Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Предметы
Класс
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Тип материала

Синус и косинус суммы и разности аргументов

Текст урока

  • урок 1 (Снасапова А. С.) 

     Название предмета Алгебра и начала анализа10 – 11 класс
Класс 10
УМК (название учебника, автор, год издания) - Алгебра и начала анализа10 – 11 классы в 2 частях( учебник, задачник) для общеобразовательных учреждений. Мордкович А.Г – 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010.
Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный) базовый
Тема урока Синус и косинус суммы и разности аргументов
Общее количество часов, отведенное на изучение темы- 4
Место урока в системе уроков по теме -1
Цель урока формирования новых знаний познакомить обучающихся с формулами синуса, косинуса суммы и разности аргументов.
Задачи урока
Создать условия для формирования у обучающихся представлений о формулах для косинуса и синуса суммы и разности двух  аргументов;
Создать условия для мотивации обучающихся в изучении формул синуса и косинуса суммы и разности аргументов;
способствовать формированию умений в применении нового и ранее изученного материала, при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений;
способствовать формированию таких качеств личности  как ясность и точность мысли, самоконтроль;
продолжить формировать представления о математике как части общечеловеческой культуры и ее связи с другими науками.

Планируемые результаты:
применять формулы  для вычисления значений и преобразований тригонометрических  выражений
Техническое обеспечение урока - компьютер, проектор, экран, доска, мел.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы)

Содержание урока
Организационный момент.
   Доброе утро. Сегодня мы с вами продолжаем работу с тригонометрическими выражениями. Предлагаю вам устную работу.
1. Исследование. 
1. Устная работа – 5 мин.  
1).Упростить:
а)cos (3π/2 + α) =  ;       б) tg(3600 – α) = ;
в) sin (π – α) =  ;            г) sin( π/2 + α) =  ;
д) tg ( 2π + α) =  ;          е) cos ( π/2 – α) =  ;
ж) ctg ( π/2 + α ) = ;      з) tg ( π + α) = .     
2). Вычислите:
а) cos 30o =            б) – 2 tg2 450 =
в) а sin 1800 =                     г) 2sin 300 = 
д) sin 1350 =                        е) sin 750 = 
ж) sin 150 =                         з) cos 1050 = .

Почему мы не можем вычислить задания ж, е,з?

Через какие известные нам значения мы могли бы выразить 75градусов?
Чтобы вычислить sin 750,  надо применить формулы тригонометрии. Эти формулы также применяются в физике. ( СЛАЙД)
к решению уравнения sinx/sin(x – α) = n , которые нельзя решить без знания теорем сложения.
Тема нашего урока «Синус и косинус суммы и разности аргументов». Запишите в тетради.
2. Проектировочный этап. 
Какие цели вы бы поставили себе на урок при изучении этой темы?
Программа действий:
1.Найти  формулы синус и косинус суммы и разности аргументов.
2.Отработать навыки применения этих формул.

3.Этап-исполнение.
Где мы можем найти эти знания? (учебник, интернет, учитель и т.п.)
Работа с учебником (сделать   запись формул в тетрадь).
Выведем формулу синуса разности, косинуса суммы и косинуса разности, используя формулы приведения. Класс разбивается на три группы. Каждая группа получает своё задание.
а) Заменив β на – β получим:  sin(α – β) = sin (α +(-ß)) = sinα ∙ cos(-ß) + cosα ∙ sin(-ß)             
sin (α – ß) = sinα · cosβ – cosα · sinβ
б) Формула косинуса суммы аргументов может быть выведена из полученной:
cos (α + β)= sin (90o – (α + β)) = sin ((90o – α) – β) = sin (90o – α) sinβ – cos (90o – α) sinβ = cosα ·cosβ – sinα · sinβ
cos(α + ß) = cosα ∙ cosß – sinα ∙ sinß
в) cos (α – ß) = cos(α + (-ß)) = cosα ∙ cos(-ß) – sinα ∙ sin(-ß) = cosα ∙ cosß + sinα ∙ sinß
cos (α – ß) = cosα ∙ cosß + sinα ∙ sinß
Слайд №9.
Доказательства этих теорем есть в учебнике. Вы можете сними ознакомиться дома.
Отработка применения формул.
1.Вычислите( один ученик у доски, другие в тетрадях):
а) sin 75o = sin(45o + 30o) = sin 45o · cos30o + cos 45o · sin 30o = 
б) sin 150 = sin(450 – 300) = sin450 ∙ cos300 – cos450 ∙ sin 300
в) cos1050 = cos( 600 + 450) =
б) Доказать, что:
sin ( + х) = – sinx 

cos ( + х) = – cosx
Самостоятельно, с последующей проверкой по слайду 10. 
Решение:
sin ( + х) = sin   · cosx + cos   · sinx = 0 · cosx + (– 1) · sinx = – sinx 
cos ( + х) = cos   · cosx + sin   · sinx = (– 1) · cosx – 0 · sinx = – cosx
в) Вычислите: sin (x + y), если известно, что
sin x = 3/5,  0 < x <  /2 ; cos y = – 3/5,  <  y < 3  /2
На доске решает один ученик, остальные в тетрадях.
Решение:

Oтвет: –1

2. Самостоятельная работа по уровням– 10 мин.  
http://www.yaklass.ru 10 класс алгебра выбираете уровень самостоятельно.
Самостоятельная работа оценивается автоматически.
Рефлексия учебной деятельности.
Учитель выставляет оценки за самостоятельную работу. Оценку деятельности учащихся ими самими.
Смогли ли вы на сегодняшнем уроке чему-то научиться? Где пригодятся эти знания?
На сколько вы были активны?
1) Домашнее задание. 
§19  № 19.1 (а), №19.2 ,№ 19.3
Постановка новой проблемы.
Как вы считаете вы достаточно хорошо научились применять эти формулыили стоит продолжить отработку навыков применения на следующем уроке?
На следующем уроке мы продолжим отработку применения этих формул.
Урок закончен. Спасибо!

    Автор(ы): Снасапова А. С.

    Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Снасапова А. С.).docx

  • Урок 2 (Снасапова А. С.) 

     Название предмета Алгебра и начала анализа10 – 11 класс
Класс 10
УМК (название учебника, автор, год издания) - Алгебра и начала анализа10 – 11 классы в 2 частях( учебник, задачник) lля общеобразовательных учреждений. Мордкович А.Г – 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2011.

Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный) базовый
Тема урока Синус и косинус суммы и разности аргументов
Общее количество часов, отведенное на изучение темы- 4
Место урока в системе уроков по теме -2
Цель урока:  Повторить основные тригонометрические формулы и закрепить их знания          в ходе выполнения упражнений;
Задачи урока:    
 - Развивать вычислительные навыки, логическое мышление, навыки контроля и   самоконтроля, умение работать с  компьютерной презентацией.
 -Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов.
Планируемые результаты
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы)
Содержание урока 

 I. Организационный момент.
Сообщение темы, цели урока и мотивация учебной деятельности
 II. Проверка знаний учащимися тригонометрических формул.

У доски 3 уч-ся записывают тригонометрические формулы:
1 уч. Формулы, которые устанавливают соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.
2 уч.Формулы сложения.
3 уч.Формулы суммы и разности и разности тригонометрических функций. 
В это время с остальными уч-ся провести устную разминку.
1.Устная разминка (задания заранее написаны на доске):
1.Какому выражению  соответствует значение   ?
                  а)sin30; б) cos;    в) tg
2.Выбрать возможный вариант.
                 а) sin  =;    б) cos   = -2;   в) sin    = -3,7.
3. Какой из углов является углом II четверти?
                 а) ;    б) –145 ;    в) 
4.В каких четвертях sin    и   имеют разные знаки?
                   а) II и IV;   б) I и  III;   в) I и IV.

5. Каким выражением можно заменить ?
         а) cos  ;     б) sin ;    в) - sin.
2. Компьютерная презентация тригонометрических формул.
3. Математический диктант.
Вариант1
Вариант2
1+tg2  =
cos(/2+)=
tg (3/2+)=
1+ctg2=
1- sin2  =
sin(+)=
sin(-)=
tg.ctg=
sin2 + cos2=
cos(+)=
sin2=
сos2=
cos (-)=
1-cos2=
sin - sin=
сos - cos=

Два ученика выполняют работу на закрытых досках.

Критерии оценок: верные ответы  8            оценка «5»
                                                           7                          «4»
                                                           5-6                       «3»  
                                                  менее 5                         «2»
Учащиеся проверяют работы одноклассников, работающих на обратной стороне доски, и одновременно свои работы.
      II. Проверка домашнего задания: §19  № 19.1 (а), №19.2 ,№ 19.3 (комментарии учащихся)
III. Сообщение из истории математики (компьютерная презентация).
IV. Применение тригонометрических формул к преобразованию выражений.

На доске самостоятельно по карточкам работают 2 ученика.

Карточка№1. Найти значение выражения 2sin+5сos  , если tg=2
                                                                         3сos- sin


Карточка№2. Вычислить сos2, если sin=-3/4,     3/2.

Одновременно на местах и у доски с объяснением решается из учебника №11(а,б).

V.Выполнение теста.
Тест по теме «Тригонометрические формулы»
Вариант I
1. Запишите  cos61/10       с помощью наименьшего положительного числа:
                        а) sin ;           б) sin ;          в) cos ;            г) cos .  
2. Сравните с нулём выражения sin , cos 5 и tg 1,6. Выберите правильную серию ответов:  
                                                                                                                                  а) - - +  ;     б) + + - ;            в) - + -;                г) - + +.
 3   .Найдите значение выражения   7 cos - 5.

         а) 2;                  б) -2;             в) -1;                г) 1.
         4.Упростите выражение 
      а) cos ;             б) -sin;          в) sin ;            г) cos .
5.Оцените значение выражения 2 – 3 sin
     а)            б)               в)              г) 
Выполнить задание, выбрать верный ответ из предложенных, результат записать в таблицу.
Вариант№
Фамилия,имя
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5






                     Тест по теме «Тригонометрические формулы»

                                                      Вариант II
1. Запишите  cos 91/15   с помощью наименьшего положительного числа: 
                       а) sin ;           б) sin ;          в) cos ;            г) cos .  
2. Сравните с нулём выражения cos , cos 0,7 и ctg 1,6. 
Выберите правильную серию ответов.   
      а) - - +  ;     б) + + - ;            в) - + -;                г) - + +.
      3   .Найдите значение выражения  5 – 4 sin 
         а) 2;                  б) -2;             в) -1;                г) 1.
     4.Упростите выражение                                                                                        
           а) cos ;             б) -sin;          в) sin ;            г) cos .
5.Оцените значение выражения 2 – 3 cos                                                                               
     а)            б)               в)              г) 

Выполнить задание, выбрать верный ответ из предложенных, результат записать в таблицу.
Вариант№
Фамилия,имя
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5






Ответы:

Вариант I ввагв        Вариант II гвггв 


VI.Итоги урока
Продолжи фразу
«Сегодня на уроке я повторил…»
«Сегодня на уроке я закрепил…»
Комментирование и выставление оценок.


VII. Домашнее задание:
№№ 19.4(а, б), 19.7, 19.14(б) (Ал­геб­ра и на­ча­ла ана­ли­за, 10 класс (в двух ча­стях). За­дач­ник для об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных учре­жде­ний (про­филь­ный уро­вень) под ред. А. Г. Морд­ко­ви­ча. –М.: Мне­мо­зи­на, 2007.)

    Автор(ы): Снасапова А. С.

    Скачать: Алгебра 10кл - Урок 2 (Снасапова А. С.).docx

  • урок 3 (Снасапова А. С.) 

     Название предмета Алгебра и начала анализа10 – 11 классы
Класс 10
УМК (название учебника, автор, год издания) Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа10 – 11 классы в 2 частях( учебник, задачник) Для общеобразовательных учреждений. – 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2011.
Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный) базовый
Тема урока Синус и косинус суммы и разности аргументов
Общее количество часов, отведенное на изучение темы- 4
Место урока в системе уроков по теме -3
Цель урока: усвоение знаний, высокий уровень обобщения, систематизации
Задачи урока: 
выявить качество и уровень овладения знаниями и умениями, полученными на предыдущих уроках по теме;
обобщить материал как систему знаний;
воспитывать общую культуру, эстетическое восприятие окружающего; создать условия для реальной самооценки учащихся, реализации его как личности;
развивать пространственное мышление, умение классифицировать, выявлять связи, формулировать выводы; 
развивать коммуникативные навыки при работе в группах, развивать познавательный интерес; 
развивать умение объяснять особенности:, закономерности:, анализировать:, сопоставлять:, сравнивать: и т.д.

Планируемые результаты
Уметь упрощать выражения с применением основных формул одного аргумента тригонометрических функций; добывать информацию по заданной теме в источниках различного типа
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы) 
http://www.5ballov.ru/referats/preview/74707 
 http://works.tarefer.ru/50/100176/index.html 
http://images.yandex.ru/yandsearch?text 

Содержание урока
1. Организационный момент
2. Актуализация знаний 
Устная работа
1. Вычислите:
а) ;
б) ;
в);
г) .
           (Ответ: а); б) ; в) ; г)  .)
2. а) ;
б) ;
в) .
            (Ответ: а) 0; б) 1; в) 0.)
3. а) (;
б) ;
в) .
            (Ответы: а) 1; б) 1; в) 0.)
3. Проверка домашнего задания: №№ 19.4(а, б), 19.7, 19.14(б) повторим, как найти  для синуса и косинуса сумму и разность аргументов.
   
4. Тренировочные упражнения
№ 19.3 (б,г)
б)                                    
г)      
            


№ 19.6
а)  .
№ 19.21
а) 
   
   
   . 
Дополнительные задания

№ 1
а)                                           
   
                         
 .


№2
 .
а) 
б) .
      5. Итог урока
      Домашнее задание
           П.19  № 19.7;№19.9

    Автор(ы): Снасапова А. С.

    Скачать: Алгебра 10кл - урок 3 (Снасапова А. С.).docx

  • урок 4 (Снасапова А. С.) 

     Название предмета Алгебра и начала анализа10 – 11 классы
Класс 10
УМК (название учебника, автор, год издания) Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа10 – 11 классы в 2 частях( учебник, задачник) Для общеобразовательных учреждений. – 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2011.
Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный) базовый
Тема урока Синус и косинус суммы и разности аргументов
Общее количество часов, отведенное на изучение темы- 4
Место урока в системе уроков по теме -4
Цель урока: обобщение и систематизация материала темы.
Задачи урока: 
выявить качество и уровень овладения знаниями и умениями, полученными на уроках темы:, обобщить материал, как систему знаний, проверить способность к творческому мышлению и самостоятельной деятельности, закрепить умение работать с тестовыми заданиями;
способствовать формированию ответственного отношения к учению, готовности и мобилизации усилий на безошибочное выполнение заданий, проявить наибольшую активность в их выполнении; воспитать культуру учебного труда, навыков самообразования, экономного расходования времени;
развить логическое мышление, память, способность к анализу и синтезу; формировать навыки самоконтроля, навыки работы в коллективе (при использовании коллективной работы).

Планируемые результаты 
выполнять расчеты по формулам, выражающих зависимости между реальными величинами; пользоваться знаниями о  преобразовании тригонометрических выражений, применяя различные формулы; сформировать навыки самообразования, экономного расходования времени.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы) 
1. Купорова Т.И. алгебра и начала анализа. 10 класс. I и II полугодие: Поурочные планы                      ( к учебнику А.Г. Мордковича). – Волгоград: Учитель, 2004-2007.
2. Обухова Л.А., Занина О.В., Данкова И.Н. Поурочные разработки по алгебре и началам анализа. 10 класс. – М.: ВАКО, 2008.


Содержание урока
1.Организационный момент.
На экране слова: «Учиться можно только весело, чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом» (Анатоль Франс (1844 – 1924)  – французский писатель)  (слайд  2 )
Следуя советам писателя, давайте будем активны, внимательны и с большим удовольствием будем поглощать знания, которые понадобятся в дальнейшем.
- На протяжении многих уроков мы знакомились с тригонометрическими формулами. А как вы думаете, чем мы будем заниматься на данном уроке?
- Мы повторим тригонометрические формулы и покажем, как применяются  формулы при  решении  упражнений в различных ситуациях.
- Запишите число и тему урока. 
- Назвать цели урока: повторить тригонометрические формулы, показать практическое применение теории; умение оценивать работу свою и товарищей.

Прежде, чем начнём работу, обратите внимание на  домашнее задание  (взаимоконтроль)
Запишите в дневник: 1) Повторить формулы тригонометрии
                                        2) Повторить формулы приведения 
                                        3) Составить план проекта «История развития тригонометрии»

2. Сообщение учащегося  (слайд 3) 
Цель: содействовать воспитанию интереса к математике и расширению математического кругозора.
«Исторические сведения о развитии тригонометрии»  
Оценку за сообщение учащийся выставляет в ЛИСТ УЧЁТА ЗНАНИЙ.
3.Устная работа: (слайд 5)
 повторить формулы: по цепочке : sin ²α + cos ²α = 1; 
sin (x +  y);    sin (x  -   y);    cos (x +  y); cos( x  -   y ) 
После повторения формул, класс выполняет  математический диктант  в двух вариантах 
(слайд 6) 
Взаимопроверка  , нормы оценок на заданиях (слайд 7)
1 вариант Вычислить
Sin 75=(√6+√2)/4 
Cos 15=(6+√2)/4 
Sin48Сos12 +Сos48Sin12= √3/2
Решите уравнение 
Sin6хCosх+SinхCos6х=1/2 
Вычислите Cos (п/3-у), если  Cosу=-3/5,  п/2 < у < п 





2 вариант
Sin 15=(√6-√2)/4
Cos 75=(√6-√2)/4
Сos37Сos8- Sin37Sin8= √2/2
Решите уравнение 
             Cos5хCos7х-Sin5хSin7х=-√3/2

Вычислите Sin (п/3+у),
      если Sinу=3/5    0< у < п/2





           
3) Ответы учащихся, работающих у доски, и оценивание их  ответа.
Оценки за математический диктант и устную работу у доски учащиеся выставляют в ЛИСТЫ УЧЁТА ЗНАНИЙ.

3. Самостоятельная работа

Цель: взаимоконтроль знаний и приведение в систему знаний по тригонометрическим формулам. 

1 вариант                                                                   
19.10-19.14 (а) 19.25(а),
2 вариант19.10-19.14 (б) 19.25(б)
   
Оценки учащиеся выставляют в ЛИСТАХ  УЧЁТА ЗНАНИЙ.                                                                  
Ответы: 

Номера заданий






1 вариант






2 вариант







6.Подведение итогов урока 
1)Что повторили  на уроке?
2)Понравился ли вам урок? 
7. Домашнее задание §19, формулы
№ 19.21 -19.23(а,б)

    Автор(ы): Снасапова А. С.

    Скачать: Алгебра 10кл - урок 4 (Снасапова А. С.).docx

  • урок 1 (Шаныгина Е. А.) 

     Название предмета: Алгебра и начала математического анализа.
Класс: 10.
УМК: Алгебра и начала математического анализа часть 1, Мордкович А.Г., 2011
Алгебра и начала математического анализа часть 2 задачник, Мордкович А.Г., 2011
Уровень обучения: базовый
Тема урока: «Синус и косинус суммы аргументов».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 4
Место урока в системе уроков по теме: Первый урок
Цель урока: познакомить обучающихся с формулами синуса, косинуса суммы аргументов, развивать умения применения этих формул.
Задачи урока:
Создать условия для формирования у обучающихся представлений о формулах для косинуса и синуса суммы двух аргументов;
Создать условия для мотивации обучающихся в изучении формул синуса и косинуса суммы аргументов;
способствовать формированию умений в применении нового и ранее изученного материала, при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений;
способствовать формированию таких качеств личности как ясность и точность мысли, самоконтроль;
продолжить формировать представления о математике как части общечеловеческой культуры и ее связи с другими науками.
     Планируемые результаты: Сформировать умение применять формулы  синуса и косинуса суммы аргументов  при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран, доска, мел.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: http://www.yaklass.ru 

Содержание урока:
Организационный момент.
Доброе утро. Сегодня мы с вами продолжаем работу с тригонометрическими выражениями. Предлагаю вам устную работу.
1. Исследование.
1. Устная работа – 5 мин. (Слайды 2,3)
1).Упростить:
а) cos(3π/2 +α) = ; 
б) tg(3600–α) = ;
в) sin(π–α) = ; 
г) sin(π/2 +α) = ;
д) tg( 2π+α) = ;
е) cos(π/2 –α) = ;
ж) ctg(π/2 +α) = ; 
з) tg(π+α) = .
2). Вычислите:
а) cos30o= 
б) – 2tg2450=
в) аsin1800= 
г) 2sin300=
д) sin1350=
е) sin750=
ж) sin150=
з) cos1050= .

Почему мы не можем вычислить задания ж, е, з?
Через какие известные нам значения мы могли бы выразить 75 градусов?
Чтобы вычислить sin750, надо применить формулу синус суммы, а sin150 формулу синус разности. Эти формулы также применяются в физике.
Задача №1 (слайд № 4)
На практике часто приходиться двухфазный или трехфазный ток направлять в один проводник. При этом возникает, как показал опыт, "суммарный" переменный ток, мгновенная сила которого равна сумме мгновенных сил слагаемых токов. Точную величину амплитуды "суммарного" тока, его частоту и фазу смещения не найти, не рассмотрев предварительно свойств тригонометрических функций, связанных со сложением аргументов.
При частоте гармонического тока ν = 50 Гц его круговая частота равна 2ν, т.е. 314 1/с. Если данный процесс происходит в единой ветви, то результирующий ток, например в фазе, будет складываться из токов: i1, i2, i3.
Задача № 2 ( слайд № 5)
При переходе светового луча из одной среды в другую происходит его преломление (рис.5), т.е. отклонение от первоначального направления, причем коэффициент преломления равен отношению sin α1, sin α2, где α1– угол падения луча на границу сред, α2– угол отклонения. При конструировании оптических приборов приходится решать задачи подобные следующей: как надо направить луч на границу двух сред, чтобы угол падения луча превышал угол преломления на данную величину?
Если коэффициент преломления равен n, а угол падения больше угла преломления на αо, то отыскание искомого угла падения х сводится к решению уравнения sinx/sin(x – α) = n, которые нельзя решить без знания теорем сложения.
Тема нашего урока «Синус и косинус суммы и разности аргументов». Запишите в тетради.
2. Проектировочный такт.
Какие цели вы бы поставили себе на урок при изучении этой темы?
Программа действий:
1. Найти формулы синус и косинус суммы аргументов.
2. Отработать навыки применения этих формул.
3. Такт-исполнение.
Где мы можем найти эти знания? (учебник, интернет, учитель и т.п.)
Отыскание формул в интернет ресурсах и запись их в тетрадь.
Выведите формулу синуса разности, косинуса суммы и косинуса разности самостоятельно в парах, используя формулы приведения. Класс разбивается на три группы. Каждая группа получает своё задание.
а) Заменив β на – β получим: sin(α – β) =sin(α +(-ß)) =sinα ∙cos(-ß) +cosα∙sin(-ß)
sin(α – ß) =sinα·cosβ –cosα·sinβ
б) Формула косинуса суммы аргументов может быть выведена из полученной:
cos (α + β)= sin (90o– (α + β)) = sin ((90o– α) – β) = sin (90o– α) sinβ – cos (90o– α) sinβ = cosα·cosβ – sinα·sinβ
cos(α + ß) = cosα ∙ cosß – sinα ∙ sinß
в) cos (α – ß) = cos(α + (-ß)) = cosα ∙ cos(-ß) – sinα ∙ sin(-ß) = cosα ∙ cosß + sinα ∙ sinß
cos (α – ß) = cosα ∙ cosß + sinα ∙ sinß
Слайд № 9.
Доказательства этих теорем есть в учебнике. Вы можете с ними ознакомиться дома.
Отработка применения формул.
1.Вычислите ( один ученик у доски, другие в тетрадях):
а) sin 75o= sin (45o+ 30o) = sin 45o·cos30o+ cos 45o·sin 30o=
б) sin 150= sin(450– 300) = sin450∙ cos300– cos450∙ sin 300
в) cos1050=cos( 600+ 450) =
б) Доказать, что:
sin (п+ х) = – sinx
cos ( п+ х) = – cosx
Самостоятельно, с последующей проверкой по слайду 10.
Решение:
sin (п+х) = sinп·cosx+cosп·sinx=0·cosx+(–1)·sinx=–sinx
cos ( п+ х) = cosп·cosx + sinп·sinx = (– 1)·cosx – 0·sinx = – cosx
в) Вычислите: sin (x + y), если известно, что
sin x = 3/5, 0 < x <п/2 ; cos y = – 3/5, п< y < 3п/2
На доске решает один ученик, остальные в тетрадях.
Решение:
Oтвет: –1
2. Самостоятельная работа по уровням – 10 мин. (слайд 11)
http://www.yaklass.ru 10 класс алгебра выбираете уровень самостоятельно.
Самостоятельная работа оценивается автоматически.
4. Рефлексия учебной деятельности.
Учитель выставляет оценки за самостоятельную работу. Оценку деятельности учащихся ими самими.
Смогли ли вы на сегодняшнем уроке чему-то научиться? Где пригодятся эти знания?
На сколько вы были активны?
1) Домашнее задание. (Слайд 13)
§19 № 19.1 (а), №19.2, № 19.3, 19.4 (а, б).
5. Постановка новой проблемы.
Как вы считаете вы достаточно хорошо научились применять эти формулы или стоит продолжить отработку навыков применения на следующем уроке?
На следующем уроке мы продолжим отработку применения этих формул.
Урок закончен. Спасибо!

    Автор(ы): Шаныгина Е. А.

    Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Шаныгина Е. А.).doc

  • урок 2 (Шаныгина Е. А.) 

     Название предмета: Алгебра и начала математического анализа.
Класс: 10.
УМК: Алгебра и начала математического анализа часть 1, Мордкович А.Г., 2011
Алгебра и начала математического анализа часть 2 задачник, Мордкович А.Г., 2011
Уровень обучения: базовый
Тема урока: «Синус и косинус разности аргументов».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 4
Место урока в системе уроков по теме: Второй урок
Цель урока: познакомить обучающихся с формулами синуса, косинуса разности  аргументов, развивать умения применения этих формул.
Задачи урока:
Создать условия для формирования у обучающихся представлений о формулах для косинуса и синуса разности двух аргументов;
Создать условия для мотивации обучающихся в изучении формул синуса и косинуса суммы и разности аргументов;
способствовать формированию умений в применении нового и ранее изученного материала, при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений;
способствовать формированию таких качеств личности как ясность и точность мысли, самоконтроль;
продолжить формировать представления о математике как части общечеловеческой культуры и ее связи с другими науками.
     Планируемые результаты: Сформировать умение применять формулы  синуса и косинуса суммы и разности аргументов  при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран, доска, мел.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: Mathematics. ru,  exponenta. ru

Содержание урока:

Введение. Формулы для синуса и косинуса разности двух аргументов
На уроке повторяются формулы синуса и косинуса суммы    их применение для решения задач. Выводятся формулы синуса и косинуса разности аргументов из соответствующих формул суммы аргументов. Решаются задачи на вычисление, упрощение и доказательство тождеств с применением этих формул.
Используя

причем здесь – любые числа; где 
получаем:


Теперь аналогично выведем формулу для косинуса разности аргументов:

Итого:

2. Применение формул для синуса и косинуса разности двух аргументов при решении задач на вычисление
1. Вычислить: 
Решение:

Ответ:
2. Вычислить 
Решение:

Ответ: 
3. Задача на доказательство
3. Доказать, что

Доказательство:
Используя , при получаем:

,  проиллюстрировано на рис.1.


Рис. 1.
4. Задачи на применение формулы приведения
4. Упростите выражение:
Решение: используя формулу синуса разности , при 

Числатабличные. Иллюстрация дана на единичной окружности (см. рис. 2).

Рис. 2.

Ответ: 
5. Упростите выражение: 
Решение: используем формулу :
= 
Ответ: 
5. Вычислительные задачи на применение формул для синуса и косинуса разности двух аргументов
6. Найдите значение выражения: 
Вычисление: используем формулу косинуса разности двух аргументов


.
Ответ:.
7. Найдите значение выражения: 
Вычисление:
, при 

Ответ: 
6. Решение уравнения с помощью формулы синуса разности двух аргументов
8. Решить уравнение: .
Решение:




,.
Ответ: 
7. Задача на вычисление
9. Дано:
Вычислить: 
Решение: используя , при 

По условию число  из второй четверти (см. рис. 3), потому его косинус отрицателен.

Рис. 3.
Вычисляя по основному тригонометрическому тождеству с учетом того, что это величина положительная, получаем:

получим:

Ответ: 
8. Итог урока
На уроке рассматривались формулы синуса и косинуса разности аргументов, а также их применение для решения некоторых задач.
9 Домашнее задание
№№ 19.3(а, б), 19.7, 19.14(б) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях. А. Г. Мордкович –М.: Мнемозина, 2011.)

    Автор(ы): Шаныгина Е. А.

    Скачать: Алгебра 10кл - урок 2 (Шаныгина Е. А.).doc

  • урок 3 (Шаныгина Е. А.) 

     Название предмета: Алгебра и начала математического анализа.
Класс: 10.
УМК: Алгебра и начала математического анализа часть 1, Мордкович А.Г., 2011
Алгебра и начала математического анализа часть 2 задачник, Мордкович А.Г., 2011
Уровень обучения: базовый
Тема урока: «Синус и косинус суммы и разности аргументов».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 4
Место урока в системе уроков по теме: Третий урок
Цель урока: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы. 
Задачи урока:
Создать условия для повторения, обобщения и систематизации формул косинуса и синуса суммы и разности двух аргументов;
Создать условия контроля (самоконтроля и взаимоконтроля);
Развивать и совершенствовать умения применять теоретические знания к решению   упражнений; мыслительные способности учащихся; их речевую культуру; математический кругозор.
воспитывать уверенность в своих знаниях; умение слушать других; содействовать воспитанию интереса к математике
продолжить формировать представления о математике как части общечеловеческой культуры и ее связи с другими науками.
     Планируемые результаты: Сформировать умение применять формулы  синуса и косинуса суммы и разности аргументов  при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран, доска, мел,  листы учета знаний.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: Mathematics. ru,  exponenta. ru

Содержание урока:
Организационный момент
На экране слова: “Учиться можно только весело, чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом” (Анатоль Франс (1844– 924) – французский писатель) (слайд 3 )
Учитель: Следуя советам писателя, давайте будем активны, внимательны и с большим удовольствием будем поглощать знания, которые понадобятся в дальнейшем. На протяжении многих уроков мы знакомились с тригонометрическими формулами. А как вы думаете, чем мы будем заниматься на данном уроке?
Мы повторим тригонометрические формулы и покажем, как применяются формулы при решении упражнений в различных ситуациях. Запишите число и тему урока.
Назвать цели урока: повторить тригонометрические формулы, показать практическое применение теории; умение оценивать работу свою и товарищей.
Чтобы легче всем жилось,
Чтоб решалось, чтоб моглось.
Улыбнитесь! Удачи всем!
Чтобы не было проблем!
– Прежде, чем начнём работу, обратите внимание на домашнее задание (слайд 4).
Запишите в дневник:
1) Повторить формулы тригонометрии
2) Повторить формулы приведения
3) Составить план проекта “История развития тригонометрии”
2.
1. У доски работают два ученика по карточкам: (слайд 5)
Ученик 1 доказывает:
1) sin x + sin y, sin x – sin y.
2) cos 85+ cos 35– cos 25.
Ученик 2доказывает
1) cos x + cos y, cos x – cos y.
2) sin 20+ sin 40– cos 10.
2. Устная работа:(слайд 6)
Повторить формулы: по цепочке:
sin2+ cos2= 1; sin 2, cos 2; tg 2;;;
sin x + sin y; sin x – sin y; cos x + cos y; cos x – cos y; tg (+); tg (–)
После повторения формул, класс выполняет математический диктант в двух вариантах (слайд 7)

Взаимопроверка с экрана (слайд 8)
3) Ответы учащихся, работающих у доски, и оценивание их ответа.
Оценки за математический диктант и устную работу у доски учащиеся выставляют в ЛИСТЫ УЧЁТА ЗНАНИЙ.
3. Работа с тестами
(слайд 9)
Цель:взаимоконтроль знаний и приведение в систему знаний по тригонометрическим формулам.
Тесты составлены в двух вариантах, состоят из 6 заданий. При выполнении теста учащиеся вспоминают и применяют тригонометрические формулы. (Провести взаимоконтроль, ответы записаны на экране )
Вариант 1
1. Упростите выражение.
1) sin 3
2) cos 3
3)sin 3
4) 2 sin 3
2. Пусть а = sin– sin. Найдите правильный ответ.
1) а =
2) а =
3) а = sin
4) а =
3. Упростите выражение.
1) 0
2)
3) 1
4)
4. Найдите значение выражения.
1) 1
2) 2
3) – 1
4) – 0,5
5. Найдите значение cos, если cos=.
1)
2) –
3) –
4)
6. Упростите выражение, если.
1)
2)
3) – 1
4) 1
Вариант 2
1. Упростите выражение.
1)
2) 1
3)
4)
2. Пусть а = cos+ cos. Найдите правильный ответ.
1) а =
2) а =
3) а =
4) а =
3. Упростите выражение.
1) tg
2)
3) 1
4)
4. Найдите значение выражения.
1) 1
2) 2
3) – 1
4) 0,5
5. Найдите значение sin, если sin= –,.
1) –
2) –
3)
4)
6. Упростите выражение, если.
1)
2) – 1
3) 1
4)
Нормы отметок:
6 заданий “5”
5 заданий “4”
4 задания “3”
3 задания “2”
Оценки за тест учащиеся выставляют в ЛИСТЫ УЧЁТА ЗНАНИЙ.
Ответы(слайд 10)
Номера заданий
1
2
3
4
5
6
1 вариант
3
2
4
1
2
3
2 вариант
1
1
2
1
4
2
4. Сообщение учащегося
(слайд 11)
Цель:содействовать воспитанию интереса к математике и расширению математического кругозора.
“Исторические сведения о развитии тригонометрии”
Оценку за сообщение учащийся выставляет в ЛИСТ УЧЁТА ЗНАНИЙ.
5. Тренировочные упражнения
Доказательство тождеств (слайд 12)

Оценки за работу у доски учащиеся выставляют в ЛИСТЫ УЧЁТА ЗНАНИЙ.
6. Подведение итогов урока
(слайд 13)
1) Чем занимались на уроке?
2) Что узнали нового на уроке?
3) Понравился ли вам урок?
4) Отметьте рефлексию в листах учёта знаний, поставьте оценки в дневник.
5) Сдайте листы учёта знаний.

    Автор(ы): Шаныгина Е. А.

    Скачать: Алгебра 10кл - урок 3 (Шаныгина Е. А.).doc

  • урок 4 (Шаныгина Е. А.) 

     Название предмета: Алгебра и начала математического анализа.
Класс: 10.
УМК: Алгебра и начала математического анализа часть 1, Мордкович А.Г., 2011
Алгебра и начала математического анализа часть 2 задачник, Мордкович А.Г., 2011
Уровень обучения: базовый
Тема урока: «Применение формул синуса и косинуса суммы и разности аргументов при решении уравнений».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 4
Место урока в системе уроков по теме: Четвертый урок
Цель урока: Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения обучающихся, связанные с применением формул синуса и косинуса суммы и разности аргументов и решения уравнений.
Задачи урока:
Создать условия для мотивации обучающихся в изучении формул синуса и косинуса суммы аргументов;
способствовать формированию умений в применении нового и ранее изученного материала, при решении тригонометрических уравнений;
способствовать формированию таких качеств личности как ясность и точность мысли, самоконтроль;
продолжить формировать представления о математике как части общечеловеческой культуры и ее связи с другими науками.
     Планируемые результаты: Сформировать умение решать простейшие тригонометрические уравнения.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран, доска, мел.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: http://www.yaklass.ru 

Содержание урока:
1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания
3. Выполнение карточек
Выдаются карточки с заданиями и копировальная бумага. Ученики выполняют задания на листах через копирку, один экземпляр оставляют себе. После проверяют выполненное  задание. Ответы к заданиям карточек находятся с обратной стороны доски.

4. Устная работа
1. Исправьте ошибки на доске и подумайте о причинах их возникновения.

2. Вычислите:

Для каких а существует arcsinа и arccosа?
3. Упростите выражения:

5. Основной этап
– Какие способы решения уравнений вам известны?
Определить типы уравнений и способы их решения.


– Какие виды заданий можно ещё придумать? (Например: найдите наименьший положительный корень уравнения и др.)






6. Домашнее задание:§19, №№ 14, 15(а),16(а), 23 (б), 24( в).
7. Рефлексия
– Ребята, на листочках, которые лежат перед вами , написаны начала предложений. Мне бы хотелось узнать, как для вас прошёл урок? В чём были затруднения? Что получилось?
Сегодня я узнал…
Было интересно…
Я выполнял задание…
Я понял, что…
Теперь я могу…
Я почувствовал, что…
Я приобрёл…
Я научился…
У меня получилось…
Я смог…
Я попробую…
Меня удивило…

    Автор(ы): Шаныгина Е. А.

    Скачать: Алгебра 10кл - урок 4 (Шаныгина Е. А.).doc

Презентация к уроку