Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета:
Алгебра и начала математического анализа
10 класс
УМК «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы»,А.Г.Мордкович 2015г.
Уровень обучения - базовый
Тема урока: Тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические уравнения.
Цели урока:
образовательные – обобщить знания учащихся о формулах корней простейших тригонометрических уравнений; формировать умение решать простейшие тригонометрические уравнения.
развивающие – уметь применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного; развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;
воспитательные – формирование коммуникативных способностей у учащихся.
Тип урока: урок закрепления и систематизации знаний и умений учащихся.
Формы организации урока: фронтальная, групповая, индивидуальная формы
Оборудование урока: единичная окружность.
Содержание урока.
1. Организационный момент
Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Задача - показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Разминка – повторение
2. Повторение изученного материала (устно)
1) каково будет решение уравнения sin x=a при |a | > 1 ?
2) при каком значении а уравнение cos x=a имееет решение?
3) какой формулой выражаются решения уравнений sin x =a , cos x=a при условии |a | ≤ 1
4) назовите частные случаи решения уравнений sin x =a , cos x=a
5) какой формулой выражается решение уравнения tg x= a?
6) какой формулой выражается решение уравнений ctg x =a ?
3. Основная работа – методы решения уравнений.
Пример
Решение.
I. шаг. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.
;
II. шаг. Найти аргумент функции по формулам
;
III. Найти неизвестную переменную
Ответ: .
4. Объяснение нового материала.
Учащиеся уже знакомы со всеми формулами корней простейших тригонометрических уравнений. Поэтому новый материал не должен вызывать у них затруднений.
При объяснении нового материала необходимо затронуть следующие вопросы:
1. Какие тригонометрические уравнения называются простейшими.
2. Какие существуют формулы корней для решения простейших тригонометрических уравнений.
3. Частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Как решать простейшие тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции стоит выражение вида kx + m.
5. Примеры решения простейших тригонометрических уравнений и нахождение их корней на заданном промежутке.
при
при
при
при
при
Ответ:
5. Формирование умений и навыков.
Все упражнения, которые будут выполнять учащиеся на этом уроке, можно разбить на 2 группы:
– отработка формул корней простейших тригонометрических уравнений;
– нахождение корней простейших тригонометрических уравнений на заданном промежутке.
1-я группа.
1. № 18.1, № 18.2, № 18.3.
2. № 18.5 (а; б).
Решение:
Для решения подобных уравнений сначала следует воспользоваться формулами приведения.
2-я группа.
1. № 18.14 (б).
2. № 18.15 (а; в).
3. № 18.19.
Решение:
а) При то есть
– наименьший положительный корень;
б) при
при
при Ответ:
в) при
– наибольший отрицательный корень.
V. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Какие тригонометрические уравнения называются простейшими?
– Назовите формулы корней для решения уравнений: sin х = а,
cos х = а, tg x = а, ctg x = а.
– Какие существуют частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений?
– Как решить уравнение, в котором под знаком тригонометрической функции стоит выражение вида kx + m?
– Как находить корни тригонометрического уравнения на заданном промежутке?
Домашнее задание: № 18.4, № 18.5 (в; г), № 18.15 (б; г), № 18.18.
Автор(ы): Медетова Р. С.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Медетова Р. С.).doc Название предмета:
Алгебра и начала математического анализа
10 класс
УМК «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы»,А.Г.Мордкович 2015г.
Уровень обучения - базовый
Тема урока: Тригонометрические уравнения. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
Цели и задачи:
образовательные – закрепить решение простейших тригонометрических уравнений для дальнейшего использования при решении тригонометрических уравнений;
развивающие – развивать и совершенствовать у учащихся умение применять знания в измененной ситуации; развивать логическое мышление, математическую речь; умение делать выводы и обобщения;
воспитательные – воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.
Содержание урока.
I. Организационный момент.
1. Приготовление рабочего места.
2. Подготовка учащихся к работе на уроке, организация внимания.
3. Сообщение цели урока.
II. Актуализация знаний учащихся.
1.Математический диктант с дальнейшей самопроверкой.
1 вариант 2 вариант
1) Сформулируйте определение:
а) арксинуса числа; а) арккосинуса числа;
б) арккотангенса числа б) арктангенса числа .
2) Для каких чисел определен
арккосинус ? арксинус ?
3) Записать формулу корней уравнения
sin t = a cos t = a.
4) Записать особую форму записи решений уравнений
cos t = a sin t = a.
5) Записать формулу корней 5) При каких значениях а уравнения
уравнения tg t = a. sin t = a и cos t = a имеют решения?
III. Объяснение нового материала.
Учащиеся познакомились с методом замены переменной и методом разложения на множители ещё при решении алгебраических уравнений. Поэтому при объяснении нового материала достаточно продемонстрировать на нескольких примерах, как применяются данные методы для решения тригонометрических уравнений.
Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.
А) Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.
а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:
A sin2 х + В sin х + С =0 или
A sin2 х + В cos х + С =0
Решим уравнение:
sin2 х + 5 sin х - 6 =0.
Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin х = z, решая квадратное уравнение
z2 + 5 z - 6 = 0, находят z1 = 1; z2 = -6
Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π/2 +2 π k, k Z.
Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е ( sin х ),
т.е. -6 не принадлежит [-1; 1]
При решении уравнения вида A sin2 х + В cos х + С =0 вводим замену sin2 х = 1 - cos2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.
Решите уравнение 2 sin2 х + 3 cos х -3 =0.
Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin2 х = 1 - cos2 х, получили
2 (1 - cos2 х) +3 cos х -3 =0.
- 2 cos2 х + 3 cos х - 1 = 0 | (-1)
2 cos2 х - 3 cos х + 1 = 0
Замена cos х= t
Решая квадратное уравнение 2 t 2 - 3t +1 = 0,
находят t1 = 1; t2 = 0,5
Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k Z.
Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2π n, n Z.
Физкультминутка.
Учитель: Ребята, а сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить несколько упражнений.
Упражнение 2
Цель - укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и предотвращения болей в области шеи.
Поза: сидя или стоя
Смотрите прямо перед собой, а не вверх и не вниз.
Надавите указательным пальцем на подбородок.
Сделайте движение шеей назад.
Совет: совершая это движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз. Для этого представьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить, проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд.
Повторите 5 раз.
IV. Формирование умений и навыков.
Все упражнения, которые будут выполнять учащиеся на этом уроке, можно условно разбить на три группы. В первую группу войдут тригонометрические уравнения, приводящиеся к квадратным. Во вторую группу – решаемые методом разложения на множители. В третьей группе будут более сложные уравнения, которые решаются одним из известных методов.
1-я группа.
1. № 18.6 (а), № 18.9 (б).
2. № 18.8 ( г).
Чтобы сделать замену в подобных уравнениях, сначала следует применить основное тригонометрическое тождество.
Пусть sin 3х = а, тогда
sin 3х = 1 или sin 3х = 3
нет решений
Ответ:
2-я группа.
1. № 18.13 (а; в).
2. № 18.22 (а).
3-я группа.
1. № 18.21 (а; г).
Решение:
Пусть tg x = а, тогда
tg x = 1 или tg x = –2
Пусть ctg x = а, тогда
ctg x = –1 или
2. № 18.33 (а).
Решение:
Учащиеся очень часто допускают ошибку при решении подобных уравнений: не учитывают ОДЗ уравнения.
или sin х = 0
если n = 0, то
если n = 1, то
если n = 2, то
если n = –1, то
если n = –2, то
Ответ: 0, , –, 4, –4.
V. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Какие существуют методы решения тригонометрических уравнений?
– В чём состоит сущность метода замены и метода разложения на множители, используемых при решении тригонометрических уравнений?
– Какая «опасность» может таиться при решении уравнений вида
– Что нужно делать, чтобы не получить посторонних корней при решении уравнений вида
Домашнее задание: № 18.8 (б), № 18.9 (в), № 18.19 (б), № 18.21 (б).
Автор(ы): Медетова Р. С.
Скачать: Алгебра 10кл - Урок 2 (Медетова Р. С.).doc Название предмета:
Алгебра и начала математического анализа
10 класс
УМК «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы». А.Г.Мордкович 2015г.
Уровень обучения - базовый
Тема урока: Тригонометрические уравнения. Однородные тригонометрические уравнения.
Цели урока:
Образовательные:
познакомить учащихся с алгоритмом решения однородных тригонометрических уравнений; формировать умение решать такие уравнения.
- закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;
Развивающие:
- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;
- формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;
- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.
Воспитательные:
- вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;
- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.
Содержание урока.
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Вычислите.
2. Решите уравнение.
III. Объяснение нового материала.
Однородными могут быть не только тригонометрические уравнения, поэтому имеет смысл познакомить учащихся с общим видом однородных уравнений, а затем перейти к однородным тригонометрическим уравнениям.
– однородное уравнение 1-й степени;
– однородное уравнение 2-й степени.
Можно попросить учащихся самостоятельно составить однородное тригонометрическое уравнение первой степени, а затем перейти к идее его решения.
При ознакомлении учащихся с алгоритмом решения данного вида уравнений особое внимание следует уделить вопросу о возможности деления обеих частей уравнений на sin х или cos х. Иначе в дальнейшем учащиеся, встретив, например, уравнение разделят обе его части на sin х, что недопустимо.
Затем следует перейти к алгоритму решения однородных тригонометрических уравнений второй степени, привести примеры, обратив внимание на возможность деления обеих частей уравнения на sin2 х или cos2 х.
б) однородные тригонометрические уравнения.
Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени:A sin x+ B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида tg x = С.
Решите уравнение 2 sin x+ 3 cos x = 0.
Учащиеся решают уравнение.
2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0
2 tg x + 3 =0
tg x = -1,5
х= arctg (-1,5) + πk, k Z или х = - arctg 1,5 + πk, k Z
Учитель: Теперь рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = 0. Разделив обе части уравнения на cos2 x ≠ 0, получим уравнение вида А tg 2x + В tg x + С = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.
Решите уравнение 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0
Учащиеся решают уравнение 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0
2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0 | : cos2х ≠ 0
2 tg 2x - 3 tg x - 5 = 0
замена tg x = t
2 t2 – 3 t – 5 =0
t1 = -1; t2 = 2,5
Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k Z.
Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n Z.
Учитель: К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.
Рассмотрим уравнение: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = D, преобразуем данное уравнение А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х =D (sin2 х + cos2х)
или (А –D) sin2 х + В sinх cos х + (С-D) cos2х =0.
Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:
A sin x+ B cos x = С
A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С
2 A sin(x/2) cos(x/2) + В (cos2(x/2) - sin2(x/2) )= С (sin2(x/2) + cos2(x/2)
IV. Формирование умений и навыков.
Все упражнения можно разбить на две группы. В первую группу войдут однородные тригонометрические уравнения первой степени, а во вторую – однородные тригонометрические уравнения второй степени.
1-я группа.
1. № 18.10 (а; в).
2. № 18.11 (а; б).
Решение:
При решении подобных уравнений учащиеся очень часто допускают серьёзную ошибку, выполняя деление обеих частей уравнения на sin х или cos х. В этом случае следует еще раз обратить их внимание на то, когда такое деление выполнять можно, а когда – нельзя.
sin х = 0 или
Замечание. Это уравнение можно было также решить, разделив обе его части на cos2 х, который не равен нулю. Тогда получили бы уравнение:
Ответ:
3. № 18.24 ( г).
Решение:
Разделим обе части уравнения на
Ответ:
2-я группа.
1. № 18.12 (а), № 18.25 (а).
2. № 18.27 (а).
Решение:
Зачастую учащиеся не распознают в таком уравнении однородное. Необходимо, чтобы они осознали, что следует сделать ряд преобразований, а затем решать его по алгоритму как однородное.
tg x = 5 или
Ответ:
V. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Какой вид имеет однородное тригонометрическое уравнение 1-й степени? 2-й степени?
– Как решаются однородные тригонометрические уравнения?
– Почему в однородных тригонометрических уравнениях возможно деление обеих частей на sin х или cos х?
– Во всех ли уравнениях можно использовать данный прием?
Домашнее задание: № 18.10 (б), № 18.11 (в), № 18.12 (г).
Автор(ы): Медетова Р. С.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 3 (Медетова Р. С.).doc Название предмета: Алгебра и начала анализа
Класс: 10
УМК: Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Учебник и задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень). -М.: Мнемозина, 2011 г.
Уровень обучения: базовый.
Тема урока: Решение тригонометрических уравнений.
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 10 часов.
Место урока в системе уроков по теме: 9 урок.
Цели урока: обобщить и систематизировать знания по теме «Тригонометрические уравнения».
1) Образовательные задачи урока:
организовать работу учащихся по систематизации знаний основных теоретических вопросов темы;
обеспечить обобщение умений решать тригонометрические уравнения различными способами;
создать разноуровневые условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений
2) Развивающие задачи урока:
способствовать формированию умений применять полученные знания в новой ситуации, развивать логическое мышление, математическую речь.
создать условия для развития познавательной активности учащихся, познавательного интереса к предмету;
развивать интеллектуальную, рефлексивную культуру;
развивать навыки самостоятельной деятельности учащихся;
развивать навыки самоконтроля;
3) Воспитательные задачи урока:
развивать мобильность, коммуникативные навыки.
воспитывать культуру умственного труда;
воспитывать умение анализировать результаты собственной деятельности;
обеспечить гуманистический характер обучения.
Планируемые результаты:
1. Знать формулы решений простейших тригонометрических уравнений.
2. Знать алгоритмы решений различного вида тригонометрических уравнений и уметь применять их на уровне обязательных результатов.
3. Уметь применять формулы тригонометрии для преобразования тригонометрических уравнений.
Техническое обеспечение урока: компьютер, лист учета знаний для подведения итогов урока.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: набор карточек типа: домино для устной разминки, карточки с заданиями на 4 варианта, таблицы с формулами и рекомендациями.
План урока:
1. Организационный этап. Самоопределение к деятельности, постановка цели и задач урока. (2 мин)
2. Актуализация базовых знаний: разминка - устная игра „Домино". (5 мин)
3. Самостоятельная работа. (12 мин)
4. Взаимопроверка самостоятельной работы с помощью компьютера. (10 мин).
5. Обобщение учебного материала: различные способы решения тригонометрических уравнений. Работа по карточкам с последующей самопроверкой. (12 мин)
6. Итоги урока. (1 мин)
7. Рефлексия. (2 мин)
8. Домашнее задание. (1 мин)
Ход урока:
I. Организационный момент. Эпиграф: «Незнающие пусть научатся, знающие - вспомнят ещё раз».
Античный афоризм.
Мы вернёмся к этим словам в конце урока и сделаем для себя вывод.
Самоопределение к деятельности, постановка цели и задач урока. (2 мин)
II. Актуализация базовых знаний. Разминка.
Цель: Проверить умение решать простейшие тригонометрические уравнения; решать тригонометрические уравнения по заданному алгоритму.
Любое соревнование начинается с разминки. Ребятам предлагается устная работа "Домино" (на магнитной доске) (см. приложение 1).
III. Самостоятельная работа.
Цель: закрепить навыки решения несложных тригонометрических уравнений, развивать умения работать с полученными результатами в ходе решения уравнений сериями корней.
В каждом варианте:
- уравнения 1 - 2 необходимы для закрепления навыков работы с усложнённым (линейным) аргументом;
- уравнение 3 - позволяет научиться исключать из одной серии корней другую - постороннюю;
Вариант 1 Вариант 2
IV. Взаимопроверка самостоятельной работы
В тетрадях с помощью компьютера в парах учащиеся осуществляют взаимоконтроль.
Самостоятельная работа оценивается следующим образом:
1) Оценка «3» - ученик набрал 1балла
2) Оценка «4» - набрано 2балла
3) Оценка «5» - набрано 3 балла.
V. Работа по карточкам
Инструкция учителя:
Вам предлагаются 4 карточки первого уровня с заданиями на оценку "3", здесь необходимо решить хотя бы одно из тригонометрических уравнений по заданному алгоритму. Кто справился с решением заданий первого уровня, переходит к решению карточек второго уровня, а затем и третьего уровня.
Уравнения Карточки №1 решаются методом сведения к квадратному уравнению, напомните алгоритм решения данным методом.
Ответ ученика: он состоит в том, что, пользуясь формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию обозначить через t, получив при этом квадратное уравнение относительно t.
Уравнения Карточки №2 решаются методом разложения на множители, напомните алгоритм решения данным методом.
Ответ ученика: одними из самых распространённых способов разложения на множители являются способы вынесения за скобки общего множителя, группировки, применение формул сокращённого умножения.
Уравнения Карточки №3 являются однородными. Какие уравнения называются однородными, и как решаются такие уравнения?
Ответ ученика: Однородными называются уравнения вида
a·sinx + b·cosx = 0 - первой степени, a· sin2x + b·sinx·cosx + c·cos2x = 0 - второй степени и т.д., где a, b, c - числа. Однородные уравнения любой степени решаются делением на подходящую степень cos x или sin x. Но предварительно нужно доказать, что это выражение никогда не обращается в нуль.
Уравнения Карточки № 4 решаются методом введения вспомогательного аргумента. Этот метод описан в "Рекомендации по решению тригонометрических уравнений" (см. приложение 2).
После решения каждой карточки обучающиеся выполняют самопроверку по заготовленным образцам. В случае неудовлетворительного результата учащиеся консультируются с учителем.
Задания первого уровня.
Карточки с заданиями на оценку "3"
Карточка № 1
Цель: Проверить и закрепить умение решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному уравнению.
Решите уравнения методом сведения к квадратному уравнению.
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4
Карточка № 2
Цель: проверить и закрепить навыки решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.
Решите уравнения методом разложения на множители
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4
Карточка № 3
Цель: проверить и закрепить навыки решения однородных уравнений.
Решите однородные тригонометрические уравнения
Вариант 1 Вариант 2
Вариант 3 Вариант 4
Карточка № 4
Цель: проверить и закрепить навыки решения тригонометрических уравнений методом введения вспомогательного аргумента.
Решите уравнения методом введения вспомогательного аргумента
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4
Выполнив все задания первого уровня, после самопроверки, каждый учащийся отмечает в листе учета знаний результат своей работы, а учитель фиксирует этот же результат в своём листе учета знаний.
Задания второго уровня.
Карточки с заданиями на оценки "4" и "5".
Карточка № 5
Цель: решать тригонометрические уравнения, самостоятельно выбирая метод решения.
Рекомендации учителя. Вы прошли первый уровень усвоения материала. Теперь вам самостоятельно придется выбирать метод решения уравнений. Перед вами на плакатах основные тригонометрические формулы и рекомендации по решению тригонометрических уравнений.
Решить уравнения
I вариант
II вариант
1) cos2x – 5sinx – 3 = 0
1 балл
1) cos2x + 3sinx = 2
2) 1 + 7cos2x = 3sin2x
2 балла
2) 3 + sin2x = 4sin2x
III вариант
IV вариант
1) cos2x –7cosx + 4 = 0
1 балл
1) cos2x + 9sinx + 4 = 0
2) 4sin2х – sin2x = 3
2 балла
2) sin2x + 4cos2х = 1
Работа оценивается следующим образом:
1) Оценка «4» - ученик набрал 1балла
2) Оценка «5» - набрано 2-3 балла
Задания третьего уровня (дополнительно для сильных учащихся).
Цель: применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.
Решить уравнения
I вариант
II вариант
1) cosx + 1 = ctgx + cosx ctgx
2 балла
1) tgx – sinx·tgx = 1 – sinx
2) cos9x – cos7x + cos3x – cosx = 0
3 балла
2) sinx – sin2x + sin5x + sin8x = 0
3) 2tg2x + 4cos2x = 7
3 балла
3) 9ctg2x + 4sin2x = 6
Работа оценивается индивидуально.
VI. Итог урока, оценки.
Вернёмся к нашему эпиграфу.
Мы убедились, что наблюдательность даёт нам возможность для применения уже имеющейся информации в новом применении.
Оценки в журнал выставляются по листу учета знаний, которые сравниваются с результатами листов учёта знаний у учителя.
VII. Рефлексия:
Выберите фразеологизм или пословицу которые характеризуют вашу работу сегодня:
Шевелить мозгами
Краем уха
Хлопать ушами
Домашнее задание.
№ 18.4(а); 18.8(а); 18.10(а); 18.11(а); 18.12(а).
Составить задание соседу: 5 тригонометрических уравнений из заданий ЕГЭ
Дополнительно для сильных учащихся: тригонометрическое уравнение из части «С»
(свои задания решить, чтобы на следующий урок проверить, как решит эти задания сосед).
Автор(ы): Бакеева И. Р.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 4 (Бакеева И. Р.).doc Название предмета: Алгебра и начала анализа
Класс: 10
УМК: Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Учебник и задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень). -М.: Мнемозина, 2011 г.
Уровень обучения: базовый.
Тема урока: Простейшие тригонометрические уравнения.
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 10 часов.
Место урока в системе уроков по теме: 6 урок.
Цели урока: обобщить знания учащихся о формулах корней простейших тригонометрических уравнений.
1) Образовательные задачи урока:
организовать работу учащихся по систематизации знаний основных теоретических вопросов темы;
обеспечить обобщение умений решать тригонометрические уравнения различными способами;
формировать умение решать простейшие тригонометрические уравнения
2) Развивающие задачи урока:
способствовать формированию умений применять полученные знания в новой ситуации, развивать логическое мышление, математическую речь.
создать условия для развития познавательной активности учащихся, познавательного интереса к предмету;
развивать интеллектуальную, рефлексивную культуру;
развивать навыки самостоятельной деятельности учащихся;
развивать навыки самоконтроля;
2) Воспитательные задачи урока:
развивать мобильность, коммуникативные навыки.
воспитывать культуру умственного труда;
воспитывать умение анализировать результаты собственной деятельности;
обеспечить гуманистический характер обучения.
Планируемые результаты:
1. Знать формулы решений простейших тригонометрических уравнений.
2. Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения.
Техническое обеспечение урока: экран; мультимедийный проектор; компьютер, справочный материал.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: презентация, карточки для проверочной работы.
Содержание урока:
I. Организационный момент.
Приветствие. Проверка готовности к уроку. Позитивный настрой на работу.
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Вычислите.
2. Решите уравнение.
Вариант 2
1. Вычислите.
2. Решите уравнение.
III. Объяснение нового материала.
Учащиеся уже знакомы со всеми формулами корней простейших тригонометрических уравнений. Поэтому новый материал не должен вызывать у них затруднений.
При объяснении нового материала необходимо затронуть следующие вопросы:
1. Какие тригонометрические уравнения называются простейшими.
2. Какие существуют формулы корней для решения простейших тригонометрических уравнений.
3. Частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Как решать простейшие тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции стоит выражение вида kx + m.
5. Примеры решения простейших тригонометрических уравнений и нахождение их корней на заданном промежутке.
IV. Формирование умений и навыков.
Все упражнения, которые будут выполнять учащиеся на этом уроке, можно разбить на 2 группы:
– отработка формул корней простейших тригонометрических уравнений;
– нахождение корней простейших тригонометрических уравнений на заданном промежутке.
1-я группа.
1. № 18.1, № 18.2, № 18.3.
2. № 18.5 (а; б).
Решение:
Для решения подобных уравнений сначала следует воспользоваться формулами приведения.
2-я группа.
1. № 18.14 (б).
2. № 18.15 (а; в).
3. № 18.19.
Решение:
а) При то есть
– наименьший положительный корень;
б) при
при
при Ответ:
в) при
– наибольший отрицательный корень.
Дополнительно можно предложить учащимся задание № 18.16.
Решение:
при
при
при
при
при Ответ: , , .
V. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Какие тригонометрические уравнения называются простейшими?
– Назовите формулы корней для решения уравнений: sin х = а,
cos х = а, tg x = а, ctg x = а.
– Какие существуют частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений?
– Как решить уравнение, в котором под знаком тригонометрической функции стоит выражение вида kx + m?
– Как находить корни тригонометрического уравнения на заданном промежутке?
Домашнее задание: № 18.4, № 18.5 (в; г), № 18.15 (б; г), № 18.18.
Дополнительно: № 18.17.
Автор(ы): Бакеева И. Р.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Бакеева И. Р.).doc Название предмета: Алгебра и начала анализа
Класс: 10
УМК: Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Учебник и задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень). -М.: Мнемозина, 2011 г.
Уровень обучения: базовый.
Тема урока: Однородные тригонометрические уравнения.
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 10 часов.
Место урока в системе уроков по теме: 8 урок.
Цели урока: познакомить учащихся с алгоритмом решения однородных тригонометрических уравнений; формировать умение решать такие уравнения.
1) Образовательные задачи урока:
ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
сформулировать и отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
научить учащихся решать однородные тригонометрических уравнений I и II степени
2) Развивающие задачи урока:
способствовать формированию умений применять полученные знания в новой ситуации, развивать логическое мышление, математическую речь.
создать условия для развития познавательной активности учащихся, познавательного интереса к предмету;
развивать интеллектуальную, рефлексивную культуру;
развивать навыки самостоятельной деятельности учащихся;
развивать навыки самоконтроля;
3) Воспитательные задачи урока:
стимулировать интерес к предмету, развивать чувство солидарности и здорового соперничества.
Планируемые результаты:
1. Знать понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени.
2. Знать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений I и II степени.
3. Уметь решать однородные тригонометрических уравнений I и II степени.
Техническое обеспечение урока: экран; проектор; компьютер, справочный материал.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: презентация.
Содержание урока:
I. Организационный момент.
Приветствие. Проверка готовности к уроку. Позитивный настрой на работу.
II. Устная работа.
1. Вычислите.
2. Решите уравнение.
III. Объяснение нового материала.
Однородными могут быть не только тригонометрические уравнения, поэтому имеет смысл познакомить учащихся с общим видом однородных уравнений, а затем перейти к однородным тригонометрическим уравнениям.
– однородное уравнение 1-й степени;
– однородное уравнение 2-й степени.
Можно попросить учащихся самостоятельно составить однородное тригонометрическое уравнение первой степени, а затем перейти к идее его решения.
При ознакомлении учащихся с алгоритмом решения данного вида уравнений особое внимание следует уделить вопросу о возможности деления обеих частей уравнений на sin х или cos х. Иначе в дальнейшем учащиеся, встретив, например, уравнение разделят обе его части на sin х, что недопустимо.
Затем следует перейти к алгоритму решения однородных тригонометрических уравнений второй степени, привести примеры, обратив внимание на возможность деления обеих частей уравнения на sin2 х или cos2 х.
IV. Формирование умений и навыков.
Все упражнения можно разбить на две группы. В первую группу войдут однородные тригонометрические уравнения первой степени, а во вторую – однородные тригонометрические уравнения второй степени.
1-я группа.
1. № 18.10 (а; в).
2. № 18.11 (а; б).
Решение:
При решении подобных уравнений учащиеся очень часто допускают серьёзную ошибку, выполняя деление обеих частей уравнения на sin х или cos х. В этом случае следует еще раз обратить их внимание на то, когда такое деление выполнять можно, а когда – нельзя.
sin х = 0 или
Замечание. Это уравнение можно было также решить, разделив обе его части на cos2 х, который не равен нулю. Тогда получили бы уравнение:
Ответ:
3. № 18.24 (а; г).
Решение:
Разделим обе части уравнения на sin17x ≠ 0.
Ответ:
2-я группа.
1. № 18.12 (а), № 18.25 (а).
2. № 18.27 (а).
Решение:
Зачастую учащиеся не распознают в таком уравнении однородное. Необходимо, чтобы они осознали, что следует сделать ряд преобразований, а затем решать его по алгоритму как однородное.
tg x = 5 или
Ответ:
Если останется время, то можно решить ещё несколько уравнений.
3. № 18.29 (а), № 18.31 (а).
V. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Какой вид имеет однородное тригонометрическое уравнение 1-й степени? 2-й степени?
– Как решаются однородные тригонометрические уравнения?
– Почему в однородных тригонометрических уравнениях возможно деление обеих частей на sin х или cos х?
– Во всех ли уравнениях можно использовать данный прием?
Домашнее задание: № 18.10 (б; г), № 18.11 (в), № 18.12 (г), № 18.24 (б), № 18.27 (в).
Дополнительно: № 18.30 (а), № 18.32 (б).
Автор(ы): Бакеева И. Р.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 3 (Бакеева И. Р.).docxАвтор(ы): Бакеева И. Р.
Скачать: Алгебра 10кл - Приложение 1 (Бакеева И. Р.).docxАвтор(ы): Бакеева И. Р.
Скачать: Алгебра 10кл - Приложение 2 (Бакеева И. Р.).docx
