированному контролю.
  1 группа и 2 группа работают под руководством ученика, ответственного за данную группу. 3 группа (менее подготовленная) работает под руководством учителя. У каждого учащегося 1 и 2 группы своя зачётная карточка. Все решают. На возникшие вопросы, получают консультацию у ответственного за группу или учителя. После выполнения работы учитель проверяет работы у ответственных, а ответственные у членов своей группы. 
  	Вариант № 1
  Вариант № 2
  1. Найдите производную функции:
  а) y=x6 - 13x4+11; 	(1б)
   б) y=x3+ sinx.	(1б)
  2. Найдите значение производной функции y= 12 cosx в точке x0 = -.      (1б)
  3. Найдите точки, в которых значение производной функции    y= х3 – 6x2 + 27x -21 равно 0. (2б)
  4. Дополнительное задание.
  Найдите скорость изменения функции y=xsinx в точке х0 =             (3б)
  
  1. Найдите производную функции:
  а); 	(1б)
   б).	(1б)
  2. Найдите значение производной функции в точке.      (2б)
  3. Найдите точки, в которых значение производной функции  
   равно – 2                                          (2б)
  4. Дополнительное задание.
  Найдите скорость изменения функции в точке х0.             
    в х0 = 1.  (2б)
  А в это время 3 группа под руководством учителя работает следующим образом:
  Учитель предлагает задания. 
    1. Найдите производную функции
   в точке х0 = 0
  2. Найдите производную функции:
  а); б) в);
  Один из учеников третьей группы решает его на доске. Затем каждый ученик выполняет аналогичные задания на месте (карточки уже на руках у учеников). 
  Задания 3 группы
  Вариант№1
  Вариант№2
  Вариант№3
  Вариант№4
  1. Найти производную функции в х0 = 1
  . (2б)
  2. Найдите производную функции
  .  (3б)
  Дополнительное  задание.
  3. Найдите производную функции.
   (3б)  
  1. Найти производную функции в х0 = 1
  y=4x4+3x3+2x2+x-1. (2б)
  2. Найдите производную функции
  y=.  (3б)
  Дополнительное  задание.
  3. Найдите производную функции.
  y= sinx+4	(3б)    
  1. Найти производную функции в х0 = 0
  . (2б)
  2. Найдите производную функции
  .  (3б)
  Дополнительное  задание.
  3. Найдите производную функции.
  (3б)
  1. Найти производную функции в х0 = 2
  . (2б)
  2. Найдите производную функции
  .  (3б)
  Дополнительное  задание.
  3. Найдите производную функции.
   (3б)  
  В помощь ученикам 3 группы дается образец решения
  Образец.
  1. Найдите производную функции
   в точке х0 = 0
  
  2. Найдите производную функции:
  а);
  
  б) 
  
  в);
  
   Пока ученики 3 группы выполнят задания, учитель подводит итоги с учениками 1 и 2 группы. Наиболее сложные задания разбираются на доске. Учащиеся проверяют решение и сверяют ответы. (слайд)
  Вариант №1
  Вариант №2
  1.а). y´= 6x5 - 52x3;
          б). y´= 3x2 + cosx.
       2. y´= -12sinx;  
       3. y´= x2 – 12x +27; y´= 0.
  x2 – 12x + 27= 0; Д =36;  x1=9; x2 =3
       4.v(x)=y´=x´sinx+ x(sinx)´=sinx + xcosx;
  
  1.  а) y´=135x4 + 19;
       б)  
  2.  y´=19cosx;
  
  3. y´= x2 – 14x + 38; y´= -2;
  x2 -14x + 38=-2; Д=36; x1=10; x2=4.
  4. v(x)=y´=2(х+1);  v(1)=4.
  Руководители 1 и 2 группы выставляют баллы в оценочный лист в зависимости от выполненных заданий. Результаты выполнения работы 3 группы проверяет учитель и выставляет баллы в оценочный лист.
  4. Программированный контроль.
  Повторив определение производной и правила нахождения производной, учащиеся проверяют свои знания с помощью программированного контроля.
  У каждого ученика на столе приготовлена карточка программированного контроля. Карточки приготовлены индивидуально (по уровню сложности).
  Карточки находятся в Приложении1.
  Ключом к ответу является слово, имеющее отношение к математике. Учитель объясняет на данном примере.  (слайд)
  Образец.
                                                 Ответ
  Задание
  а
  с
  р
  у
  и
  д
  
  -1
  14
  4
  1
  3
  -3
  
  
  ,
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  -24
  24
  18
  -18
  3
  -3
  
  24
  -36
  1
  0
  -1
  36
  
  -4
  4
  40
  -42
  36
  -36
  Ответ: радиус.
  После выполнения работы, учащиеся сверяют свои ответы и выставляют баллы в оценочный лист.
  Ответы: №1-куб; №2- луч; №3-час; №4-шар; №5-знак; №6-метр; №7-угол; №8-плюс; №9-тело; № 10-конус; №11-точка; №12-число; №13-минус. (слайд)
  5. Дополнительные задания.
  Для тех кто, выполнил своё задание, выполняют задания:
  	- дружная четвёрка.(приложение 2.)
  Задание: Установите соответствия между функцией, записанной в строке А, её изображение в строке Б, производной функции в строке В и графиком производной в строке Г.(слайд)
  Ответы: (слайд)
  А
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  Б
  3
  4
  1
  2
  6
  7
  5
  В
  3
  5
  1
  7
  2
  4
  6
  Г
  2
  4
  7
  5
  6
  1
  3
  6.Домашнее задание: параграф № 27
  7. Подведение итогов урока. 
  Выставление оценок. 
  Примечание: все записи решения заданий выполняются в рабочих тетрадях, а баллы выставляются в оценочный лист (оценочный лист для каждой группы).
  Оценочный лист
  №п/п
  Ф И учашегося
  Устный счет  (оценивается
  учителем)
  Составь         пару          (оценивается учеником)
  Групповая работа
  (оценивается руководителем группы или учителем)
  Программи-рованный контроль
  (оценивается учеником)
  Дружная четверка
  (оценивается учеником)
  Итог
  1
  Руководитель группы
  
  
  
  
  
  
  2
  
  
  
  
  
  
  
  3
  
  
  
  
  
  
  
  4
  
  
  
  
  
  
  
  5
  
  
  
  
  
  
  
                                              
  
   

   Read more ...

  Автор(ы): Корчагина Л. В.

  Скачать: Алгебра 10кл - урок 3 (Корчагина Л. В.).docx