Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета Алгебра и начала математического анализа
Класс 10
УМК Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч.
Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г. Мордковича. – 10-е изд.,стер. – М.: Мнемозина, 2012.
Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ [А.Г. Мордкович и др]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-е изд.,стер. – М.: Мнемозина, 2012.
Уровень обучения базовый
Тема урока: Определение числовой функции. Способы ее задания. (3 часа)
Урок № 1
Цель: актуализировать понятие числовой функции и связанные с ней понятия (область определения функции, область значений функции, график функции).
Задачи: востребовать умения находить значение функции по формуле, находить область определения функции, строить график функции, развивать логическое мышление, прививать самостоятельность внимание, аккуратность, воспитывать ответственное отношение к обучению.
Планируемые результаты
- уметь находить область определения и область значения функции;
- строить график функции.
Техническое обеспечение урока компьютер, экран, проектор, учебник.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверка домашней работы (разобрать задания, вызвавшие затруднения у учащихся)
III. Устная работа.
1. Функция задана формулой Определите, какие точки принадлежат графику данной функции.
а) А (0; 1,5); г) б) д) Е (–4; –2,9);
в) С (1; 0); е)
2. Какие из графиков, изображенных на рисунках, являются графиками функций?
III. Объяснение нового материала.
Данный параграф в основном содержит материал, который должен быть известен учащимся из курса алгебры основной школы.
На этом уроке необходимо повторить следующий теоретический материал:
1. Определение числовой функции и связанные с ним понятия: область определения, область (множество) значений.
2. Определение понятия «график функции».
3. Способы задания функции:
а) аналитический;
б) графический;
в) табличный;
г) словесный.
Здесь особое внимание уделяем переходу от одного способа к другому.
4. Элементарные функции и их графики. Повторение данного материала можно выполнить в виде мини лабораторной работы, с заполнением следующей таблицы (на слайде).
Название функции
Формула
График функции
ООФ, ОЗФ
При выполнении записи, следим за правильностью условных обозначений. Как подчеркивают авторы учебника, для обозначения области определения и области значений функции (ООФ и ОЗФ) целесообразнее использовать символы D(f) и E(f), а не D(у) и E(у), так как символом функции является f, а не y.
IV. Формирование умений и навыков по трем направлениям.
Все задания можно условно разбить на группы:
1. Нахождение аргумента и значения функции по формуле.
№ 1.1. Решение:
Линейная функция Дробная функция.
№ 1.3. Решение:
2. Нахождение области определения и области значения функции.
№ 1.4 (а; б)
№ 1.5 (а; б). Решение:
№ 1. 6 (а; б). Решение:
Ответ:
Ответ:
Динамическая пауза.
3. Осуществление перехода от одного способа задания функции к другому и построение графика функции.
№ 1.7 (а; в), № 1.8 (а; б), № 1.9 (а; б), № 1. 10.
При выполнении этих заданий добиваемся от учащихся построения графика функции с помощью «механических» преобразований графиков элементарных функций.
V. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Дайте определение числовой функции.
– Назовите область определения функций
– Что называется графиком функций? Назовите графики элементарных функций.
– Какие способы задания функции вы знаете?
Домашнее задание: §1. № 1.4 (в, г), № 1.6 (в, г), № 1.9 (в, г).
Урок2.
Цель: формировать умение строить графики функций, используя механические преобразования элементарных функций; строить графики кусочных функций;
Задачи: формировать умения использовать графики функций при решении уравнений, развивать письменную речь учащихся, воспитывать ответственное отношение к обучению.
Планируемые результаты
- уметь находить область определения и область значения функции;
- строить график функции.
Техническое обеспечение урока компьютер, экран, проектор, учебник.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверка домашней работы (разобрать задания, вызвавшие затруднения у учащихся)
III. Устная работа.
1. Для функции где найдите:
2. Найдите область определения функции.
IV. Объяснение нового материала.
1. На данном уроке уделяем особое внимание функциям, содержащим в записи формулы знак модуля. Показываем отличие изменения графика функции при и Для этого рассматриваем примеры со с. 6–7 учебника.
2. Напоминаем определение кусочной (или кусочно-заданной) функции. Речь идёт о функциях, область определения которых состоит из нескольких промежутков. При повторении целесообразно выполнить два задания.
1) Задана функция где
Найдите
2) На рисунке изображен график функции Задайте данную функцию аналитически.
3. Так же на уроке необходимо рассмотреть функции, задаваемые словесно, чтобы у учащихся не складывалось впечатление, что графиком функции всегда является прямая, ломаная или гладкая кривая, а D(f) и E(f) – всегда бесконечные множества. Рассматриваем пример 2 со с. 10 учебника.
Динамическая пауза.
V. Формирование умений и навыков.
На этом уроке решаем упражнения средней и повышенной сложности по трем направлениям.
1. № 1.11 (а; б), № 1.12 (а; б), № 1.14.
При выполнении этих упражнений учащиеся должны проговорить, как, зная график функции построить графики функций
2. № 1.13 (а; б). Решение:
Рассмотрим функцию Наименьшее значение она принимает в точке с координатами (0; –49) (вершина параболы).
На промежутке (–1,75; 1,75) функция примет наибольшее значение в точке (0; 0) и будет равняться а, приближаясь к концам интервала, будет стремиться к –+∞. На (–∞; –1,7) и (1,75; + ∞) функция будет принимать значение от 0 до + ∞.
Ответ:
2. № 1.16 (а; б), № 1.17 (а; б)
3. № 1.18.
VI. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Зная графики функции как построить графики функций
– Какая функция называется кусочной?
– В чём сущность графического решения уравнения?
– Как найти область значения функции вида
Домашнее задание: §1.
1. № 1.16 (в; г), № 1.17 (в; г)
2. № 1.13* (б), № 1.15* (а) (дополнительное задание по желанию).
Урок № 3
Цель: проверить умение строить графики функций, используя механические преобразования элементарных функций; строить графики кусочных функций; использовать графики функций при решении уравнений.
Задачи: развивать умения строить графики функций, использовать графики функций при решении уравнений, воспитывать самостоятельность, ответственное отношение к обучению.
Планируемые результаты
- уметь находить область определения и область значения функции;
- строить график функции.
Техническое обеспечение урока компьютер, экран, проектор, учебник.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверка домашней работы (разобрать задания, вызвавшие затруднения у учащихся)
III. Устная работа (на слайде).
1. Сопоставьте графики функций и задающих их формул.
2. Найдите область определения функции, заданной формулой.
IV. Работа в парах. Отработать умения строить график кусочной функции, находить ее область определения и область значения. № 1.19.
Динамическая пауза.
V. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Найдите область определения функции
2. Найдите область значений функции
Вариант 2
1. Найдите область определения функции
2. Найдите область значений функции
Решение:
Вариант 1
Ответ:
2. Найдем координаты вершины параболы ветви которой направлены вверх:
Ответ:
Вариант 2
Ответ:
2. Найдем координаты вершины параболы ветви которой направлены вниз:
Ответ:
VI. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Зная графики функции как построить графики функций
– Какая функция называется кусочной?
– В чём сущность графического решения уравнения?
– Как найти область значения функции вида
Домашнее задание: §1. № 1.2, 1.11 (в; г),
Автор(ы): Морозова И. А.
Скачать: Алгебра 10кл - Конспект урок 1-3 (Морозова И. А.).docx Алгебра и начала анализа
10 класс
УМК: Алгебра и начала анализа 10-11 класс, А.Г. Мордкович, Москва 2013
Уровень обучения: базовый
Тема: Определение числовой функции и способы её задания.
Всего часов: 3
По теме: урок № 1
Цель урока:
1. Ввести и закрепить определения функции, области определения функции и графика функции.
2. Развивать логическое мышление учащихся через формирование строить графики функций.
3. Воспитывать графическую культуру учащихся.
Задачи урока:
1.Познакомить учащихся с числовой функцией и ее графиком.
2.Обогатить опыт учащихся в получении новых знаний на основе уже имеющихся теоретических знаний, а также через использование знакомых ситуаций практического характера
Планируемые результаты:
После изучения этой темы учащиеся должны знать:
Определение числовой функции и ее графика;
построение графика кусочной функции по ее частям;
примеры функций из жизни;
определение значения функции в любой точке;
приемы сравнения, обобщения, умение делать выводы;
После изучения этой темы учащиеся должны уметь:
- самостоятельно пополнять и систематизировать свои знания:
- строить графики функций:
- находить значения функции в любой точке.
Техническое обеспечение урока: учебное пособие «Алгебра и начала анализа. 10 класс (базовый уровень)» А.Г. Мордкович. Таблицы числовых функций.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:
Методическое пособие для преподавателей «Поурочные планы к учебнику Алгебра и начала анализа 10-11 класс», А.Г. Мордкович, Волгоград 2013
Интернет ресурсы
https://www.tutoronline.ru
Содержание урока:
1. Организационный момент
2. Повторение
3. Изучение нового материала
4. Закрепление
5. Итог урока
6. Постановка домашнего задания
Ход урока:
1.Орг.момент.
Учитель сообщает учащимся цель урока и средства ее достижения.
2. Повторение
- В различных сферах жизни мы нередко имеем дело со всевозможными соответствиями, т.е. правилами, по которым одним объектам (элементам) сопоставляются другие. Вот некоторые примеры таких соответствий.
Все эти соответствия можно разделить на группы по различным признакам. Но есть среди них совершенно особенные, такие как 1, 2 и 5. Это такие соответствия, при которых каждому элементу одного множества сопоставляется единственный элемент другого множества. Такие соответствия и называются функциями.
3. Изучение нового материала.
- Что же такое функция?
Определение 1. Пусть даны два множества действительных чисел D и Е и указан закон f по которому каждому числу х ∈ D ставится в соответствие единственное числом y ∈ Е (см. рисунок). Тогда говорят, что задана функция у = f(x) или у(х) с областью определения (О.О.) D и областью изменения (О.И.) Е. При этом величину х называют независимой переменной (или аргументом функции), величину у - зависимой переменной (или значением функции).
Область определения функции f обозначают D(f). Множество, состоящее из всех чисел f(x) (область значений функции f), обозначают E(f).
- Что такое график функции?
Определение 2. Если дана функция у = f(x) , хЄХ и на координатной плоскости хОу отмечены все точки вида (х; у), где х Є Х, а у = f (x), то множество этих точек называют графиком функции.
- Как выглядят графики некоторых функций?
у = kx+m y = ax² +bx +c y = k/x y = √x
y = IxI
- На стр.5-7 учебника представлены примеры различных функций и их графиков.
- Рассмотрим функцию Для нахождения у для каждого значения х необходимо выполнить следующие операции: из величины х вычесть число 2 (х - 2), извлечь квадратный корень из этого выражения и, наконец, прибавить число 3 Совокупность этих операций (или закон, по которому для каждого значения х ищется величина у) и называется функцией у(х). Например, для х = 6 находим Таким образом, для вычисления функции у в данной точке х необходимо подставить эту величину х в данную функцию у(х).
Очевидно, что для данной функции для любого допустимого числа х можно найти только одно значение у (т. е. каждому значению х соответствует одно значение у).
Рассмотрим теперь область определения и область изменения этой функции. Извлечь квадратный корень из выражения (х - 2) можно, только если эта величина неотрицательная, т. е. х - 2 ≥ 0 или х ≥ 2. Находим Так как по определению арифметического корня то прибавим ко всем частям этого неравенства число 3, получим: или 3 ≤ у < +∞. Находим
В математике часто используются рациональные функции. При этом функции вида f(x) = р(х) (где р(х) - многочлен) называют целыми рациональными функциями. Функции вида (где р(х) и q(x) - многочлены) называют дробно-рациональными функциями. Очевидно, дробь определена, если знаменатель q(x) не обращается в нуль. Поэтому область определения дробно-рациональной функции - множество всех действительных чисел, из которого исключены корни многочлена q(x).
- А теперь рассмотрим рациональную функцию . Она определена при х - 2 ≠ 0, т. е. x ≠ 2. Поэтому область определения данной функции - множество всех не равных 2 действительных чисел, т. е. объединение интервалов (-∞; 2) и (2; ∞).
Напомним, что объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств А или В. Объединение множеств А к В обозначается символом АUВ. Так, объединением отрезков [1; 5] и (3; 9) является промежуток [1; 9). Объединение промежутков [1; 2) и [3; 4] (непересекающиеся промежутки) обозначают [1; 2) U [3; 4].
Возвращаясь к примеру, можно записать: Так как при всех допустимых значениях х дробь не обращается в нуль, то функция f(x) принимает все значения, кроме 3. Поэтому
Мы уже встречали функции, заданные несколькими формулами, в зависимости от значений аргумента, например:
y={x–3,при x>3;
{-(x – 3), при x < -3.
Такие функции называются кусочными или кусочно-заданными. Участки числовой прямой с различными формулами задания, назовем составляющими область определения. Объединение всех составляющих является областью определения кусочной функции. Те точки, которые делят область определения функции на составляющие, называются граничными точками. Формулы, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называются входящими функциями. Графики кусочно-заданных функций получаются в результате объединения частей графиков, построенных на каждом из промежутков разбиения.
Построить график кусочной функции (построение на доске)
1) {-3, при -4 ≤ x < 0,
f(x) = {0, при x = 0,
{1, при 0 < x ≤ 5.
График первой функции – прямая, проходящая через точку y = -3. Она берет свое начало в точке с координатами (-4; -3), идет параллельно оси абсцисс до точки с координатами
(0; -3). График второй функции – точка с координатами (0; 0). Третий график аналогичен первому – это прямая, проходящая через точку y = 1, но уже на участке от 0 до 5 по оси О
4.Закрепление изученного материала
Дана функция у = f(х), где
1. Вычислить:
а) f( -2);
б) f ( 0);
в) f( 1, 25);
г) f(6).
2. Найти D (f) и E(f).
3. Выяснить, сколько корней имеет уравнение f(х) =а при различных значениях а.
4. Решить неравенства:
а) f(х) < 0,5;
б) f(х) > 0,5.
Решение.
Дана кусочная функция.
1.
а) значение х=-2 удовлетворяет условию -2 ≤ х ≤ 0, значит f( -2) надо вычислять по формуле f(х) =- х²; f( -2) = -(-2)² ==-4.
б) значение х =0 удовлетворяет условию -2 ≤ х ≤ 0, значит f ( 0) надо вычислять по формуле f(х) =- х²; f ( 0) =-0² =0.
в) значение f( 1, 25) удовлетворяет условию 0 < х ≤ 3, значит f( 1, 25) надо вычислять по формуле f(х) = √х+1; f( 1, 25)= √1,25 +1 =1,5.
г) значение f(6) удовлетворяет условию х > 3, значит f(6) надо вычислять по формуле 3/х +1
f(6)=3:х +1= 3:6+1=1,5.
2. Область определения D (f) состоит из трех промежутков: [-2;0], (0;3], (3; +∞). Объединив их, получим луч [-2; +∞).
Чтобы найти область значений функции, построим ее график. Он состоит из трех кусочков заданной функции. Спроецировав этот график на ось у, получим область значений функции.
E(f)= [-4; 0]U( 1; 2]
3. Выясним, сколько корней имеет уравнение f(х) =а при различных значениях а.
Для этого нужно определить, сколько точек пересечения имеет построенный график функции с прямой у=а при различных значениях параметра а.
1. При -4 ≤ а≤ 0 прямая пересекается с графиком в одной точке. Значит, уравнение имеет 1 корень.
2. При а< -4 корней нет.
3. При 0<а ≤1 корней нет.
4. При а>2 корней нет.
5. При а=2 – 1 корень.
6. При 1<а <2 два корня.
5. Итог урока.
Какое соответствие называется функцией?
Что такое область определения Х функции?
Дайте определение графика функции.
6. Домашнее задание. Инструктаж по домашнему заданию.
§1 №№ 1.4 (а,г), 1.7 (а,г), 1.9 (а)
Автор(ы): Самойлова Г. А.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Самойлова Г. А.).docx Алгебра и начала анализа
10 класс
УМК: Алгебра и начала анализа 10-11 класс, А.Г. Мордкович, Москва 2013
Уровень обучения: базовый
Тема: Определение числовой функции и способы ее задания.
Всего часов: 3
По теме: урок № 2
Цель урока:
Образовательная: продолжить формирование умений и навыков работы с числовыми функциями:
Навыков задания функций различными способами;
Навыков перехода от одного способа задания функции к другому;
Находить область определения и область значения функций.
Воспитательная: содействовать воспитанию общей культуры, трудолюбия, активности, самостоятельности.
Развивающая: способствовать развитию математической речи, аналитического мышления, внимания, активизировать познавательную деятельность.
Задачи урока:
1. Познакомить учащихся со способами задания функций.
2. Обогатить опыт учащихся в получении новых знаний на основе уже имеющихся теоретических знаний, а также через использование знакомых ситуаций практического характера.
Планируемые результаты:
После изучения этой темы учащиеся должны знать:
Способы задания числовой функции;
построение графика по различным способам задания;
приемы сравнения, обобщения, умение делать выводы;
После изучения этой темы учащиеся должны уметь:
- самостоятельно пополнять и систематизировать свои знания:
- строить графики функций:
Техническое обеспечение урока: учебное пособие «Алгебра и начала анализа. 10 класс (базовый уровень)» А.Г. Мордкович. Таблицы числовых функций.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:
Методическое пособие для преподавателей «Поурочные планы к учебнику Алгебра и начала анализа 10-11 класс», А.Г. Мордкович, Волгоград 2013
Интернет ресурсы:
https://www.tutoronline.ru
Содержание урока:
1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания
3. Изучение нового материала
4. Закрепление
5. Итог урока
6. Постановка домашнего задания
Ход урока:
1.Орг.момент.
Учитель сообщает учащимся цель урока и средства ее достижения.
2. Проверка домашнего задания
1. Фронтальный опрос теории
2. № 1.7 г у доски
3. Индивидуальная проверка тетрадей
3.Изучение нового материала
Чтобы задать функцию y = f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная x , находить соответствующее значение y.
Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.
Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.
Например:
Если область определения функции y = f(x) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл.
Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию y = f(x).
Графический способ: задается график функции.
Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность. С помощью графика можно установить, какое значение функции соответствует указанному значению аргумента. Обычно это приближённое значение функции. Например: нельзя определить точное значение функции при x=1,5
Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.
Например выпишем таблицу квадратов у для чисел х.
x
1
1,5
2
2,5
3
4
5
6
7
y
1
2,25
4
6,25
9
16
25
36
49
Данные таблицы также задают функцию - для каждого (приведенного в таблице) значения х можно найти единственное значение у. Например, у(1,5) = 2,25, y(5) = 25 и т. д.
Сравним различные способы задания функции. Наиболее полным следует считать аналитический способ. Он позволяет составить таблицу значений функции для некоторых значений аргументов, построить график функции, провести необходимое исследование функции. Вместе с тем табличный способ позволяет быстро и легко найти значение функции для некоторых значений аргумента. График функции наглядно показывает ее поведение. Поэтому противопоставлять различные способы задания функции не следует каждый из них имеет свои преимущества и свои недостатки. На практике используются все три способа задания функции.
4. Закрепление
1. Рассмотрим функции заданную формулой :
Несмотря на непривычную форму, это соотношение также задает функцию. Для любого значения х легко найти величину у. Например, для х = -0,37 (так как х < 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х > 0, то пользуемся нижним выражением) имеем: Из способа нахождения у понятно, что любой величине х отвечает только одно значение у.
в) 3х + у = 2у - х2. Выразим из этого соотношения величину у: 3х + х2 = 2у - у или х2 + 3х = у. Таким образом, это соотношение также задает функцию у = х2 + 3х.
2. Решить графически уравнение
Найдите область определения функции и область значений :
Ответ: D(f)=(-∞;0) Е(f)= (-∞;3)
3.Работа с учебником № 1.18 Самостоятельно в тетрадях, с последующей проверкой.
5.Итог урока
1. Расскажите о способах задания функции.
2.Какой способ задания функции наиболее полный?
6.Домашнее задание.
§1 №№ 1.16 (а,б), 1.17 (а,б)
Автор(ы): Самойлова Г. А.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 2 (Самойлова Г. А.).docx Алгебра и начала анализа
10 класс
УМК: Алгебра и начала анализа 10-11 класс, А.Г. Мордкович, Москва 2013
Уровень обучения: базовый
Тема: Определение числовой функции и способы ее задания.
Всего часов: 3
По теме: урок № 3
Цель урока: 1. Обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся знания о функциях.
2. Развивать творческие способности учеников путем решения заданий, побуждать учеников
к самоконтролю.
3. Воспитывать аккуратность при построении графика функции.
Задачи урока:
1.Познакомить учащихся с числовой функцией и ее графиком.
2.Обогатить опыт учащихся в получении новых знаний на основе уже имеющихся теоретических знаний, а также через использование знакомых ситуаций практического характера
Планируемые результаты:
После изучения этой темы учащиеся должны знать:
определение числовой функции;
построение графика функции при различных способах задания;
приемы сравнения, обобщения, умение делать выводы;
После изучения этой темы учащиеся должны уметь:
- самостоятельно пополнять и систематизировать свои знания;
- построить график;
- находить значения функции в любой точке.
Техническое обеспечение урока: учебное пособие «Алгебра и начала анализа. 10 класс (базовый уровень)» А.Г. Мордкович. Таблицы числовых функций.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:
Методическое пособие для преподавателей «Поурочные планы к учебнику Алгебра и начала анализа 10-11 класс», А.Г. Мордкович, Волгоград 2013
Интернет ресурсы
https://www.tutoronline.ru
Содержание урока:
1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания
3. Закрепление изученного материала
4. Самостоятельная работа
5. Итог урока
6. Постановка домашнего задания
Ход урока:
1.Орг.момент.
Учитель сообщает учащимся цель урока и средства ее достижения.
2. Проверка домашнего задания:
1) Проверка теоретических знаний ( фронтальный опрос):
1. Дайте определение числовой функции.
2. Расскажите о способах задания функции.
3. Что называется объединением множеств А и B?
4. Какие функции называются целыми рациональными?
5. Какие функции называются дробно-рациональными? Как находится область определения таких функций?
6. Что называют графиком функции f(х)?
2) Разбор заданий, вызвавших затруднение ( №1.16; №1.17)
3. Закрепление изученного материала
1) Работа с учебником № 1.11 (г), №1.13 (а);
2) Творческие задания (работа в парах):
1. Найдите функцию у = f(х), если:
Ответы:
4. Самостоятельная работа ( с целью контроля знаний и умений):
1. Найдите область определения функции: .
2. Найдите область значений функции: .
3. Построить график функции у = - 2х/3 – 3
5 Итог урока:
Что нового вы узнали сегодня на уроке?
В чем были ваши затруднения?
6 Постановка домашнего задания
§1 №№ 1.17 (г), 1.19
Автор(ы): Самойлова Г. А.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 3 (Самойлова Г. А.).docx
