Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Разработка урока алгебры в 10 классе
по теме: «Периодичность функций y=sinx и y=cosx ”
УМК: Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/А.Г. Мордкович-10-е издание, стереотипное - М.: Мнемозина, 2009.
Изучаемая тема: «Периодичность функций y=sinx и y=cosx ”(§12)
Место урока в изучаемой теме: первый
Тип урока: изучение нового материала.
Оборудование и материалы к уроку:
-доска;
-медиапроектор;
- задачник.
Цель: изучить новое свойство функций y=sinx и y=cosx. Показать практическое применение этого свойства при построении графиков функций y=sinx и y=cosx. Формировать у обучающихся представлений о периодичности функций.
Задачи:
- введение понятия периода в жизни и в математике, периодической функции как периодически сменяющихся циклических явлениях в природе;
- развитие математического мышления и интуиции, совершенствование устного и письменного математического языка; умения точно излагать свою мысль;
- воспитание добросовестного отношения к учёбе, чувства ответственности за качественное выполнение задания;
- развитие аккуратности в построении.
Ход урока.
1. Организационный этап.
Приветствие. Настроить учащихся на работу. Организация внимания.
В математике есть своя красота
как в живописи и поэзии.
Н.Е.Жуковский
2. Актуализация знаний. Постановка цели и задач урока.
Сообщение темы урока: «Периодичность функции» (Слайд 1)
Сегодня попытаемся показать связь математики и общей картины мира, что все живое и не живое подчинено одним законам, которые можно описать математическими методами (сравнение, анализ, обобщение, выбор, отбрасывание несущественного и т.д.).
Устная работа:
1. На циферблате отметили числа 6, 18, 30, 42, …Добавьте ещё два числа.
Сделайте вывод.
2. Приведите примеры явлений, которым свойственно повторяться. (Множество экологических факторов на нашей планете, в первую очередь световой режим, температура, давление и влажность воздуха, атмосферное и электромагнитное поле, морские приливы и отливы.)
3. Изучение нового материала. (Слайд 2)
К числу самых распространенных механических движений в природе относятся повторяющиеся движения. Это вращающиеся движения земли вокруг своей оси и вокруг солнца, вращение стрелок часов, колес автомобиля, биение сердца человека, морские приливы и отливы, смена дня и ночи, смена времен года, движение кольцевого автобуса по своему маршруту, работа двигателя внутреннего сгорания и другие. Весьма разнообразными повторяющимися движениями являются колебательные движения.
Приведите примеры колебательных движений. (Колебание маятника часов, автомобиля на рессорах, крыльев птиц, корабля на волнах и т.д.) Колебания широко используют в различных технологических процессах и машинах. Приходится учитывать их вредные действия. «Статистика показывает, что около 80 % поломок и аварий в машиностроении является результатом недопустимых колебаний. Смертельною опасностью для самолетов одно время был так называемый «Флаттер» при некоторой заранее непредвиденной скорости самолет начинало трясти, и он разваливался в воздухе. Приходится учитывать возникновение колебаний при строительстве высотных сооружений, мостов (военные по мосту идут не в ногу)». Циклы движения в одних случаях, у маятников часов повторяются без изменения. Точно повторяющиеся движения называются периодическими.
4. Найдите в учебниках ответ на вопрос: Какую функцию называют периодической? (Учащиеся ищут ответ на вопрос в учебнике: (Слайд 3)
Функцию y=f(x), xЄX, называют периодической, если существует такое число T≠0, что для любого x из множества Х выполняется двойное равенство: f(x–T)=f(x)=f(x+T). Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функций y=f(x).)
Где вы встречались со словами период, периодический?
(Ответы учащихся (либо учитель приводит примеры, а учащиеся поясняют понятия):
- Периодическая дробь – бесконечная дробь, в которой, начиная с некоторого места, стоят только периодически повторяющиеся группы цифр.
- Период в музыке – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль.
- Период геологический – время, в течение которого отлагались осадки, образующие геологическую систему. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.
- Период индукции в химии – время между началом реакции и моментом достижения ей скорости.
- Период покоя растений – период, во время которого почти полностью приостанавливаются ростовые процессы.
- Период полураспада радиоактивного вещества – время, в течение которого число атомов данного радиоактивного вещества уменьшается в два раза.
- Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки.
- Периодическая система Менделеева – свойство простых тел, также формы и соединений элементов, находящихся в периодической зависимости.
5. - Периодическое воспаление глаз – конъюнктивит.) (Слайд 4)
Задание 1. Какие из представленных функций являются периодическими?
1) у=kx+b; 2) y=kxn; 3)y=x– n; 4) y=|x|; 5)y=sinx; 6) y=cosx.
Решение: у=sinx, y=cosx. Так как sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π); cos(x–2π)=сosx=cos(x+2π) справедливы для любого х, то y=sinx, y=cosx являются периодическими, и число 2π служит периодом и той и другой функции. (Слайд 5)
6. Задание 2. (Слайды 6,7,8,9,10) На рисунках изображены части графиков некоторых периодических функций. Определите период функции на рисунках.
7. Задание 3. (Слайд 11)На рисунке изображена часть графика периодической функции y=f(x) на [-1;1], длина которого равна периоду.
Постройте график функции а) на [1;3], б) на [-3;1], в)на [3;7], г) на всей числовой прямой.
8. (После выполнения задания учащиеся сравнивают свои рисунки с изображением на проекторе) (Слайды 12,13,14)
Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов. Между движением небесных тел и живыми организмами на Земле существует связь. Живые организмы не только улавливают свет и тепло солнца и луны, но и обладают различными механизмами, точно определяющими положение Солнца, реагирующими на ритм приливов. Фазы Луны и движение нашей планеты влияют на ритм жизни человека, поэтому он должен жить по законам природы и соблюдать режим дня для сохранения своего здоровья. Физкультминутка
Задание 4. Как построить графики функций y=sinx, y=cosx, не перечисляя всех точек?
Необходимо построить волну [0; 2 π] или [-π; π], а затем сдвинуть волну по оси х на 2π вправо, на 2π влево. В итоге, с помощью одной волны мы можем построить весь график. (Слайды 15,16,17,18)
Как вы думаете, сколько периодов у периодической функции?
Много.
Действительно, у периодической функции много периодов: любое число 2, где к=±1, ±2, ±3… является периодом. - основной ( или наименьший период).
Задание 5. Найти основной период:
а) y=sin3x б) y=cos0,5x
Решение:
а) f(x+T)= sin3(x+T)= sin(3x+3T) 3T=T=
б) f(x+T)= cos0,5 (x+T)= sin(0,5x+0,5T) 0,5T=T=4.
Обобщением результатов, полученных в примере, является следующее утверждение: основной период функции y=sinкx или y=cosкx равен .
9. Закрепление изучаемого материала.
№12.6
a) sin 50,5= sin (50+0,5)= sin 0,5=1
b) sin 51,75= sin (50+1,75)= sin 1,75= sin =
c) sin 25,25= sin (24+1,25)= sin 1,25= sin =
d) sin 29,5= sin (28+1,5)= sin 1,5= sin = - 1.
№12.7
a) sin 390º= sin (360 º +30 º)= sin 30 º =
b) cos 750º= cos (720 º +30 º)= cos 30 º =
c) sin 540º= sin (360 º +180 º)= sin 180 º =0
d) cos 930º= cos (720 º +210 º)= cos 30 º = -
В данных заданиях можно совместно с классом разобрать первые примеры. А затем вызывать к доске по трое учащихся, а класс выполняет эти задания по рядам, проверяет и исправляет.
Задание 6. Периодическая функция y=f(x) определена для всех действительных чисел. Её период равен 3 и f(1)=4. Найдите значение выражения 6 f(7)-5f(-2).
Решение: 1) f(7)=f(1+2∙3)=f(1)=4;
2) f(-2)=f(1-3)=f(1)=4;
3) 6f(7)-5f(-2)=6∙4-5∙4=4.
Запасные задания для самостоятельной работы (по вариантам) (Слайд 19 ):
1. Периодическая нечетная функция у=f(х) определена на всей числовой прямой. Ее период равен 7 и f(-1)=3, f(2)=-4.Найти значение выражения f(-5)+f(6)+f(9).
Ответ: а) -5; б) 5; в) 2; г) -2.
2. Периодическая четная функция у=f(х) определена на всей числовой прямой. Ее период равен 5 и f(1)=2. Найти значение выражения 3f(16)+f(-9).
Ответ: а) -4; б) 4; в) -8; г) 8.
10. Подведение итогов урока
Какая функция называется периодической?
Что такое основной период функции?
11. Домашнее задание. §12. № 12.4, 12.8б, 12.9а. №1 .Придумать и начертить каждому по одному примеру периодической и непериодической функции.
12. Рефлексия.
Автор(ы): Ефемчук Л. В.
Скачать: Алгебра 10кл - Конспект (Ефемчук Л. В.).doc Название предмета: Алгебра и начала анализа.
Класс:10
УМК: Алгебра и начала анализа. Мордкович А.Г.2010г
Уровень обучения (базовый)
Тема урока: Периодичность функций
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 1час
Место урока в системе уроков по теме: 1час
Тип урока: Комбинированный.
Образовательные: формирование у обучающихся представлений о периодичности
функции
Задачи:
1) Ввести понятие периода в жизни и в математике, периодической функции как
периодически сменяющихся циклических явлениях в природе.
2) Показать построение графика периодической функции по её частям.
3) Показать нахождение значения периодической функции в любой точке, зная период
и значение функции в одной точке.
Развивающие: развитие логического мышления, математической грамотной речи,
умения точно излагать свою мысль
Задачи:
1) Организовать решение учащимися устных задач, построение графика, выполнение самостоятельной работы.
2) Расширять кругозор через сообщения учащихся по данной теме.
3) Развивать навыки сравнения, аналогии, выбора ответов, чертёжные навыки путем
построения графиков учащимися.
Воспитательные: воспитание добросовестного отношения к учебе, чувства
ответственности за качественное выполнение задания и
соблюдение режима дня, как необходимой формы существования
Задачи:
1) Прививать любовь к предмету и воспитывать ответственность за качество
выполняемой работы через письменные упражнения и тестирование.
2) Сформировать отношение к своему организму как частицы природы, которая живет
в законах периодических ритмов, через выполнение физкультминутки и обобщение
нового материала.
В процессе освоения темы у обучающихся формируются следующие компетенции:
учебно-познавательная (способность принимать на себя ответственность);
информационная (способность получать и обрабатывать информацию);
социального взаимодействия (способность работать в команде и в паре).
Планируемые результаты:
После изучения этой темы учащиеся должны знать:
определение периода, периодической функции;
построение графика периодической функции по ее частям;
примеры периодической функции из жизни;
Ход урока
В математике есть своя красота
как в живописи и поэзии.
Н.Е.Жуковский
1.Организационный момент
Мотивация урока.
Чтобы спорилось нужное дело,
Чтобы в жизни не знать неудач,
Мы в поход отправляемся смело –
В мир загадок и сложных задач.
Не беда, что идти далеко.
Не боимся, что путь будет труден.
Достижения крупные людям
Никогда не давались легко.
2. Сообщение темы урока: «Периодичность функции»
Сегодня попытаемся показать связь математики и общей картины мира, что все живое и не живое подчинено одним законам, которые можно описать математическими методами (сравнение, анализ, обобщение, выбор, отбрасывание несущественного и т.д.). Может кому-то понравится заниматься исследовательской деятельностью и в дальнейшем будет изучать и развивать способы познания, интеллект, ум.
Одним из важнейших моментов получения новых знаний является повторение.
3. Актуализация опорных знаний
Устная работа:
1. Когда речь идет о какой-либо функции, то что нужно знать (формулу, график,
свойства)?
2. На циферблате отметьте числа 6, 18, 30, 42, …Добавьте ещё две цифры.
Сделайте вывод.
3. Какие основные свойства можно назвать по графику?
4. Что общего и в чем различие между функциями?
5. Привести примеры явлений, которым свойственно повторяться. (Множество
экологических факторов на нашей планете, в первую очередь световой режим,
температура, давление и влажность воздуха, атмосферное и электромагнитное
поле, морские приливы и отливы.)
4. Изучение нового материала
1. Определение периодической функции и её периода.
2. Решение задач с использованием формулы периодической функции.
Объяснение.
Учитель: К числу самых распространенных механических движений в природе относятся повторяющиеся движения. Приведите примеры повторяющихся движений.
Учащиеся: Вращающиеся движения земли вокруг своей оси и вокруг солнца, вращение стрелок часов, колес автомобиля, биение сердца человека, морские приливы и отливы, смена дня и ночи, смена времен года, движение кольцевого автобуса по своему маршруту, работа двигателя внутреннего сгорания и другие.
Учитель: Весьма разнообразными повторяющимися движениями являются колебательные движения. Приведите примеры колебательных движений.
Учащиеся: Колебание маятника часов, автомобиля на рессорах, крыльев птиц, корабля на волнах и т.д.
Учитель: Колебания широко используют в различных технологических процессах и машинах. Приходится учитывать их вредные действия.
Сообщение учащегося:
«Статистика показывает, что около 80 % поломок и аварий в машиностроении является результатом недопустимых колебаний. Смертельною опасностью для самолетов одно время был так называемый «Флаттер» при некоторой заранее непредвиденной скорости самолет начинало трясти, и он разваливался в воздухе. Приходится учитывать возникновение колебаний при строительстве высотных сооружений, мостов (военные по мосту идут не в ногу)».
Учитель: Циклы движения в одних случаях, у маятников часов повторяются без изменения. Точно повторяющиеся движения называются периодическими.
Учитель: Какую функцию будем называть периодической? (Учащиеся ищут ответ на вопрос в учебнике и записывают в тетрадях. Работа в парах. Учащиеся обмениваются работами и проверяют их).
Определение: Функцию y=f(x), xЄX, называют периодической, если существует такое число T≠0, что для любого x из множества Х выполняется двойное равенство: f(x–T)=f(x)=f(x+T). Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функций y=f(x).
Учитель: Где вы встречались со словами период, периодический?
Ответы учащихся (учащиеся поясняют понятия):
- Периодическая дробь – бесконечная дробь, в которой, начиная с некоторого места, стоят только периодически повторяющиеся группы цифр.
- Период в музыке – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль.
- Период геологический – время, в течение которого отлагались осадки, образующие геологическую систему. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.
- Период индукции в химии – время между началом реакции и моментом достижения ей скорости.
- Период покоя растений – период, во время которого почти полностью приостанавливаются ростовые процессы.
- Период полураспада радиоактивного вещества – время, в течение которого число атомов данного радиоактивного вещества уменьшается в два раза.
- Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки.
- Периодическая система Менделеева – свойство простых тел, также формы и соединений элементов, находящихся в периодической зависимости.
- Периодическое воспаление глаз – конъюнктивит.
Учитель: Задание 1. Какие из представленных функций являются периодическими?
1) Y=kx+b; 2) y=kxn; 3)y=x– n; 4) y=|x|; 5)y=sinx; 6) y=cosx.
Учащиеся: у=sinx, y=cosx. Так как sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π)
cos(x–2π)=сosx=cos(x+2π) справедливы для любого х, то y=sinx, y=cosx являются периодическими, и число 2π служит периодом и той и другой функции.
Учитель: По графику определите период функций:
Задание 2. На рисунках изображены части графиков некоторых периодических функций. Определите период функции на рисунках 1, 2, 3, 4.
Учащиеся:
Ответы: Т=2, Т=2, Т=2, Т=8.
Учитель: Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?
Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество (таблица орнаментов, элементы вышивок).
Учитель: Задание 3. На рисунке 5 изображена часть графика периодической функции y=f(x) на [-1;1], длина которого равна периоду.
Постройте график функции а) на [1;3], б) на [-3;1], на [3;7].
(После выполнения задания учащиеся сравнивают свои рисунки с изображением на доске и ставят сами себе оценки).
Учитель: Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов. Между движением небесных тел и живыми организмами на Земле существует связь. Живые организмы не только улавливают свет и тепло солнца и луны, но и обладают различными механизмами, точно определяющими положение Солнца, реагирующими на ритм приливов. Фазы Луны и движение нашей планеты влияют на ритм жизни человека, поэтому он должен жить по законам природы и соблюдать режим дня для сохранения своего здоровья.
Задание 4. Коллективная работа
Учитель: Как построить графики функций y=sinx, y=cosx, не перечисляя всех точек?
Учащиеся: Необходимо построить волну [0; 2 π] или [-π; π], а затем сдвинуть волну по оси х на 2π вправо, на 2π влево. В итоге, с помощью одной волны мы можем построить весь график.
Учитель: сколько периодов у периодической функции?
Учащиеся: много.
Учитель:
Физкультминутка
1. Простейшие упражнения для глаз.
1) вертикальные движения глаз вверх - вниз;
2) горизонтальное вправо - влево;
3) вращение глазами по часовой стрелке и против.
2. Также обязательны и упражнения на релаксацию. Дети поднимают руки в стороны и слегка наклоняются вперёд. По команде учителя снимают напряжение в спине, шее и плечах. Корпус, голова и руки падают вниз, колени слегка подгибаются. Затем дети выпрямляются, последовательно разгибаясь в тазобедренном, поясничном и плечевом поясе, и принимают исходное положение. Упражнение повторяется в соответствии с организацией занятия.
3.Для улучшения мозгового кровообращения.
Исходное положение – сидя на стуле. Плавно наклонить голову назад (раз), наклонить голову вперёд, не поднимая плеч (два). Повторить 4-6 раз. Темп медленный.
5. Решение задач на закрепление темы (у доски):
Учитель:
Периодическая функция y=f(x) определена для всех действительных чисел. Её период равен 3 и f(1)=4. Найдите значение выражения 6 f(7)-5f(-2).
Решение: 1) f(7)=f(1+2∙3)=f(1)=4;
2) f(-2)=f(1-3)=f(1)=4;
3) 6f(7)-5f(-2)=6∙4-5∙4=4.
Учащиеся:
1. Периодическая функция у=f(х) определена на всей числовой прямой. Ее период равен 4 и f(2)=-4. Найдите 2f(-2)–f(6)+1.
2. Периодическая функция у=f(х) определена на всей числовой прямой. Ее период равен 4 и f(-3) = 2. Найдите f(25), если 5f(1)-3f(9) = 7.
6.Работа по вариантам. Тестирование (1 вариант - нечетные номера, 2 вариант - чётные).
1. Периодическая нечетная функция у=f(х) определена на всей числовой прямой. Ее период равен 7 и f(-1)=3, f(2)=-4.Найти значение выражения f(-5)+f(6)+f(9).
Ответ: а) -5; б) 5; в) 2; г) -2.
2. Периодическая четная функция у=f(х) определена на всей числовой прямой. Ее период равен 5 и f(1)=2. Найти значение выражения 3f(16)+f(-9).
Ответ: а) -4; б) 4; в) -8; г) 8.
3. Периодическая функция у = f(х) определена для всех действительных чисел. Ее период равен 7 и f(11)=-2. Найти значение выражения 6+3f(-17)-5f(18).
Ответ: а) -10; б) 10; в) 4; г) -4.
4.Периодическая функция у = f(х) определена для всех действительных чисел. Ее период равен 2 и f(1)=5. Найти значение выражения 3f(7)-4f(-3).
Ответ: а) -1; б) 1; в) 4; г) -4.
5.Периодическая функция у=f(х) определена на всей числовой прямой. Ее период равен 7 и f(5)=-1. Найдите f(2), если 3f(-2)+5f(-5)=12.
Ответ: а) -2; б) 2; в) 3; г) -3.
6.Периодическая функция у=f(х) определена на всей числовой прямой. Ее период равен 4 и f(-3) = 2. Найдите f(18), если 5f(1) -3 f(2) = 7.
Ответ: а) -5; б) 5; в) 1; г) 1
7. Работа в группах по 4 человека
1. Постройте с помощью программы Advanced Grapher графики функций:
1. у=cosx; 2. у=sinx; 3.y=cos2x; 4. y=sin2x; 5.y=cos1/2x; 6.y=sin1/2x
8. Домашнее задание
1.Придумать и начертить каждому по одному примеру периодической и непериодической функции.
2.Составить каждому по три теста на нахождение значения функции в любой точке, зная период и значение функции в одной точке.
9. Рефлексия
Послушайте притчу и выполните задание.
Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства храма. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал целый день?». А тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: «Что ты делал целый день?». И тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу». Когда у третьего мудрец спросил: «Что ты делал целый день?». Третий улыбнулся, его лицо засветилось радостно, и с удовольствием ответил: «А я принял участие в строительстве храма».
Кто себя считает первым рабочим, обведите кружочком цифру 1.
Кто себя считает вторым рабочим, - цифру 2.
Если третьим - цифру 3.
1.Первый рабочий.
2.Второй рабочий.
3.Третий рабочий.
Автор(ы): Алтаева А. З.
Скачать: Алгебра 10кл - урок (Алтаева А. З.).docxАвтор(ы): Ефемчук Л. В.
Скачать: Алгебра 10кл - Презентация к уроку (Ефемчук Л. В.).ppt
