Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Ф.И.О. педагога: Шмитькова Светлана Александровна
Номинация: Предметный урок с учащимися старшей школы
Предмет: алгебра и начала анализа
Класс: 10
Тема: Числовые последовательности и их свойства. Предел последовательности.
Цели:
Обучающая: дать понятие и определение числовой последовательности, рассмотреть способы задания числовых последовательностей, решать упражнения. Дать понятие предела последовательности.
Развивающая: развивать логическое мышление, познавательные навыки, техники вычисления, навыки сравнения при выборе формул, навыки учебного труда
Воспитательная: воспитание положительных мотивов к учебе, добросовестного отношения к труду, дисциплинированности.
Тип занятия: комбинированный урок.
Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал, презентация.
План урока
1. Орг. момент.
2. Изучение нового материала.
3. Закрепление.
4. Подведение итогов.
Ход урока
I. Организационный момент.
Отметить отсутствующих, сообщить студентам цели и задачи занятия.
В 9 классе на уроках алгебры вы уже встречались с понятием числовой последовательности. Рассматривали свойства некоторых последовательностей, способы их задания. Арифметическая и геометрическая прогрессии нами были изучены более подробно. Вы познакомились с формулами n-го члена прогрессии, суммы n первых членов прогрессии. Настало время вспомнить и обобщить изученный материал, систематизировать его и применить к более сложным понятиям. На последующих занятиях нам предстоит рассмотреть одну из важнейших тем математического анализа – «Пределы». Сегодняшнее занятие будет подготовкой к изучению этой темы, т.е. фундаментом, на котором потом выстроится здание с названием «Предел».
II. Изучение нового материала.
Обратимся к следующим примерам числовых последовательностей:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … (1)
5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, … (2)
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, … (3)
1, √2, √3, 2, √5, √6, √7, 2√2, … (4)
(5)
2, 0, -2, -4, -6, -8, -10, -12, … (6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Внимательно посмотрите на эти примеры. Что у них общего? В каждом примере выписано по восемь членов последовательности. Могли бы вы написать, например, девятые члены?
Значит, во всех приведенных примеров последовательностей налицо определенный закон, который позволяет нам дописать девятые, десятые и прочие члены последовательностей. Правда, надо заметить, что задание некоторого конечного числа членов может и не выявить закона, по которому построена бесконечная последовательность.
В данном случае эти законы хорошо просматриваются. В примере (1) перед нами члены бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 2. В примере (2) имеем последовательно расположенные нечетные числа, начиная с 5. В примере (3) последовательно расположенные квадраты натуральных чисел…
Будем рассуждать более строго. Пронумеруем все члены последовательности по порядку: 1, 2, 3, …, n, …
Существует некий закон (некое правило), по которому каждому из этих натуральных чисел ставится в соответствие определенное число (соответствующий член последовательности). В примере (1) это соответствие выглядит так:
(члены последовательности)
1 2 3 4 5 6 … n … (номера мест)
Для задания последовательности достаточно указать, какой член последовательности соответствует числу n, т.е. стоит на n-ом месте. Можно сформулировать следующее определение последовательности.
Говорят, что задана числовая последовательность, если всякому натуральному числу (номеру места) по какому-либо закону однозначно поставлено в соответствие определенное число (член последовательности).
В общем виде указанное соответствие можно изобразить так:
1 2 3 4 5 … n …
Число есть n-ый член последовательности. Всю последовательность обычно обозначают .
Возвращаясь к нашим примерам последовательностей, рассмотрим в каждом случае аналитическое выражение (формулу) для n-го члена.
В примере (1) имеем . В примере (2): . В примере (3): .В примере (4): . В примере (5): . В примере (6): . В примере (7):. В примере (8): если п = 2к ; и , если п = 2к - 1. Важно заметить, что способ задания последовательности при помощи формулы для её n-го члена не является единственным.
Наряду со способом, рассмотренным выше, применяют рекуррентное (латинское слово recurrere – «возвращаться») задание последовательности. В этом случае для задания последовательности надо указать первый (или несколько первых) член последовательности и рекуррентное соотношение, выражающее n-ый член последовательности через предыдущий (или несколько предыдущих).
Используя рекуррентный способ, представим последовательность (1) так: . Последовательность (2):
Пользуясь рекуррентным способом, определим одну любопытную последовательность:. Вот ее первые члены:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … (11)
Она известна как последовательность чисел Фибоначчи.
Может быть, кто-то из вас слышал о задаче с кроликами Фибоначчи. От этой задачи, сформулированной итальянским математиком XIII века Фибоначчи, и происходит название последовательности. Задача такова:
Некто поместил пару новорожденных кроликов в огороженный загон и хочет знать, сколько кроликов у него будет через некоторое время. Условия задачи таковы: пара кроликов начинает давать потомство через два месяца после своего рождения, и каждый месяц появляется одна пара кроликов. В начале (в первом месяце) мы имеем в загоне одну пару кроликов (у1 = 1), во втором месяце имеем по прежнему одну пару (у2 = 1), в третьем месяце появляется приплод, поэтому число пар кроликов в загоне становится равным двум (у3 = 2), в четвертом месяце появляется еще один приплод от первой пары кроликов (у4 = 3), в пятом месяце появляется приплод как от первой, так и от второй пар кроликов (у5 = 5) и т.д.
Увеличение пар кроликов в загоне от месяца к месяцу хорошо иллюстрирует рисунок. Можно видеть, что число пар кроликов подсчитываемые каждый месяц образуют последовательность (11), т.е. последовательность чисел Фибоначчи.
Последовательность чисел Фибоначчи любопытна вовсе не потому, что описывает упрощенную схему размножения кроликов. Оказывается, что эта последовательность загадочным образом возникает в самых неожиданных ситуациях. Например, в настоящее время числа Фибоначчи применяются при обработке информации с помощью ЭВМ, при поиске оптимальных методов программирования. Впрочем, это уже отдельная тема для разговора.
Свойства
Определение:
Последовательность (уn), называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.
Последовательность (уn) ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство уn ≤ М. Число М называют верхней границей последовательности.
Например: -1, -4, -9, -16,…, - n² ,…
Верхняя граница: -1
Определение:
Последовательность (уn), называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.
Последовательность (уn) ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство уn ≥ m. Число m называют верхней границей последовательности.
Например: 1, 4, 9, 16,…,n²,…
Нижняя граница: 1
Если последовательность ограничена и снизу и сверху, то ее называют ограниченной последовательностью.
Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку.
I
Определение:
Число b называют пределом последовательности (уn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
Пишут:
уn b
lim уn = b
n
II. Закрепление.
1) Выполнить задания со слайда.
Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6…
Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на нечетных местах: 1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных местах: 10, 9, 8, 7
Продолжите ряд 77, 49, 36, 18…
Ответ: Перемножаются две цифры, входящие в предыдущее число.
2) Напишите первые пять членов последовательности.
1. аn=2n+1/2n
2. хn=3n2+2n+1
1. Решение:
аn=2n+1/2n
Ответ:
2. Решение:
Xn=3n2+2n+1
n=1, x1=3*12+2*1+1=3+2+1=6
n=2, x2=3*22+2*2+1=3*4+4+1=12+5=17
n=3, x3=3*32+2*3+1=27+6+1=34
n=4, x4=3*42+2-4+1=3*16+8+1=48+9=57
n=5, x5=3*52+2*5+1=3*25+10+1=75+11=86
Ответ: 6,17,34,57,86…….
3). Напишите формулу общего члена последовательности натуральных чисел, кратных 3.
Ответ: 0,3,6,9,12,15,.... 3n, аn =3n
4). Напишите формулу общего члена последовательности натуральных чисел, кратных 7.
Ответ: 0,7,14,25,28,35,42.... 7n, аn =7n
5). Напишите формулу общего члена последовательности натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1.
Ответ:5,9,13,17,21....... 4n +1 , аn =4n+1
6). Напишите формулу общего члена последовательности натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2.
Ответ: аn =5n+2, 7.12,17,22, 27,.... 5n +2
7). Напишите формулу общего члена последовательности.
1) 5,9,13,17,......
Ответ: аn =4n+1
2)
Решение:
Ответ:
8) Фронтальный опрос.
1. Что называется числовой последовательностью?
Ответ: Множество чисел, элементы которого можно пронумеровать.
2. Приведи пример числовой последовательности.
Ответ:
2,4,6,8,10,…..
1,3,5,7,9,11,…..
3,6,9,12,15,….
3. Что называется членами числовой последовательности?
Ответ: Числа, составляющие числовую последовательность.
а1=2,а2=4,а3=6,а4=8,….
а1=1,а2=3,а3=5,а4=7,….
а1=3,а2=6,а3=9,а4=12,….
4. Что такое общий член числовой последовательности?
Ответ: аn называется общим членом последовательности ,а саму последовательность коротко обозначают через {аn}.
5. Как обозначают числовую последовательность?
Ответ: Обычно числовую последовательность обозначают малыми буквами латинского алфавита с индексами, указывающими на номер этого члена в последовательности: а1,а2,а3,а4,….,аn,…
6. Чему равен предел данной последовательности?
1, 1, 1, 1, 1, … 1, …
2 3 4 5 n
Вывод: lim 1 = 0
n n
1, 1, 1, 1, 1, … 1 n…
2 4 8 16 2
Вывод: lim qn = 0, если |q|< 1
n
IV. Подведение итогов.
Выставление оценок.
V. Д/З §24.№590(б), №602(а,б),605(а,б)
Автор(ы): Шмитькова С. А.
Скачать: Алгебра 10кл - Урок 1 (Шмитькова С. А.).docx
План – конспект
урока алгебры и начала анализа
в 10 классе
МБОУ «Новоуспеновская СОШ »
Тема: Числовые последовательности и их свойства. Предел последовательности.
Тема: Числовые последовательности и их свойства. Предел последовательности.
Тип урока: комбинированный
Цели:
1. образовательная – формирование знаний о понятиях предела числовой последовательности, вычислении пределов числовых последовательностей;
2. развивающая – развитие интереса и уважения к предмету; расширение кругозора;
3. воспитательная – критическое отношение к себе и другим при выставлении оценок; воспитание вычислительной культуры учащихся.
Оборудование: учебник «Алгебра и начала анализа» А.Г.Мордкович; дидактический материал (карточки, тесты); мультимедийный проектор; ПК.
Ход урока:
1. Организационный момент.
2. Устный счет.
3. Основные этапы:
a. Предъявление нового материала.
b. Первичное осмысление и применение изученного материала.
c. Первичный контроль, взаимопроверка.
d. Постановка домашнего задания.
4. Итог урока.
5. Приложение.
1. Организационный момент:
Проверяем готовность класса.
Каждый проверяет рабочее место.
На экране слайд № 1(тема урока), № 2 (цели урока).
2. Повторение, слайды 3-9
Устный счет:
Деятельность учителя
№ слайда
Деятельность учащихся
Работа за компьютером.
Спрашивает.
№ 3, ответы на вопросы
№ 4 правильные ответы появляются по щелчку мыши.
Фронтальная форма работы.
Поднимают руки.
Проговаривают правильно.
Слайд № 10 Ответьте на вопросы:
Дайте определение числовой последовательности.
Дайте определение ограниченной сверху и снизу числовой последовательности.
Какую последовательность называют возрастающей и убывающей?
Что такое окрестность точки, радиус окрестности?
Слайд № 11. Укажите окрестность точки в виде интервала, если
а) а = 0
r = 0,1
b) a = -3
r = 0,5
в) а = 2
r = 1
г) а = 0,2
r = 0,3
Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал
а) (1, 3)
б) (-0,2, 0,2)
в) (2,1, 2,3)
г) (-7, -5)
3. Основные этапы урока
а) Предъявление нового материала: Слова учителя: «Рассмотрим две последовательности»
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
Работа с компьютером.
Объясняет
Решает у доски пример № 1
Слушают.
Читают стр 141.
Записывают в тетради пример
Пример № 1:
Найти пределы последовательностей:
1. хn =
2. yn =
3. zn = .
4. tn =
Пример № 2
Вычислить lim
Слайд № 12. Рассмотрим две последовательности
(уn): 1,3,5,7,9,…2n-1,…;
(хn): 1, 1, 1, 1, 1, … 1, …
2 3 4 5 n
0 1 3 5 7 9 11 12
0 1 1 1 1 1 1
6 5 4 3 2
Слайд № 13. Определение.
Число b называют пределом последовательности (уn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
Пишут:
уn b
lim уn = b
n
Слайд № 14. Чему равен предел данной последовательности?
1, 1, 1, 1, 1, … 1, …
2 3 4 5 n
Вывод: lim 1 = 0
n n
1, 1, 1, 1, 1, … 1 n…
2 4 8 16 2
Вывод: lim qn = 0, если |q|< 1
n
Слайд № 15. Теорема
Если lim хn = b, lim уn = с, то
n n
1) Предел суммы равен сумме пределов
lim (хn+ уn)= b + с
n
2) Предел произведения равен произведению пределов
lim (хn уn)= bс
n
3) Предел частного равен частному от пределов
lim хn = b
n уn с
4) Постоянный множитель можно вынести за знак предела
lim (kхn)= kb
n
Пример №1
1) lim = lim = lim * lim = 0*0 = 0
n n n n
2) lim = lim = lim * lim * lim = 0 * 0 * 0 = 0
n n n n n
3) lim = lim = k * lim = k * 0 = 0
n n n
4) lim = lim - lim + lim 3 = 0 – 0 + 3 = 3
n n n n
Пример №2
Вычислить lim = lim = lim = = = 2
б) Первичное осмысление и применение изученного материала:
Учитель показывает карточки с устными примерами.
Работа у доски (каждый учащийся решает по 2 примера у доски, остальные – в тетрадях)
№ 643 (а, б)
Вычислите lim хn , если:
n
.
а) хn =
lim = lim - lim = lim 2 - lim = 2 – 0 = 2
n n n n n
б) хn =
lim = lim+lim+lim=lim+lim+lim1=0 + 0 +1 = 1
n n n n n n n
№ 641
№ 656
Вычислите предел последовательности (yn):
№ 657
г) Первичный контроль, cамомопроверка; слайд № 11:
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
раздает тесты;
проговаривает критерии оценок.
работают по тестам;
проверяют самостоятельно результаты теста по слайду.
Слайд № 11
4. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания:
Подведем итог урока
С какими новыми понятиями вы сегодня познакомились на уроке?
Довольны ли вы результатом? Что удивило или заинтересовало на уроке?
Слайд № 16 п.3, № 639, 642, 657 (в)
Домашнее задание: п.24, № 639, № 642. Дополнительно для сильных № 657.
Приложение
Карточки с устными примерами для закрепления
Тест
ФИ_______________________________________________
1. Окрестностью какой точки является интервал (-22,4; -12,4)?
а) -15, 4 б) 17, 4 в) 15,4 г) – 17, 4
2. Чему равен предел стационарной последовательности?
а) 0
б) 1
в) значению любого члена последовательности
г) любому числу
Вычислите предел числовой последовательности
3. xn =
а) 0 б) -1 в) 3 г) 1
4. xn =
а) 3 б) 7 в) 1 г) 0
5. . xn =
а) б) в) 0 г) 1
Автор(ы): Шмитькова С. А.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 2 (Шмитькова С. А.).doc Алгебра и начала анализа
10 класс
УМК: Алгебра и начала анализа 10-11 класс, А. Г. Мордкович, Москва 2013
Уровень обучения: базовый
Тема: Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности.
Всего часов: 2
По теме: уроки № 1, 2
Цели: изучить способы задания и свойства числовых последовательностей; ввести понятие предела последовательности и формировать умение его находить.
Планируемые результаты:
Личностные: личностное самоопределение
Предметные: овладение основами пространственного воображения. Овладение умениями распознавать и изображать окружность.
Метапредметные: (регулятивные УУД, познавательные УУД, коммуникативные УУД)
целеполагание, планирование, самоконтроль, саморегуляция;
моделирование, преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область;
анализ, синтез, выведение следствий, построение логической цепи рассуждений;
планирование учебного сотрудничества, инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации, умение выражать свои мысли.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Найдите значение выражения при заданном значении переменной.
а) б) в)
III. Объяснение нового материала.
Данная тема является достаточно содержательной, однако на её изучение по программе отведён всего лишь один урок. За это время очень трудно ознакомить учащихся с таким объёмным материалом и решить достаточное количество предложенных в учебнике задач.
С целью оптимизации процесса изучения новой темы можно разбить её на несколько логически завершенных частей и после объяснения каждой части решать соответствующие задачи из учебника.
Здесь мы рассматриваем методику изучения нового материала на каждом этапе, а задания и комментарии к ним приведём в следующем пункте.
1-й этап. Понятие числовой последовательности и способы её задания.
Сначала необходимо напомнить учащимся определение числовой последовательности и попросить некоторых из них сформулировать его.
Далее приводятся два способа задания числовых последовательностей и решаются соответствующие задачи из учебника (№ 24.1 – 24.11).
2-й этап. Свойства числовых последовательностей.
Здесь нужно рассмотреть два основных свойства числовых последовательностей: ограниченность и монотонность.
Сначала вводится понятие ограниченности числовой последовательности. Для этого можно предложить учащимся рассмотреть несколько числовых последовательностей и разбить их на две группы.
1-я группа
… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …
… –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, …
… –4, 2, –1, …
2-я группа
1, 2, 3, 4, …
–1, –4, –9, –16, …
1, …
Замечаем, что для последовательностей из 1-й группы нельзя найти такого числа, которое было бы больше (меньше) любого из членов последовательности. А для последовательностей 2-й группы такое число найти можно.
После этого дать определение последовательности ограниченной сверху (снизу) и просто ограниченной последовательности. Затем решить соответствующие задачи из учебника (№ 24.12 – 24.17).
3-й этап. Введение понятия предела последовательности.
Сначала нужно создать у учащихся представление о том, что значит «последовательность сходится» и «последовательность расходится». На основании этого вводится понятие предела последовательности. При этом необходимо добиться, чтобы учащиеся осознали смысл определения и записи
На основании введённого определения выводятся несколько формул для вычисления предела последовательностей. Эти формулы выносятся на доску:
Далее рассматриваются свойства сходящихся последовательностей и теорема для вычисления пределов последовательностей. Всё это изучается обзорно, без доказательства. При этом на дом учащимся даётся задание законспектировать данный материал.
В конце данного этапа решаются соответствующие задачи из учебника (№ 24.18 – 24.22).
IV. Формирование умений и навыков.
Как упоминалось выше, формирование умений и навыков проводится на каждом этапе изучения нового материала. Согласно этому все задания разбиваются на три группы и выполняются в конце изучения соответствующего этапа.
1-я группа.
1. № 24.1 (а; г), № 24.2 (а; б), № 24.3 (а; б).
2. № 24.5 (а; г), № 24.6 (а; б).
Решение:
№ 24.5.
а) 0, 1, 2, 3, 4, …
Очевидно, что формула п-го члена может быть записана в следующем виде:
г) 10, 9, 8, 7, 6, …
№ 24.6.
а) 5, 10, 15, 20, 25, … б) 6, 12, 18, 24, 30, …
3. № 24.7 (а; г), № 24.8 (в; г).
Эти задания целесообразно выполнять в классе с высоким уровнем подготовки.
Решение:
№ 24.7.
а) 3, 9, 27, 81, 243, … г) 2, 9, 28, 65, 126, …
№ 24.8.
в) г)
4. № 24.10 (а; в).
2-я группа.
1. № 24.12.
2. № 24.14.
3. № 24.15 (а; б), № 24.16 (а; в).
Решение:
№ 24.15.
а)
Заметим, что если вместо п мы будем брать всё увеличивающиеся числа, то значения выражения 2п – 1 будут увеличиваться. Значит, данная последовательность является монотонно возрастающей.
б)
Данную последовательность можно переписать в другом виде:
Очевидно, что если вместо п подставлять числа 1, 2, 3, … , то значение выражения будет уменьшаться, то есть последовательность является монотонно убывающей.
№ 24.16.
а)
Если вместо п брать чётные числа, то значения выражения (–2)п будут положительными, а если – нечётные, то отрицательными. Таким образом, получим последовательность чередующихся положительных и отрицательных чисел, которая не может быть монотонной.
в)
С увеличением п увеличиваются значения выражения п3 – 5, то есть данная последовательность является возрастающей.
3-я группа.
1. № 24.18, № 24.19 (б), № 24.21 (а; б).
2. № 24.20 (а; б), № 24.22 (а; г).
Решение:
№ 24.20 (а).
Разделим числитель и знаменатель дроби почленно на п:
№ 24.22.
г)
Разделим числитель и знаменатель дроби почленно на
Заметим, что мы рассмотрели максимальное количество заданий, которые могут выполнить учащиеся в течение этого урока. Если не будет хватать времени, то ряд однотипных заданий из каждой группы можно исключить.
V. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Дайте определение числовой последовательности.
– Какие существуют способы задания числовых последовательностей? Приведите примеры.
– Какая последовательность называется ограниченной сверху (снизу)? Ограниченной? Приведите примеры.
– Какая последовательность называется возрастающей? Убывающей? Приведите примеры.
– Какое число называется пределом последовательности?
Домашнее задание: № 24.2 (г), № 24.3 (в), № 24.6 (г), № 24.7 (б; в), № 24.13, № 24.16 (б, г), № 24.19 (г), № 24.21 (г).
Дополнительно: № 24.8 (б), № 24.20 (г), № 24.22 (б).
Автор(ы): Касенов Т. К.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 1-2 (Касенов Т. К.).docАвтор(ы): Шмитькова С. А.
Скачать: Алгебра 10кл - Презентация к уроку 1 (Шмитькова С. А.).pptАвтор(ы): Шмитькова С. А.
Скачать: Алгебра 10кл - Презентация к уроку 2 (Шмитькова С. А.).pptАвтор(ы): Шмитькова С. А.
Скачать: Алгебра 10кл - Приложение к уроку 1 (Шмитькова С. А.).docАвтор(ы): Шмитькова С. А.
Скачать: Алгебра 10кл - Тест (Шмитькова С. А.).zip
