Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета Алгебра и начала математического анализа
Класс 10
УМК Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч.
Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г. Мордковича. – 10-е изд.,стер. – М.: Мнемозина, 2012.
Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ [А.Г. Мордкович и др]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-е изд.,стер. – М.: Мнемозина, 2012.
Уровень обучения базовый
Тема урока: Обратная функция. (3 часа)
Урок 1.
Цель урока: ввести понятия обратимой и обратной функции; провести доказательство теоремы о монотонности прямой и обратной функции; выявить и обосновать геометрический смысл обратимости функции
Задачи урока:
- формировать умение находить обратную функцию для заданной;
- формировать умение строить график обратной функции.
Планируемые результаты:
Знать: определение обратимой функция, обратной функции, признак обратимости функции.
Уметь: находить формулу функции, обратной данной; строить график обратной функции, используя график данной функции.
Техническое обеспечение урока компьютер, экран, проектор, учебник.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания (разбор заданий, вызвавших затруднения учащихся)
III. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Дана функция
а) Исследуйте функцию на монотонность, если х > 2.
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–1,5; 1,5].
2. Исследуйте функцию где х > 0, на ограниченность.
3. Исследуйте функцию на четность.
Вариант 2
1. Дана функция
а) Исследуйте функцию на монотонность, если х < 2.
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–4,5; –3,1].
2. Исследуйте функцию где х < 0, на ограниченность.
3. Исследуйте функцию на четность.
Вариант 3
1. Дана функция
а) Исследуйте функцию на монотонность, если х < –1.
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; 0,4].
2. Исследуйте функцию где х < –1, на ограниченность.
3. Исследуйте функцию на четность.
Вариант 4
1. Дана функция
а) Исследуйте функцию на монотонность, если х 1.
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 2,2].
2. Исследуйте функцию где х > 2, на ограниченность.
3. Исследуйте функцию на четность.
Решение вариантов 1 и 3 проверочной работы.
Варианты 1 и 2 несколько легче вариантов 3 и 4.
Вариант 1
1. Обозначим
а) Пусть тогда
функция убывает на (–; 2].
б) Так как функция убывает на (–∞; 2], то
Ответ: а) убывает; б) унаиб. = 12,25; унаим. = 0,25.
2. где х > 0.
Функция ограничена сверху прямой у = 0, значит, функция ограничена сверху прямой у = 1.
Ответ: ограничена сверху.
3. – симметрична относительно начала координат. значит, функция нечетная.
Ответ: нечетная.
Вариант 3
1. а) Обозначим Графиком является парабола с вершиной в точке (–1; –1) и пересекающая ось 0х в точках х = 0 и х = –2.
Если х > –1, то функция возрастает.
б) На отрезке [–2; 0,4]
и
Ответ: а) возрастает; б) унаиб. = 0,96; унаим. = 0.
2. где х < –1.
Функция ограничена снизу прямой у = 0, значит, функция ограничена снизу прямой у = 2.
Ответ: ограничена снизу.
3. – симметрична относительно начала координат.
Если х = 0, то
Имеем: значит, функция ни четная, ни нечетная.
Ответ: ни четная, ни нечетная.
IV. Объяснение нового материала.
1. Для введения понятия обратимой функции можно использовать либо подвижные модели, либо изображение обратимых и необратимых функций на прозрачной пленке, перевернув которую можно показать, как область определения и область значения функции «меняются местами» и в каком случае обеспечивается однозначность обратной функции.
2. Для первичного закрепления материала учащиеся выполняют следующее задание.
Среди функций, графики которых изображены на рисунке, укажите обратимые.
3. Теорема 1. Подчеркиваем учащимся, что в теореме сформулирован признак обратимости функции (достаточное условие). В то же время монотонность не является необходимым условием обратимости.
Динамическая пауза.
V. Формирование умений и навыков.
Упражнения, решаемые на этом уроке, направлены на аналитическое задание функции, обратной данной.
№ 3.1 (а; б), № 3. 2 (а; б).
При выполнении этих упражнений следует предупредить формализм в аналитическом задании функции путем простого преобразования уравнения. Учащиеся должны обосновать существование обратной функции.
Решение:
№ 3.1 (б).
Линейная функция у = 2 + 4х определена на R, возрастает на R(k 0), E(f) = R. Значит, на R существует обратная функция.
– искомая обратная функция, возрастающая на R.
Ответ:
№ 3.2 (б).
Функция убывает на всей области определения, значит, существует обратная функция, определенная и убывающая на
Ответ:
V. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Какая функция называется обратимой?
– Сформулируйте признак обратимости функции.
–Дайте определение обратной функции.
Домашнее задание: № 3.1 (в; г) – № 3.2 (в; г).
Урок 2.
Цель урока: выявить и обосновать геометрический смысл обратимости функции
Задачи урока:
- развивать умение находить обратную функцию для заданной;
- формировать умение строить график обратной функции.
Планируемые результаты:
Знать: определение обратимой функция, обратной функции, признак обратимости функции.
Уметь: находить формулу функции, обратной данной; строить график обратной функции, используя график данной функции.
Техническое обеспечение урока компьютер, экран, проектор, учебник.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания (разбор заданий, вызвавших затруднения учащихся)
III. Работа в группах.
Карточка 1.
Карточка 2.
IV. Объяснение нового материала.
Устанавливая геометрический смысл обратимости функции, учащиеся формулируют способ построения графика обратной функции с помощью преобразования осевой симметрии.
Графики функции у = f(х) и обратной функции у = f-1 симметричны относительной прямой у = х.
Для функции у = 2х - 4 найдем обратную функцию: у + 4 = 2х, откуда х = 1/2у + 2. Введем переобозначения х ↔ у и запишем обратную функцию в виде у = 1/2х + 2. Таким образом, для функции f(х) = 2х – 4 обратная функция f-1(x) = 1/2х + 2. Построим графики этих функций. Видно, что графики симметричны относительной прямой у = х.
Функция f-1(x) = 1/2х + 2 обратная по отношению к функции f(х) = 2х - 4. Но и функция f(х) = 2х - 4 является обратной по отношению к функции f-1(x) = 1/2х + 2. Поэтому функции f(х) и f-1(х) корректнее называть взаимообратными. При этом выполнены равенства: f-1(f(х)) = х и f(f-1(x) = x.
Динамическая пауза.
V. Формирование умений и навыков.
Упражнения, решаемые на этом уроке, направлены на построение графика обратной функции с помощью осевой симметрии.
№ 3.3 (а; б), № 3. 4 (а; б), № 3.5* (а; б).
Решение:
№ 3. 4 (б).
Графиком является кубическая парабола, полученная из графика у = х3 сдвигом вправо по оси 0х на 2 единицы.
Функция возрастает на R, значит, существует обратная функция, заданная и возрастающая на R.
Ответ:
V. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Какая функция называется обратимой?
– Сформулируйте признак обратимости функции.
–Дайте определение обратной функции.
– Каков характер монотонности прямой и обратной функций?
– Как построить график обратной функции, используя график данной функции?
Домашнее задание: № 3.3 (в; г) – № 3.4 (в; г)
№ 3.5 * (в; г) – по желанию.
Урок 3.
Цель урока: проверить степень усвоения теоретического материала и умения применять его при выполнении письменной работы
Задачи урока:
- развивать умение находить обратную функцию для заданной;
- развивать умение строить график обратной функции.
Планируемые результаты:
Знать: определение обратимой функция, обратной функции, признак обратимости функции.
Уметь: находить формулу функции, обратной данной; строить график обратной функции, используя график данной функции.
Техническое обеспечение урока компьютер, экран, проектор, учебник.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания (разбор заданий, вызвавших затруднения учащихся)
III. Зачетная работа
Вариант 1.
Вариант 2.
Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Какая функция называется обратимой?
– Сформулируйте признак обратимости функции.
–Дайте определение обратной функции.
– Каков характер монотонности прямой и обратной функций?
– Как построить график обратной функции, используя график данной функции?
Домашнее задание: §3, примеры 1-3.
Автор(ы): Морозова И. А.
Скачать: Алгебра 10кл - Конспект урок 1-3 (Морозова И. А.).docx Алгебра и начала анализа
10 класс
УМК: Алгебра и начала анализа 10-11 класс, А.Г. Мордкович, Москва 2013
Уровень обучения: базовый
Тема: Обратная функция
Всего часов: 3 ч
По теме: урок № 1
Цель урока:
Образовательная:
Ввести и закрепить определение обратной функции;
изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной;
Развивающая:
развивать навыки самоконтроля, предметную речь;
овладеть понятием обратная функция и усвоить методы нахождения обратной функции;
Воспитательная:
формировать коммуникативную компетентность.
Задачи урока:
1.Познакомить учащихся с обратимыми функциями и их графиками.
2.Обогатить опыт учащихся в получении новых знаний на основе уже имеющихся теоретических знаний, а также через использование знакомых ситуаций практического характера
Планируемые результаты:
После изучения этой темы учащиеся должны знать:
Определение обратимой функции;
построение графика обратимой функции;
примеры функций из жизни;
приемы сравнения, обобщения, умение делать выводы;
После изучения этой темы учащиеся должны уметь:
самостоятельно пополнять и систематизировать свои знания:
-строить графики обратимых функций:
-уметь делать выводы.
Техническое обеспечение урока: учебное пособие «Алгебра и начала анализа. 10 класс (базовый уровень)» А.Г. Мордкович. Таблицы числовых функций. Компьютер, проектор, экран.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:
Методическое пособие для преподавателей «Поурочные планы к учебнику Алгебра и начала анализа 10-11 класс», А.Г. Мордкович, Волгоград 2013
Интернет ресурсы
https:// 1september.ru
Содержание урока:
1. Организационный момент
2. Контроль остаточных знаний
3. Изучение нового материала
4. Закрепление
5. Итог урока
6. Постановка домашнего задания
Ход урока:
1. Организационный момент
2. Контроль остаточных знаний
1). Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
Вариант 1
Проведите исследование функции и постройте ее график:
3. Изучение нового материала
По аналитическому виду функции для любого значения аргумента легко найти соответствующее значение функции у. Часто возникает обратная задача: известно значение у и необходимо найти значение аргумента x, при котором оно достигается.
Пример 1
Найдем значение аргумента х, если значение функции равно: а) 2; б) 7/6; в) 1.
Из аналитического вида функции выразим переменную х и получим: 4xy - 2у = 3x + 1 или х(4у - 3) = 2у + 1, откуда . Теперь легко решить задачу:
Функцию называют обратной по отношению к функции . Так как принято аргумент функции обозначать буквой х, а значение функции - буквой у, то обратную функцию записывают в виде
Дадим необходимые для изучения темы понятия.
Определение 1. Функцию у = f(x), х ∈ Х называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке х множества X (другими словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции). В противном случае функцию называют необратимой.
Пример 2
Функция каждое свое значение принимает только в одной точке х и является обратимой (график а). Функция имеет такие значения у (например, у = 2), которые достигаются в двух различных точках x, и является необратимой (график б).
При рассмотрении темы полезна следующая теорема.
Теорема 1. Если функция у = f(х), ∈ монотонна на множестве X, то она обратима.
Пример 3
Вернемся к предыдущему примеру. Функция убывает (монотонна) и обратима на всей области определения. Функция немонотонна и необратима. Однако эта функция возрастает на промежутках (-∞; -1] и [1; +∞) и убывает на отрезке [-1; 1]. Поэтому на таких промежутках функция обратима. Например, функция обратима на отрезке x [-1;1 ].
Определение 2. Пусть у = f(х), х ∈ Х - обратимая функция и E(f) = Y. Поставим в соответствие каждому Y то единственное значение х, при котором f(x) = у (т. е. единственный корень уравнения f(x) = у относительно переменной х). Тогда получим функцию, которая определена на множестве Y (множество X — ее область значений). Эту функцию обозначают х – f-1(y), y ∈ Y и называют обратной по отношению к функции у = f(х), х ∈ X. На рисунке показаны функция у = f(х) и обратная функция x = f-1(y).
Прямая и обратная функции имеют одинаковую монотонность.
Теорема 2. Если функция у = f(х) возрастает (убывает) на множестве X, а У - ее область значений, то обратная функция x = f-1(y) возрастает (убывает) на множестве Y.
Пример 4
Функция убывает на множестве и имеет множество значений Обратная функция также убывает на множестве и имеет множество значений Очевидно, что графики функций и совпадают, так как эти функции приводят к одной и той же зависимости между переменными х и у: 4ху - 3х - 2у - 1 = 0.
Для нас привычно, что аргумент функции обозначают буквой х, значение функции - буквой у. Поэтому обратную функцию будем записывать в виде у = f-1(x) (см. пример 1).
Теорема 3. Графики функции у = f(х) и обратной функции у = f-1 симметричны относительной прямой у = х.
Пример 5
Для функции у = 2х - 4 найдем обратную функцию: у + 4 = 2х, откуда х = 1/2у + 2. Введем переобозначения х ↔ у и запишем обратную функцию в виде у = 1/2х + 2. Таким образом, для функции f(х) = 2х – 4 обратная функция f-1(x) = 1/2х + 2. Построим графики этих функций. Видно, что графики симметричны относительной прямой у = х.
Функция f-1(x) = 1/2х + 2 обратная по отношению к функции f(х) = 2х - 4. Но и функция f(х) = 2х - 4 является обратной по отношению к функции f-1(x) = 1/2х + 2. Поэтому функции f(х) и f-1(х) корректнее называть взаимообратными. При этом выполнены равенства: f-1(f(х)) = х и f(f-1(x) = x.
4. Закрепление
1)Контрольные вопросы:
1. Обратимые и необратимые функции.
2. Обратимость монотонной функции.
3. Определение обратной функции.
4. Монотонность прямой и обратной функций.
5. Графики прямой и обратной функций.
2) Задание на уроке
§ 3, № 1 (а, б); 2 (в, г); 3 (а, г); 4 (в, г); 5 (а, в).
5. Итог урока
Что нового вы сегодня узнали на уроке?
С какими затруднениями столкнулись?
Сделайте вывод о связи между областью определения и множеством значений обратных функций.
4. Постановка домашнего задания
§ 3, № 1 (в, г); 2 (а, б); 3 (б, в); 4 (а, б); 5 (б, г).
Автор(ы): Самойлова Г. А.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Самойлова Г. А.).doc Алгебра и начала анализа
10 класс
УМК: Алгебра и начала анализа 10-11 класс, А.Г. Мордкович, Москва 2013
Уровень обучения: базовый
Тема: Обратная функция
Всего часов: 3
По теме: урок № 2
Цель урока:
Образовательная:
закрепить определение обратной функции;
закрепить знания свойств обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной;
Развивающая:
развивать навыки самоконтроля, предметную речь;
владеть методами нахождения обратной функции;
Воспитательная:
формировать коммуникативную компетентность;
Организовать проблемно-поисковую работу учащихся
Задачи урока:
1.Познакомить учащихся с обратимыми функциями и их графиками .
2.Обогатить опыт учащихся в получении новых знаний на основе уже имеющихся теоретических знаний, а также через использование знакомых ситуаций практического характера
Планируемые результаты:
После изучения этой темы учащиеся должны знать:
Определение обратимой функции;
построение графика обратимой функции;
примеры функций из жизни;
приемы сравнения, обобщения.
После изучения этой темы учащиеся должны уметь:
- самостоятельно пополнять и систематизировать свои знания:
- строить графики обратимых функций:
- уметь делать выводы.
Техническое обеспечение урока: учебное пособие «Алгебра и начала анализа. 10 класс (базовый уровень)» А.Г. Мордкович. Таблицы числовых функций. Компьютер, проектор, экран.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:
Методическое пособие для преподавателей «Поурочные планы к учебнику Алгебра и начала анализа 10-11 класс», А.Г. Мордкович, Волгоград 2013
Интернет ресурсы
https:// 1september.ru
Содержание урока:
1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания
3. Закрепление изученного материала
4. Проверочная работа
5. Итог урока
6. Постановка домашнего задания
1.Организационный момент.
Учитель сообщает учащимся тему, цель урока и средства ее достижения.
2. Проверка домашнего задания
1) Задания вызвавшие затруднение решаем у доски
2) Фронтальный опрос теоретической части темы
Вопросы:
1. Какая функция называется обратимой?
2. Любая ли функция обратима?
3. Какая функция называется обратной данной?
4. Как связаны область определения и множество значений функции и обратной ей функции?
5. Если функция задана аналитически, как задать формулой обратную функцию?
6. Если функция задана графически, как построить график обратной ей функции?
3. Закрепление изученного материала
1) Работа по готовому чертежу ( повторение свойств числовой функции).
Для учащихся на интерактивной доске демонстрируется график функции. Учителем формулируется задание – рассмотреть график функции и перечислить изученные свойства функции. Учащиеся перечисляют свойства функции в соответствии со схемой исследования. Ученик справа от графика функции маркером на интерактивной доске записывает названные свойства.
Свойства функции:
1. D(f) = [-4;),E(y) = [0;),
2. ни четная, ни нечетная, непериодическая, непрерывная, ограничена снизу;
3. y=0, при х=0
4. y>0 при на [-4;0) и на [0;)
5. возрастает на [-2;-1] и на [0;)
убывает на [-4;-2] и на [-1;0]
6. yнаиб- не существует
yнаим=0 при х=0
7. xmax= -1 ,ymax = 2
xmin = -2, ymin = 1
xmin = 0, ymin = 0
8. Выпукла вниз на [4;-1], выпукла вверх на [1;), невыпуклая на [-1;1].
2) Рассмотрим функцию, найдем обратную к ней. ( Работа у доски, оформление в тетради).
Дана функция y=x2,x∈[0;+∞). Найти обратную функцию.
Заданная функция возрастает на промежутке [0;+∞), значит, она имеет обратную функцию. Из уравнения y=x2 находим: x=y√ или x=−y√. Промежутку [0;+∞) принадлежат лишь значения функции x=y√. Это и есть обратная функция, которая определена на промежутке [0;+∞).
Поменяв местами x и y, получим: y=x√,x∈[0;+∞). График этой функции получается из графика функции y=x2,x∈[0;+∞) с помощью симметрии относительно прямой y=x.
3) Работа с учебником: § 3, № 3.1 (а, б); 3.2 (в, г); 3.3 (а).
4. Проверочная работа (с целью проверки и коррекции знаний)
Вариант 1: Найдите функцию, обратную функции . Постройте на одном чертеже графики указанных двух взаимно обратных функций.
Вариант 2: Найдите функцию, обратную функции . Постройте
на одном чертеже графики указанных двух взаимно обратных функций.
5. Итог урока
Выставление оценок
Рефлексия.
- Что нового узнали на уроке?
- Какую тему мы сегодня повторили на уроке?
- Какие задания для вас были легкие, сложные?
- Чему вы научились?
-Кто испытал чувство удовлетворения от проделанной работы?
6. Постановка домашнего задания
§ 3 повторить теорию
§ 3 № 3.1 ( г); 3.2 (а); 3.3 (б).
Задание творческого характера: сделать презентацию по данной теме.
Автор(ы): Самойлова Г. А.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 2 (Самойлова Г. А.).docx Алгебра и начала анализа
10 класс
УМК: Алгебра и начала анализа 10-11 класс, А.Г. Мордкович, Москва 2013
Уровень обучения: базовый
Тема: Обратная функция.
Всего часов: 3
По теме: урок № 3
Цель урока:
Образовательные: формирование умения исследовать функцию с помощью изученных свойств
Развивающие: закрепить умения наблюдать, проводить рассуждения по аналогии, обобщать, развивать логическое и творческое мышление.
Воспитательные: совершенствовать навыки самостоятельной работы, развивать умение анализировать ситуацию, выделять главное, сопоставлять факты.
Задачи урока:
Обобщить и систематизировать знания учащихся о свойствах числовой функции;
Проверить уровень усвоения знаний учащихся по данной теме;
Планируемые результаты:
После изучения этой темы учащиеся должны знать:
Свойства числовой функции;
приемы сравнения, обобщения;
После изучения этой темы учащиеся должны уметь:
- самостоятельно пополнять и систематизировать свои знания;
- строить графики функции и обратной к ней;
- применять изученные свойства при исследовании функции;
- умение делать выводы.
Техническое обеспечение урока: учебное пособие «Алгебра и начала анализа. 10 класс (базовый уровень)» А.Г. Мордкович. Графики числовых функций.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:
Методическое пособие для преподавателей «Поурочные планы к учебнику Алгебра и начала анализа 10-11 класс», А.Г. Мордкович, Волгоград 2013
Интернет ресурсы
https:// 1september.ru
Содержание урока:
1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания
3. Самостоятельная работа
4. Закрепление изученного материала
5. Итог урока
6. Постановка домашнего задания
Ход урока:
1. Организационный момент.
Учитель сообщает учащимся цель урока и средства ее достижения.
2. Проверка домашнего задания:
1) Выполнение заданий, вызвавших затруднение учащихся;
2) Просмотр презентаций, составленных учащимися.
3. Самостоятельная работа
Вариант 1:
1. Задает ли указанное правило функцию:
В случае положительного ответа:
а) найдите область определения функции;
б) вычислите значения функции в точках 0, 4;
в) постройте график функции;
г) найдите промежутки монотонности функции.
2. Исследуйте функцию на четность.
Вариант 2:
1. Задает ли указанное правило функцию:
В случае положительного ответа:
а) найдите область определения функции;
б) вычислите значения функции в точках 0, 1, 3, – 1;
в) постройте график функции;
г) найдите промежутки монотонности функции.
2. Исследуйте функцию на четность.
4. Закрепление изученного материала
Презентация: «Взаимно обратные функции»
5. Итог урока
- Достигли ли цели урока?
- Какие свойства числовой функции повторили на уроке, сформулируйте их.
- Какие вопросы еще возникают?
- Какие чувства возникали на уроке?
6. Постановка домашнего задания
§ 3 повторить теорию
№ 3.5
Автор(ы): Самойлова Г. А.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 3 (Самойлова Г. А.).docxАвтор(ы): Самойлова Г. А.
Скачать: Алгебра 10кл - Презентация к уроку (Самойлова Г. А.).ppt
